Сравнение особенностей применения способа фурье операторного метода лапласа для анализа электрических цепей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая

Кузнецов В.И. СРАВНЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ПРИМЕНЕНИЯ СПОСОБА ФУРЬЕ ОПЕРАТОРНОГО МЕТОДА ЛАПЛАСА ДЛЯ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Курсовая работа: 37 с., 6 рис., 5 использованных источников.

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ, МЕТОД ЛАПЛАСА, МЕТОДЫ ФУРЬЕ ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД, ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ. 

Объект исследования:

Цель работы: сравнить особенности  применения способа Фурье операторного метода Лапласа для анализа электрических  цепей. Методы исследования: изучение литературы, рассмотрение интернет ресурсов. Область применения и рекомендации: данная работа может быть использована студентами технических специальностей для сравнения особенностей применения способа Фурье операторного метода Лапласа для анализа электрических цепей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………….….4

Глава 1. Преобразование Фурье…………………………………………………6

1.Периодические сигналы  и ряды Фурье………………………………….…....6

Глава 2. Операторный метод  анализа переходный процессов…………….....23

1.Преобразование Лапласа………………………………………………...........23

2.Операторный метод  анализа переходный процессов…………….………....26

Заключение………………………………………………………………………36

Список используемой литературы.……………………………….……………38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение 

 

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

В частности:

1. Гармонические сигналы  инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными  электрическими цепями. Если такая  цепь возбуждена источником гармонических  колебаний, то сигнал на выходе  цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических  колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

 

Действия над многозначными  числами, как известно, существенно  упрощаются при использовании логарифмов. Так операция умножения сводится к сложению логарифмов, деление – к вычитанию логарифмов и т. д. Каждому числу соответствует свой логарифм и поэтому логарифм можно рассматривать как своего рода изображение числа.

Так, например, , следовательно, в этой системе 2 есть изображение числа 100.

В основе операторного метода также лежит понятие об изображении. Однако если в случае логарифмов речь шла об изображении числа, то в операторном методе используется изображение функций времени. Здесь каждой функции времени , определенной в области , соответствует некоторая функция новой переменной  и, наоборот, функции переменной соответствует определенная функция времени .

Функция называется оригиналом, функция – изображением, а переменная – оператором.

Фраза "функция  имеет своим изображением " условно записывается так .

Знак  называют знаком соответствия.

Основанный на таком представлении  функций метод получил название операторного и используется для  аналитического решения линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в теории электрических цепей. Решение задачи при этом как бы разбивается на 3 этапа.

На первом этапе осуществляется переход из временной области в операторную, на втором – решение задачи в операторной форме и на третьем – обратный переход в область реального времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1 преобразование Фурье

 

1.1. Периодические сигналы и ряды Фурье

 

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический  сигнал s(t) со следующим свойством:

 

 

s(t) = s(t±nT), N= 1, 2, …         (1)  

 

 

 

Здесь T— период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого

сигнала.

Ряд Фурье. Зададим на отрезке времени [-T/2, T/2], ортонормированный базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами:

u₀= , u₁= ,  

u₂= ,   u₃= ,      (2)

u₄= ,  u₅= ,

 

Любая функция u_m из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (1). Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала s(t) в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

c_m=(s, u_m)      (3)

получим спектральное разложение

,      (4)

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (4) называется рядом Фурье данного сигнала.

Введем основную частоту ω₁=2π/T последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

 

 

                                        (5)

с коэффициентами

,

,    (6)

.

Итак, в общем случае периодический  сигнал содержит не зависящую от времени  постоянную составляющую и бесконечный  набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами ω_n = nω₁ (n=1, 2, 3, ...), кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать  ее амплитудой A_n и начальной фазой φ_n. Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

a_n= A_ncosφ_n,     b_n= A_nsinφ_n,

так что

_,     tgφ_n=b_n/a_n.

 

Подставив эти выражения  в (5), получим другую, эквивалентную  форму ряда Фурье:

 

                                                 (7)

Спектральная диаграмма  периодического сигнала. Так принято  называть графическое изображение  коэффициентов ряда Фурье для  конкретного сигнала. Различают  амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором 'масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и  начальные фазы.

 

 

 

 

 

Рисунок 1 спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала:

а – амплитудная; б – фазовая

 

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР 1.1.

Ряд Фурье периодической  последовательности прямоугольных  видеоимпульсов s(t) с известными параметрами τ_n, T, A, четной относительно точки t=0.

В радиотехнике отношение q=T/τ_n называют скважностью последовательности. По формулам (6) находим

 

,

Окончательную формулу  ряда Фурье можно записать в виде

                                  (1.8)

 

 

Комплексная форма ряда Фурье.

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить  и несколько по иному, используя  систему базисных функций (Базисная функция — функция, которая является базисным вектором, если совокупность всевозможных функций представлять как линейное пространство), состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

,  k= 0, ±1, ±2,…      (8)

Легко видеть, что функции  этой системы периодичны с периодом T и ортонормированы на отрезке времени [ -T/2, T/2], так как

Ряд Фурье произвольного  периодического сигнала в данном случае принимает вид

с коэффициентами

Обычно используют следующую  форму записи:

,     (9)

.    (10)

Выражение (9) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в  соответствии с формулой (9) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем С_~n=C_n^* В ряде (10) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например:

Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье 

Метод рядов Фурье  допускает глубокое и плодотворное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики непериодических сигналов. Среди последних для радиотехники наибольший интерес представляют импульсные сигналы.

 

Периодическое продолжение  импульса.

 Пусть s(t) — одиночный импульсный сигнал конечной длительности. Дополнив его мысленно такими же сигналами, периодически следующими через некоторый интервал времени Т, получим изученную ранее периодическую последовательность s_пер (t), которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье

 

     (11)

    

.                (12)

Для того чтобы вернуться  к одиночному импульсному сигналу, устремим к бесконечности период повторения T. При этом, очевидно:

1. Частоты соседних  гармоник nω₁ и (n + 1) окажутся сколь угодно близкими, так что в формулах (11) и (12) дискретную переменную nω₁ можно заменить непрерывной переменной ω — текущей частотой.

2. Амплитудные коэффициенты  С_n станут неограниченными, малыми из-за наличия величины T в знаменателе формулы (12).

Наша задача состоит  теперь в нахождении предельного вида формулы (11) при Т→∞.

Понятие спектральной плотности  сигнала.

Воспользуемся тем, что  коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно-сопряженные  пары:

,   .

Каждой такой паре отвечает гармоническое колебание

С комплексной амплитудой

Рассмотрим малый интервал частот ∆ω, образующий окрестность  некоторого выбранного значения частоты  ω₀. В пределах этого интервала будет содержаться Т=∆ω/ω₁=∆ωT/(2π) отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых отличаются сколь угодно мало. Поэтому составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами

В результате находим комплексную амплитуду эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внутри интервала ∆ω

    (13)

Функция

         (14)

носит название спектральной плотности сигнала s(t). Формула (14) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала.

Физический смысл понятия  спектральной плотности. Интерпретацию  полученных результатов удобно провести, перейдя от угловой частоты ω  к циклической частоте f=ω/(2π)

При этом формула (14) приобретет вид

        (15)

Ее надо трактовать так: спектральная плотность S(2πf₀)=S(ω₀) есть коэффициент пропорциональности между длиной малого интервала частот ∆f и отвечающей ему комплексной амплитудой ∆A_f0 гармонического сигнала с частотой f₀. Коэффициент 2 означает, что вклад в амплитуду дают в равной мере и положительные и отрицательные частоты, образующие окрестности

точек ±f₀. Принципиально важно, что спектральная плотность – комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных синусоид.

 

Обратное преобразование Фурье.

Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдем сигнал по его  спектральной плотности, которую будем  считать заданной.

Положим вновь, что непериодический  сигнал получается из периодической  последовательности, когда ее период устремляется к бесконечности. Воспользовавшись формулами (11) и (12), запишем

Входящий сюда коэффициент 1/T пропорционален разности между частотами соседних гармоник:

при любом целом n. Таким образом,

Поскольку в пределе частотные  интервалы между соседними гармониками  неограниченно сокращаются, последнюю  сумму следует заменить интегралом

       (16)

Эта важная формула называется обратным преобразованием Фурье  для сигнала s(t). Сформулируем окончательно фундаментальный результат: сигнал s(t) и его спектральная плотность S(ω) взаимно-однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье:

,       (17)

.

Метод спектральных разложений чрезвычайно обогащает теорию сигналов. Например, часто математическая модель сигнала, представленная функцией s(t), т.е. во временной, области, сложна и недостаточно наглядна. В то же время описание этого сигнала в частотной области посредством функции S(ω) может оказаться простым. Однако гораздо важнее другое: спектральное представление сигналов открывает прямой путь к.анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем.

Спектральная плотность  рассматриваемого сигнала есть вещественная функция частоты. Удобно ввести безразмерную переменную ξ=ωτ_n/2 и окончательно представить результат так:

        (18)

Отметим, что значение спектральной плотности на нулевой  частоте равно площади импульса: S(0)=Uτ_n. График, построенный во формуле (18), изображен на рисунке 2.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2. График нормированной спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса как функция параметра ξ=ωτ_n/2.

Спектральная плотность  экспоненциального видеоимпульса.