Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода

Стационарное  уравнение Шредингера для атома  водорода

 

Ростов-на-Дону 2013

 

Южный федеральный  университет

 

Выполнил:

 Овчинников А.  П.

2 курс 9 группа 

 

1

Содержание

 

• Шрёдингер, Эрвин     3
• Уравнение Шрёдингера    4
• Стационарное уравнение Шрёдингера   7
• Атом водорода      9
• Атом водорода. Квантование.    10
• Решение уравнения Шредингера для атома водорода 17
• Список литературы     23
• Видео       24

 

 

2

Шрёдингер, Эрвин

 

• Эрвин Рудольф Йозеф Александр Шрёдингер — австрийский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики. Лауреат Нобелевской премии по физике (1933). Член ряда академий наук мира, в том числе иностранный член Академии наук СССР (1934).

 

• Шрёдингеру принадлежит ряд фундаментальных результатов в области квантовой теории, которые легли в основу волновой механики: он сформулировал волновые уравнения (стационарное и зависящее от времени уравнения Шрёдингера), показал тождественность развитого им формализма и матричной механики, разработал волновомеханическую теорию возмущений, получил решения ряда конкретных задач.

 

3

Уравнение Шрёдингера

 

• Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени:

 

• Пример нерелятивистского уравнения Шрёдингера в координатном представлении для точечной частицы массы , движущейся в потенциальном поле c потенциалом  :

 

4

Формулировка  общего случая

 

• В квантовой физике вводится комплекснозначная функция    , описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности). Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.

 

• Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию     , необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения  в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

 

5

• Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами                               , в определенный момент времени t она будет иметь вид             . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

 

• Где             ,    — постоянная Планка;       — масса частицы,            — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке .                           в момент времени   ,    — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

 

Формулировка  общего случая

 

6

Стационарное  уравнение Шрёдингера

 

• Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда       не является функцией времени, можно записать в виде:

 

• где функция         должна удовлетворять уравнению:

 

которое получается из уравнения  Шрёдингера (1) при подстановке в  него указанной выше формулы для      (2). Заметим, что уравнение (3) вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

 

7

Случай трехмерного пространства

 

• В трёхмерном случае пси-функция является функцией трёх координат и  в декартовой системе координат заменяется выражением:

 

• тогда уравнение Шрёдингера примет вид:

 

где        — ,    постоянная Планка,      — масса частицы,               — потенциальная энергия в точке              .

 

8

Атом  водорода

 

• Атом водорода — физическая система, состоящая из атомного ядра, несущего элементарный положительный электрический заряд, и электрона, несущего элементарный отрицательный электрический заряд. В состав атомного ядра может входить протон или протон с одним или несколькими нейтронами, образуя изотопы водорода.

 

• Электрон преимущественно находится в тонком концентрическом шаровом слое вокруг атомного ядра, образуя электронную оболочку атома. Наиболее вероятный радиус электронной оболочки атома водорода в стабильном состоянии равен боровскому радиусу a₀ = 0,529 Å.

 

 

9

Атом  водорода 
Квантование

 

• Решение уравнения Шрёдингера для водородного атома использует факт, что кулоновский потенциал является изотропным, то есть не зависит от направления в пространстве, другими словами, обладает сферической симметрией. Хотя конечные волновые функции (орбитали) не обязательно сферически симметричны, их зависимость от угловой координаты следуют полностью из изотропии основного потенциала: собственные значения оператора Гамильтона можно выбрать в виде собственных состояний оператора углового момента.

 

• Это соответствует тому факту, что угловой момент сохраняется при орбитальном движении электрона вокруг ядра. Отсюда следует, что собственные состояния гамильтониана задаются двумя квантовыми числами углового момента l и m (целые числа). Квантовое число углового момента l может принимать значения 0, 1, 2… и определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число может принимать m = −l, …, +l; оно определяет проекцию углового момента на (произвольно выбранную) ось z.

 

10

• В дополнение к математическим выражениям для волновых функций полного углового момента и проекции углового момента, нужно найти выражение для радиальной зависимости волновой функции. Это приводит к третьему квантовому числу, которое называется основным квантовым числом n и может принимать значения 1, 2, 3… Основное квантовое число в атоме водорода связано с полной энергией атома. Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничено основным квантовым числом: оно может изменяться только до n − 1, то есть l = 0, 1, …, n−1.

 

• Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничено основным квантовым числом: оно может изменяться только до n − 1, то есть l = 0, 1, …, n−1. Это приводит к третьему квантовому числу, которое называется основным квантовым числом n и может принимать значения 1, 2, 3… На рисунке изображены электронные облака атома водорода в состояниях: n=2, l=1 и m=1, 0, -1 при наличии магнитного поля.

 

 

11

• Состояние атома с наименьшей энергией называется основным (n = 1), все остальные состояния – возбужденными. Орбитальное квантовое число l связано с моментом импульса орбитального движения электрона вокруг ядра. Так как электрон имеет электрический заряд, то его движение вокруг ядра приводит к появлению магнитного момента, аналогичного магнитному моменту кругового витка с током. Орбитальное квантовое число l может принимать целочисленные значения от 0 до n -1, оно квантует величину момента импульса L и магнитного момента m согласно соотношениям

 

 

• где mБ - постоянная, служащая единицей измерения магнитных моментов атомов и называемая магнетоном Бора.

 

12

13

• Из-за сохранения углового момента состояния с одинаковыми l, но различными m в отсутствие магнитного поля имеют одну и ту же энергию (это выполняется для всех задач с аксиальной симметрией). Кроме того, для водородного атома состояния с одинаковыми n, но разными l также вырождены (то есть имеют одинаковую энергию).

 

• Однако это свойство — особенность лишь атома водорода (и водородоподобных атомов), оно не выполняется для более сложных атомов, которые имеют (эффективный) потенциал, отличающийся от кулоновского (из-за присутствия внутренних электронов, экранирующих потенциал ядра).

 

 

14

• Если мы примем во внимание спин электрона, то появится последнее, четвёртое квантовое число, определяющее состояния атома водорода — проекция углового момента собственного вращения электрона на ось Z. Эта проекция может принимать два значения. Любое собственное состояние электрона в водородном атоме полностью описывается четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний.

 

• Это объясняет также, почему выбор оси Z для квантования направления вектора углового момента является несущественным: орбиталь для данных l и  полученных для другой выделенной оси  всегда представляется как подходящая суперпозиция различных состояний с разными m (но тем же самым l), которые были получены для Z.

 

 

15

• Изображение справа показывает первые несколько орбиталей атома водорода (собственные функции гамильтониана). Они представляют собой поперечные сечения плотности вероятности, величина которой отражена цветом (чёрный цвет соответствует минимальной плотности вероятности а белый — максимальной). Квантовое число углового момента l обозначено в каждой колонке, используя обычные спектроскопические обозначения (s означает l = 0; p: l = 1; d: l = 2). Главное квантовое число n (= 1, 2, 3…) отмечено справа от каждого ряда. Для всех картин магнитное квантовое число m равно 0, и сечение взято в плоскости — XZ, Z — вертикальная ось. Плотность вероятности в трёхмерном пространстве получается при вращении картинки вокруг оси Z.

 

16

• Рассмотрим сейчас решение уравнения Шрёдингера для атома водорода. Так как потенциальная функция электрона в атоме водорода имеет вид                       где e — заряд электрона (и протона), r — радиус-вектор, то уравнение Шрёдингера запишется следующим образом:

 

• Здесь ψ — волновая функция электрона в системе отсчёта протона, m — масса электрона, h — постоянная Планка, E — полная энергия электрона,                            — оператор Лапласа. Так как потенциальная функция зависит от r, а не от координат по отдельности, удобно будет записать лапласиан в сферической системе координат                В ней он выглядит следующим образом:

 

Решение уравнения Шредингера для атома  водорода

 

17

• Уравнение Шрёдингера в сферических координатах:

 

• В этом уравнении  ψ  — функция трёх переменных             Разделим его на три более простых уравнения. Для этого представим функцию                 как произведение трех функций:                                         Эти функции будем обозначать просто             Тогда