Сұйықтар мен газдар механикасы

                                 F=12=ω·r,

бұл z  осіне перпендикуляр  болып түседі.

    

2.6 – сурет. Беті ашық ыдыстың өзі осімен тік айналғандаңғы сұйықтың беті

Тең   әсерлі  массалы күштердің  X,Y,Z  проекциясының   x,y,z  осіне түсуін анықтаймыз:

                 X=ω2·r·cos(r,˄ x)=ω2r2x;

(2.25)

                 X=ω2·r·cos(r,˄ y)=ω2r2x;

                Z=-g.

Осы шамаларды  (2.16) теңдеуге қойып табамыз:

dP=ρ(ω2xdx+ ω2ydy-gdx),

осы теңдеуді интегралдап табамыз:

P=ρ  немесе

P= ρ+c,

мұндағы r2=x2+y2 болады.

Егер  x=y=z=0, P=0, және C=0, онда

P= ρ                                                    (2.26)

болады.

Бұл теңдеуден  (2.26) байқағанымыз: ыдыстың айналуы   кезінде  ең жоғары қысым оның түбіндегі  нүктеде және ыдыстың жақтау қабырғасында болады.Еркін жазықтық теңдеуін  (P=0)  былай табылады: 

Z = ,

 Егер  P0. Суреттегі қисық сызық A- 0 – В - парабола, ал сұйықтың еркін жазықтағы айналып тұрған –параболоид.

2.4. Гидростатиканың  негізгі заң

ның геометриялық  және физикалық сипаттамасы

Гидростатиканың негізгі заңын (2.19)  толық  қарастыралық.Ондағы  ρg= алмастырып,интегралдаудың тұрақтысын былай табамыз:

  C = + z0.

Егер P=P0 және Z=Z0, онда гидростатиканың негізгі теңдеуі  А және  В  нүктелері   үшін:

    Z+ немесе P=P0 +(z-z0).                                (2.27)

Сұйық бетінен төмен орналасқан  А нүктесі үшін негізгі гидростатикалық теңдеуі былай жазылады: P=P0 +һ, (2.27), мұндағы P- толық немесе абсолютті қысым – Pабс; салмақты қысым,бірлік ауданындағы h - тереңдігі,  Z және Z0 -  оймен алына салған салыстырмалы 0-0  жазықтықтан  А және В  нүктесіне дейінгі геометриялық биіктік,оны салыстырмалы  жазықтығы деп атайды; P/ және P0/биіктік, А және В нүктелеріндегі гидростатикалық қысым. Z  және P0/  шамасын гидравликада геометриялық және пьезометрлік биіктік немесе геометриялық және пьезометрлік  тегеурін деп атайды. Геометриялық және пьезометрлік екі  биіктіктің   қосындысын  толық гидростатикалық биіктік деп атайды:

                                  H=Z+                                     (2.28)

Бұл теңдеу бойынша, тепе -теңдік қалпындағы біртекті сұйықтың барлық нүктелерінде   геометриялық және пьезометрлік биіктіктердің қосындысы тұрақты шама болып саналады. Гидростатиканың негізгі теңдеуінің  (2.21) графигі есептеу жазықтығын  Н биіктігімен параллель болып жүргізілген көлденең жазықтық (0-0)  болып бейнеленеді.

Осы есептеу жазықтығынан Н биіктігінде жатқан көлденең   жазықтықты  тегеурін  жазықтығы деп атайды.Егер сұйықтың еркін бетіндегі қысым атмосфера қысымына тең болса,тегеурін жазықтығы сұйықтың еркін бетімен бірдей болады.

Физикалық тұрғыдан қарағанда, гидростатиканың негізгі теңдеулері  мүшелерінің (H=Z0+P0/ρg)  қосындысы  мен  g  үдеуінің көбейтіндісіне  тепе- теңдік  қалпындағы  сұйықтың меншікті  потенциалды энергиясы деп есептейді. Меншікті потенциалды  энергия деп потенциалды  энергияның сұйық  массасына  қатынасын айтады. Мысалы, gz- сұйықтың жер жағдайындағы биіктігінің   меншікті  энергиясы; ал g·P/=P/=p/ρ-сұйық қысымының  меншікті энергиясы.

Теңдеу (2.27)  гидростатикалық қысым Р сұйықтың қай нүктесінде және қандай тереңдігінде болсын,  еркін бетіне түскен сыртқы қысым Р0 байланысты болады,яғни тыныштықта тұрған сұйықтың еркін бетіне  сырттан түсетін қысым күшінің әсері,сұйықтың ішіндегі  қай нүктесі болсын,ешбір өзгеріссіз таратылып беріледі. Міне, бұл -тәжірибе түрінде табылған Паскаль заңының негізгі тұжырымдамасы.

 

2.5. Гидростатикалық  қысымды өлшеу құралдары

Қысымның мынадай түрлері ажыратылады: барометрлік, абсолюттік, манометрлік және вакуумметрлік. Барометрлік қысым (кейде атмосфералық) Рб белгілейді, бұл теңсіз бетінің қандай биіктігіне және ауа-райының жағдайымен тығыз байланысты болады. Нормалы барометрлі қысым 760 мм сынап бағанасына тең, яғни 101 325 Н/м2. Биіктігі өскен сайын, қысым кемей береді: мысалы, теңіз деңгейінен 1000 м биіктікте нормалы қысым 100/0-ге , 2000 м биіктікке 200/0-ге кемиді. Абсолюттік қысым Рабс гидростатиканың негізгі теңдеуі арқылы табылады:

Рабс= P0 +

Егер сұйықтың ашық бетіне тіке ғана барометрлік қысым түссе, онда

Р0 = Pб және Рабс= P0 + , Р = Рабс – P0=    (2.29)

Бұл формуланы манометрлік немесе артық қысым дейді, Рабс˃ Pб немесе Рабс ˂ Pб шама вакуумметрлік қысым деп аталады да, Рвак = Рб – PА (2.30) болады.

Манометрлік қысымды сұйық немесе серіппелі манометрмен өлшейді.

Ыдыстағы сұйықтың қысымын сұйықты манометрмен өлшейді, кейде мұндай аспапты пьезометр деп атайды (2.7-сурет).                             

         

2.7-сурет. Сұйықты манометр.

Сынапты манометр (2.8-мурет) қысымды өлшеу кезінде жиі қолданылады. Сұйық ішіндегі екі нүктенің қысым айырмашылығын табу үшін (мысалы, екі ыдыстағы немесе бір құбыршаның) түтік (ішіндегі тек әртүрлі нүктедегі), дифференциялды манометр қолданылады.

Серіппелі манометрлер мембраналы және түтікшелі болып бөлінеді. Мембраналық манометрдің негізгі бөлшегі ирек-ирек (V) мембрана. Қысым өлшеу кезінде, барометрлік қысымнан артық болса, V мембрана майысады да, көрсеткіш межелік (шкала) қозғалады. Түтік манометрдің жұмыс істеу тәртібі негізгі бөлшегі – түтік (R), қысы артқанда түтік жазылыңқырайды да, нұсқар (стрелка) жылжиды (2.8-сурет).

                                

                                           2.8-сурет. Пластикалық манометр

Вакуумметрлік қысымды вакуумметрмен өлшейді. Өте көп тараған түрлері: сұйықты және серіппелі түрлері. Сұйықты вакуумметр – түтікшесынен тұрады, ол вакууметрлік қысым өлшегіш ыдыспен жалғасқан (S), ал басқа бөлігі (түтікшенің) сыртына ыдыстағы тығыздығы белгілі сұйықпен жалғасқан.

Т – түтікшесіндегі, К – нүктесіндегі гидростатикалық негізгі теңдеуін жазамыз:

Рб= P0 + вак,

бұдан , Рвак = Рб – Pа = немесе hвак = . (2.31)

Сонымен, сұйықтың тығыздығымен һвак білсек, онда Рвак табуға болады. Серіппелі вакууметрдің жұмыс істеуі серіппелі манометрмен бірдей

 

2.6. Сұйықтың гидростатикалық  қысым күшінің жазық және қисық  бетке түсуін анықтау

Гидростиканың негізгі теңдеуін пайдалана отырып, сұйықтың көлбеу жазықтың қабырғасына кейбір бұрышпен () түскен гидростатикалық қысымның күшін толық табу. Қаралып отырған учаскедегі ω көлеміне сұйық жақтан келіп түсетін қысым күшін есептеп шығарамыз. Ох сызық бойымен қабырға жазықтығымен жалғасып, сұйықтың ашық бетімен кездеседі де, у осімен α бұрышында болады. Шексіз аз ғана элементарлы көлемге түскен қысым күші:

dω = p·dω = (P0+γh)dγ = P0dω + γhdω   (2.32)

мұндағы Р0 – сұйықтың ашық бетіне түсетін қысым; γ=ρg –меншікті салмақ; ω – элементарлы ауданшаның һ тереңдіктегі орналасуы.

Гидростатикалық толық қысым күшін анықтау үшін (2.26) формуласымен барлық ω ауданы бойынша интегралдап табамыз:

P = P0 ʃωdω + γʃωhdω = P0S + γsinαʃsyds   (2.33)

мұндағы у – ауданша көлемінің центр координатасы; у =уsinα интеграл ʃω=уdω; ω – жазықтың ауданының ОХ осіндегі статикалық моменті бойынша сол ауданның ауырлық ортасы координатасының көбейтіндісіне тең болады (с нүктесі) ʃωydω=yc·ω.

Онда:

P = P0·γsinα·Yc·ω = P0ω + γhc·ω       (2.34),

мұндағы һс=sinα·ус, S – ауданының ауырлық центрінің (ортасының) тереңдік координатасының шамасы немесе Р=(Р0+γһс)·ω=Pс·ω.

Бұл формуланың тұжырымы былай: жазық бетке сұйықтың әсер ететін толық қысым күшін осы ауданның (ω) гидростатикалық қысым күші мен ауырлық ортасының көбейтіндісіне тең болады да, оның тең әсерлі күш Р (равнодейтвующие) деп атайды.

Егер қысым Р0 атмосфералық болса, онда көлбеу жазықтықтың қабырғасына сұйықтың артық қысым күшін былай табады:

             Рарт=һс·γ·ω=Рарт·ω                  (2.35)

Енді қысым орталығының орналасу жағдайын табамыз. Қорытынды артық күштің сұйыққа түсетін нүктесін (Д) теориялық механикада қолданылатын теңдеу бойынша, тең әчерлі қысым күшінің (ṕ) моменті ОХ осі арқылы есептелген моменттердің қосындысына тең болады деген ережесін қолданамыз:

Рарт·уД = ʃSуd·Рарт ,

мұндағы  УД – Рарт күшінің түсетін координатасы, Рарт және dРарт таңбаларының Ус және У алмастырамыз да, УД табамыз:

Уд = =        (2.36)

мұндағы Ух=ʃω·у2dω – Ох осі бойынша ω ауданының инерция моментін еске ала отырып, былайша өрнектейміз: Ух=Ух0+Ус2·ω, мұндағы Ух0 – орталық осі бойындағы ω ауданның инерция моменті Ох осіне паралель болып түседі:

Уд = Нс + = Ус +    (2.37)

мұндағы S=Ус·ω – жазық фигураның статикалық моменті.

Егер де Р0 атмосфералық қысымға тең және ол қабырғаның екі жағынан бірдей әсер ететін болса, онда Д нүктесі орталық қысым күші болады. Тік жазықтық қабырғадағы, егер sinα=1 болса, онда һД=һс + болады.

Мысалы, тік бұрышты жазық қабырғаға түсетін гидростатикалық қысым күші:

Р = γһс·ω = γ в·н = вγН2      (2.38)

Формула (2.43) арқылы ортақ қысымды табамыз:

   УД = + = .              (2.39)

Яғни, тік бұрышты жазық қабырғаға түсетін орталық қысым сұйықтың ашық бетінен төмендегі деңгейде орналасады.

Сұйықтың жазық қабырға бетіне түсетін гидростатикалық қысымын сызу арқылы анықтауға болады, ол гидростатикалық қысымның сұйық бетінен төмен қарай тереңдігінің өзгеруіне байланысты қысым эпюрасын сызумен табады. Қысым эпюрасынан сұйық жақтағы қабырға тиістіре тұрғызылады да, тыныштықта тұрған сұйықтың нормалы бағытталғанын естен шығармау керек. Мысалы, жайдақ тік қабырғалы ыдыстағы қысым бірінші дәрежелі теңдеу заңдылығымен таралады:

Р = Р0 + γһі1.           (2.40)

егер, тереңдік һ1=0 болғанда, Р=Р0+һ1 болса, онда Р=Р0+γН.

Қысым эпюрасы трапециясы түрінде болады (2.9-сурет). Егер Р0 = РА болғанда, қысымның бөлініп таралуы бірінші дәрежелі теңдеу заңдылығымен табылады: Р=γһ1; егер һ1=0, онда Р=0; һ1=Н; онда Р=γН.

Қысым эпюрасы үшбұрыш түрінде (2.10-сурет) болады да, көлбеу сызықтың шамасы γ-ға байланысты болады, судың эпюрасы γс=9600Н/м3-ден артық, гидростатикалық қысымның түрі тең қабырғалы үшбұрышты, бұрыш Р=45˚-қа тең. Меншікті салмағы ауыр сұйықтардың, мысалы сынаптың қысым эпюрасының көлбеу сызығы жытығандау болады, яғни β˂45˚, ал жеңіл сұйықтардың (сумен салыстырғанда, мысалы, бензин, спирт) көлбеу сызығы тікте болады, яғни β˃45˚.

Гидростатикалық қысымның брініші қасиетін еске ала отырып, көолеу жайпақ қабырғаның қысым эпюрасын тұрғызамыз (2.9-сурет). Егер қабырғасы екі жағынан сұйық қысы түссе, оны және көлбеу беттік жазықтікін де бірінші тәсілмен тұрғызамыз.

            

                                                                 9-сурет.        

Қабырға қисық-қисық болған жағдайда, осы тәсіл қолданылады (2.9-сурет).

Тік қабырғалы ыдыстың горизонталь табанының ауданына түсетін сұйық қысымын мына формуламен табады:

          Р = γ·ω·һ.                                    (2.41)

Қысым эпюрасы цилиндрдің табан ауданы ω мен Н биіктігіне, ал қысым күші цилиндрдің ауданындағы сұйық салмағына те болады.

Бұдан мынаны  ойға түюге болады, артық гидростатикалық қысым күшінің ыдыс табанына түсуі сұйықтың қасиетін, ыдыс табанының ауданы мен ыдыстағы тереңдігіне байланысты болады, оның көлемі мен формасына байланысты болмайды. Сұйықтың бұл қасиетін гидростатикалық парадокс деп атайды.

2.10-сурет. Гидростатикалық  парадоксқа арналған сызба.

Сұйықтың қисық (доғалы) бетіне түсетін гидростатикалық қысым әсерлерін практикада көп пайдаланады (құбыр қабырғаларына, резервуарларға, гидротехникалық жапқыштар (затвор), т.б.).

Қисық бетті цилиндрлі формадағы А – В доғасына түсетін сұйықтың гидростатикалық қысымын табу үшін сұйықтағы гидростатикалық қысымын табу үшін сұйықтағы dω элементарлы көлемшесенің сұйықтың ашық бетінен У тереңдігіндегі жағдайын қарастырамыз. Dω көлемшенің өте кіші болуынан, оның жіңішке сызықша ретінде горизонтқа қөлбеу бұрышта α болуын қарастырамыз. Бөлініп алынған көлемшеге түсетін гидростатикалық қысымды былай табамыз:

dР = γ·у·dω.          

dР қысым күшін екі  құраушы күшке бөлеміз, горизонтальды dРх және тік dРу, оларды dωsinα=dωу және dωcosα=dω теңдестіреміз.

Алмастырған соң былай жазады:

dРх = dРsinα = γуdωsinα = γуdωу

                        dРу = dРcosα = γуdωcosα = γуdωх                      (2.42)

мұндағы dωу және dωх – О – х және О – у жазықтық осіне элементарлы көлемше dω проекциясының перпендикулярлы түсуі.

Бұл формуланы (2.50) барлық көлемі бойынша интегралдасақ:

Рх = γʃωууdωу = γһсωу,

мұндағы ʃωууdωу – осіне қарағандағы барлық жазықтың бетінің у – 0 – х-тағы статикалық моментінің ω проекциясы, ол көлемнің орталық салмақ координатасының көбейтіндісіне тең болады: һс – орталық салмақ координатасы.

Қисық бетке түсіп тұрған сұйықтың горизонтальды құраушы күші гидростатикалық қысым тік проекциясының қысым күшіне тең болады, яғни горизонтальды құраушы қысымкүшіне тең болады, яғни горизонтальды құраушы қысым күшін табу үшін қисық бетті денені тік жазықтықта проекциялап, оған түскен қысым күшін жазық қабырғаға түскендей есептен шығару керек.

Онда вертикальды құраушысы:

Ру = γʃωхуdωх = γʃωхdV = γV,

мұндағы V – дененің барлық қисық бетке түсетін көлемдік қысымы, яғни сұйықтың вертикальды құраушы гидростатикалық қысым күші қисық беттегі сұйықтың көлемдік салмағына тең.

Тең әсерлі шама күші – көлденең және тік құраушы геометрмялық суммаларға тең болады:

       Р =                           (2.44)