Шпоргалка по "Гидравлике"
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Июня 2013 в 23:02, шпаргалка
Описание работы
1. Методы применения законов гидравлики
1. Аналитический. Цель применения этого метода — устанавливать зависимость между кинематическими
и динамическими характеристиками жидкости. С этой целью пользуются уравнениями механики; в итоге получают уравнения движения и равновесия жидкости. Для упрощенного применения уравнений механики пользуются модельными жидкостями: например, сплошная жидкость. По определению, ни один параметр этого континуума (сплошной жидкости) не может быть прерывным, в том числе его производное, причем в каждой точке, если нет особых условий.
Содержание работы
1. Методы применения законов
гидравлики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1аб
2. Основные свойства жидкости. . . . . . . . . . . . . . 2аб
3. Силы, действующие в жидкости. . . . . . . . . . . . 3аб
4. Гидростатическое давление
и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4аб
5. Равновесие однородной
несжимаемой жидкости
под воздействием силы тяжести . . . . . . . . . . . . . 5аб
6. Законы Паскаля.
Приборы измерения давления . . . . . . . . . . . . . . . 6аб
7. Анализ основного уравнения
гидростатики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7аб
8. Гидравлический пресс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8аб
9. Определение силы давления
покоящейся жидкости
на плоские поверхности. Центр давления . . . . . 9аб
10. Определение силы давления
в расчетах
гидротехнических сооружений . . . . . . . . . . . . . . 10аб
11. Общая методика определения сил
на криволинейные поверхности . . . . . . . . . . . . . 11аб
12. Закон Архимеда. Условия плавучести
погруженных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12аб
13. Метацентр
и метацентрический радиус . . . . . . . . . . . . . . . . 13аб
14. Методы определения
движения жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14аб
15. Основные понятия,
используемые в кинематике жидкости . . . . . . . 15аб
16. Вихревое движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16аб
17. Ламинарное движение. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17аб
18. Потенциал скорости и ускорение
при ламинарном движении . . . . . . . . . . . . . . . . . 18аб
19. Уравнение неразрывности
жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19аб
20. Характеристики потока жидкости . . . . . . . . 20аб
21. Разновидность движения . . . . . . . . . . . . . . . 21аб
22. Дифференциальные уравнения
движения невязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . 22аб
23. Уравнение Эйлера
для разных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23аб
24. Форма Громеки уравнения движения
невязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24аб
25. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25аб
26. Анализ уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . 26аб
27. Примеры прикладного
применения уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . 27аб
28. Случаи, когда массовых
сил несколько . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28аб
29. Энергетический смысл
уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29аб
30. Геометрический смысл
уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30аб
31. Уравнения движения
вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31аб
32. Деформация в движущейся
вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32аб
33. Уравнение Бернулли
для движения вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . 33аб
34. Гидродинамический удар.
ГидроE и пьезоE уклоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34аб
35. Уравнение Бернулли
для неустановившегося движения
вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35аб
36. Ламинарный и турбулентный режимы
движения жидкости. Число Рейнольдса . . . . . . 36аб
37. Осредненные скорости.
Пульсационные составляющие. . . . . . . . . . . . . . 37аб
38. Средне квадратичное отклонение . . . . . . . . 38аб
39. Распределение скоростей
при равномерном установившемся
движении. Ламинарная пленка. . . . . . . . . . . . . . 39аб
40. Распределение скоростей
в «живом» сечении потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40аб
41. «Шероховатость»
и «гладкость» внутренних стенок трубы . . . . . . 41аб
42. Параметры потока,
от которых зависит потеря напора.
Метод размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42аб
43. Равномерное движение и коэффициент
сопротивления по длине. Формула Шези.
Средняя скорость и расход потока . . . . . . . . . . 43аб
44. Гидравлическое подобие. . . . . . . . . . . . . . . . 44аб
45. Критерии
гидродинамического подобия . . . . . . . . . . . . . . 45аб
46. Распределение касательных
напряжений при равномерном движении. . . . . 46аб
47. Турбулентный равномерный
режим движения потока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47аб
48. Неравномерное движение:
формула Вейсбаха и ее применение. . . . . . . . . 48аб
49. Местные сопротивления . . . . . . . . . . . . . . . . 49аб
50. Расчет трубопроводов . . . . . . . . . . . . . . . . . 50аб
51. Гидравлический удар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51аб
52. Скорость распространения волны
гидравлического удара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52аб
53. Дифференциальные уравнения
неустановившегося движения . . . . . . . . . . . . . . 53аб
54. Истечение жидкости
при постоянном напоре
через малое отверстие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54аб
55. Истечение через
большое отверстие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55аб
56. Коэффициент расхода системы . . . . . . . . . 56аб
Файлы: 1 файл
ГИДРАВЛИКА
шпаргалка
38. Средне квадратичное отклонение . . . . . . . . 38аб
39. Распределение скоростей
при равномерном установившемся
движении. Ламинарная пленка. . . . . . . . . . . . . . 39аб
40. Распределение скоростей
в «живом» сечении потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40аб
41. «Шероховатость»
и «гладкость» внутренних стенок трубы . . . . . . 41аб
42. Параметры потока,
от которых зависит потеря напора.
Метод размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42аб
43. Равномерное движение и коэффициент
сопротивления по длине. Формула Шези.
Средняя скорость и расход потока . . . . . . . . . . 43аб
44. Гидравлическое подобие. . . . . . . . . . . . . . . . 44аб
45. Критерии
гидродинамического подобия . . . . . . . . . . . . . . 45аб
46. Распределение касательных
напряжений при равномерном движении. . . . . 46аб
47. Турбулентный равномерный
режим движения потока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47аб
48. Неравномерное движение:
формула Вейсбаха и ее применение. . . . . . . . . 48аб
49. Местные сопротивления . . . . . . . . . . . . . . . . 49аб
50. Расчет трубопроводов . . . . . . . . . . . . . . . . . 50аб
51. Гидравлический удар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51аб
52. Скорость распространения волны
гидравлического удара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52аб
53. Дифференциальные уравнения
неустановившегося движения . . . . . . . . . . . . . . 53аб
54. Истечение жидкости
при постоянном напоре
через малое отверстие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54аб
55. Истечение через
большое отверстие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55аб
56. Коэффициент расхода системы . . . . . . . . . 56аб
Содержание
1. Методы применения законов
гидравлики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1аб
2. Основные свойства жидкости. . . . . . . . . . . . . . 2аб
3. Силы, действующие в жидкости. . . . . . . . . . . . 3аб
4. Гидростатическое давление
и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4аб
5. Равновесие однородной
несжимаемой жидкости
под воздействием силы тяжести . . . . . . . . . . . . . 5аб
6. Законы Паскаля.
Приборы измерения давления . . . . . . . . . . . . . . . 6аб
7. Анализ основного уравнения
гидростатики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7аб
8. Гидравлический пресс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8аб
9. Определение силы давления
покоящейся жидкости
на плоские поверхности. Центр давления . . . . . 9аб
10. Определение силы давления
в расчетах
гидротехнических сооружений . . . . . . . . . . . . . . 10аб
11. Общая методика определения сил
на криволинейные поверхности . . . . . . . . . . . . . 11аб
12. Закон Архимеда. Условия плавучести
погруженных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12аб
13. Метацентр
и метацентрический радиус . . . . . . . . . . . . . . . . 13аб
14. Методы определения
движения жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14аб
15. Основные понятия,
используемые в кинематике жидкости . . . . . . . 15аб
16. Вихревое движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16аб
17. Ламинарное движение. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17аб
18. Потенциал скорости и ускорение
при ламинарном движении . . . . . . . . . . . . . . . . . 18аб
19. Уравнение неразрывности
жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19аб
20. Характеристики потока жидкости . . . . . . . . 20аб
21. Разновидность движения . . . . . . . . . . . . . . . 21аб
22. Дифференциальные уравнения
движения невязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . 22аб
23. Уравнение Эйлера
для разных состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23аб
24. Форма Громеки уравнения движения
невязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24аб
25. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25аб
26. Анализ уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . 26аб
27. Примеры прикладного
применения уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . 27аб
28. Случаи, когда массовых
сил несколько . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28аб
29. Энергетический смысл
уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29аб
30. Геометрический смысл
уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30аб
31. Уравнения движения
вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31аб
32. Деформация в движущейся
вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32аб
33. Уравнение Бернулли
для движения вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . 33аб
34. Гидродинамический удар.
Гидро и пьезо уклоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34аб
35. Уравнение Бернулли
для неустановившегося движения
вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35аб
36. Ламинарный и турбулентный режимы
движения жидкости. Число Рейнольдса . . . . . . 36аб
37. Осредненные скорости.
Пульсационные составляющие. . . . . . . . . . . . . . 37аб
4. Гидростатическое давление
и его свойства
Общие дифференциальные уравнения равновесия
жидкости — уравнения Л. Эйлера для гидростатики.
Если взять цилиндр с жидкостью (покоящейся) и про
вести через него линию раздела, то получим жидкость
в цилиндре из двух частей. Если теперь приложить не
которое усилие к одной части, то оно будет переда
ваться другой через разделяющую плоскость сечения
цилиндра: обозначим эту плоскость S = w.
Если саму силу обозначить как
то взаимодействие,
передаваемое от одной части к другой через сечение
Δw, и есть гидростатическое давление.
Если оценить среднее значение этой силы,
Рассмотрев точку А как предельный случай w, опре
деляем:
Если перейти к пределу, то Δw переходит в точку А.
Поэтому
В конечном результате p
x
= p
n
,
точно так же можно получить p
y
= p
n
, p
z
= p
n
.
Следовательно,
p
y
= p
n
, p
z
= p
n
.
Мы доказали, что во всех трех направлениях (их мы
выбрали произвольно) скалярное значение сил одно
и то же, то есть не зависит от ориентации сечения Δw.
.
x
n
p
p
Δ
→ Δ
.
p
w
Δ
Δ
G
.
cp
p
p
p = =
S w
G
G
G
,
p
G
3. Силы, действующие в жидкости
Жидкости делятся на покоящиеся и движущиеся.
Здесь же рассмотрим силы, которые действуют на
жидкость и вне ее в общем случае.
Сами эти силы можно разделить на две группы.
1. Силы массовые. Подругому эти силы называ
ют силами, распределенными по массе: на каждую
частицу с массой ΔM = ρW действует сила ΔF, в зави
симости от ее массы.
Пусть объем ΔW содержит в себе точку А. Тогда
в точке А:
где F
А
— плотность силы в элементарном объеме.
Плотность массовой силы — векторная величина, отне
сена к единичному объему ΔW; ее можно проецировать
по осям координат и получить: Fx, Fy, Fz. То есть плот
ность массовой силы ведет себя, как массовая сила.
Примерами этих сил можно назвать силы тяжести,
инерции (кориолисова и переносная силы инерции),
электромагнитные силы.
Однако в гидравлике, кроме особых случаев, элект
ромагнитные силы не рассматривают.
2. Поверхностные силы. Таковыми называют си
лы, которые действуют на элементарную поверхность
Δw, которая может находиться как на поверхности, так
и внутри жидкости; на поверхности, произвольно про
веденной внутри жидкости.
Таковыми считают силы: силы давления
которые
составляют нормаль к поверхности; силы трения
ко
торые являются касательными к поверхности.
,
T
G
,
P
G
A
W
M
F
W
ρ
Δ →
Δ
=
Δ
0
,
(1)
lim
2. Основные свойства жидкости
Плотность жидкости. Если рассмотреть произволь
ный объем жидкости W, то он имеет массу M.
Если жидкость однородна, то есть если во всех на
правлениях ее свойства одинаковы, то плотность бу
дет равна
где M — масса жидкости.
Если требуется узнать r в каждой точке А объема W, то
где D — элементарность рассматриваемых характе
ристик в точке А.
Сжимаемость. Характеризуется коэффициентом
объемного сжатия.
Из формулы видно, что речь идет о способности жид
костей уменьшать объем при единичном изменении
давления: изза уменьшения присутствует знак минус.
Температурное расширение.
1
.
г
dW
=
W
dt
β
×
1
–
.
c
dW
W
d
β
ρ
=
×
A
W
M
W
ρ
Δ →
Δ
=
Δ
0
.
lim
.
M
W
ρ =
3
1. Методы применения законов
гидравлики
1. Аналитический. Цель применения этого метода —
устанавливать зависимость между кинематическими
и динамическими характеристиками жидкости.
С этой целью пользуются уравнениями механики;
в итоге получают уравнения движения и равновесия жид
кости.
Для упрощенного применения уравнений механики
пользуются модельными жидкостями: например, сплош
ная жидкость.
По определению, ни один параметр этого контину
ума (сплошной жидкости) не может быть прерывным,
в том числе его производное, причем в каждой точке,
если нет особых условий.
Такая гипотеза позволяет установить картину меха
нического движения и равновесия жидкости в каждой
точке континуума пространства.
Еще одним приемом, применяемом для облегче
ния решения теоретических задач, является реше
ние задачи для одномерного случая со следующим
обобщением для трехмерного. Дело в том, что для та
ких случаев не так трудно установить среднее значе
ние исследуемого параметра. После этого можно по
лучить другие уравнения гидравлики, наиболее часто
применяемые.
Однако этот метод, как и теоретическая гидромеха
ника, суть которой составляет строго математический
подход, не всегда приводит к необходимому теорети
ческому механизму решения проблемы, хотя и непло
хо раскрывает ее общую природу проблемы.
2. Экспериментальный. Основным приемом, по это
му методу, является использование моделей, соглас
2а
4а
3а
1а
Если по аналогии (1) определить плотность этих
сил, то:
нормальное напряжение в точке А:
касательное напряжение в точке А:
И массовые, и поверхностные силы могут быть внеш
ними, которые действуют извне и приложены к какой
то частице или каждому элементу жидкости; внутрен
ними, которые являются парными и их сумма равна
нулю.
A
W
T
T
ω
Δ →
Δ
=
Δ
G
G
0
.
(3)
lim
A
W
P
P
ω
Δ →
Δ
=
Δ
G
G
0
.
(2)
lim
Вот это скалярное значение приложенных сил
и есть гидростатическое давление, о котором го
ворили выше: именно это значение, сумма всех состав
ляющих, передается через Δw.
Другое дело, что в сумме (p
x
+ p
y
+ p
z
) какаято со
ставляющая окажется равной нулю.
Как мы в дальнейшем убедимся, в определенных
условиях гидростатическое давление все же может быть
неодинаково в различных точках одной и той же по
коящейся жидкости, т. е.
p = f(x, y, z).
Свойства гидростатического давления.
1. Гидростатическое давление всегда направлено
по нормали к поверхности и его величина не зависит
от ориентации поверхности.
2. Внутри покоящейся жидкости в любой точке гид
ростатическое давление направлено по внутренней
нормали к площадке, проходящей через эту точку. При
чем p
x
= p
y
= p
z
= p
n
.
3. Для любых двух точек одного и того же объема од
нородной несжимаемой жидкости (ρ = const)
где ρ — плотность жидкости;
П
1
, П
2
— значение поле массовых сил в этих точках.
Поверхность, для любых двух точек которой давле
ние одно и то же, называется поверхностью равного
давления.
p
П
р
П
ρ
ρ
1
1
2
2
+
=
+
,
но теории подобий: при этом полученные дан
ные применяются в практических условиях и ста
новится возможным уточнение аналитических резуль
татов.
Наилучшим вариантом является сочетание двух вы
шеназванных методов.
Современную гидравлику трудно себе представить
без применения современных средств проектирова
ния: это высокоскоростные локальные сети, автома
тизированное рабочее место конструктора и прочее.
Поэтому современную гидравлику нередко называют
вычислительной гидравликой.
Свойства жидкости
Поскольку газ — следующее агрегатное состояние
вещества, то у этих форм вещества существует свой
ство, общее для обоих агрегатных состояний. Это свой
ство текучести.
Исходя из свойств текучести, рассмотрев жидкое и га
зообразное агрегатное состояние вещества, увидим,
что жидкость — то состояние вещества, в котором его
уже невозможно сжимать (или можно сжать бесконеч
но мало). Газ — такое состояние того же вещества,
в котором его можно сжать, то есть газ можно назвать
сжимаемой жидкостью, точно так же, как и жидкость —
несжимаемым газом.
Другими словами, особых принципиальных разли
чий, кроме сжимаемости, между газом и жидкостью
не наблюдается.
Несжимаемую жидкость, равновесие и движение ко
торой изучает гидравлика, называют также капель
ной жидкостью.
Суть явления втом, что слой с меньшей скоростью
«тормозит» соседний. В итоге появляется особое
состояние жидкости, изза межмолекулярных связей у со
седних слоев. Такое состояние называют вязкостью.
Отношение динамической вязкости к плотности жид
кости называется кинематической вязкостью.
Поверхностное натяжение: изза этого свойства жид
кость стремится занимать наименьший объем, напри
мер, капли в шарообразных формах.
В заключение приведем краткий список свойств жид
костей, которые рассмотрены выше.
1. Текучесть.
2. Сжимаемость.
3. Плотность.
4. Объемное сжатие.
5. Вязкость.
6. Температурное расширение.
7. Сопротивление растяжению.
8. Свойство растворять газы.
9. Поверхностное натяжение.
v
μ
ρ
= .
1б
4
2б
3б
4б
5. Равновесие однородной
несжимаемой жидкости
под воздействием силы тяжести
Это равновесие описывается уравнением, которое
называется основным уравнением гидростатики.
Для единицы массы покоящейся жидкости
Для любых двух точек одного и того же объема, то
Полученные уравнения описывают распределение
давления в жидкости, которая находится в равновес
ном состоянии. Из них уравнение (2) является основ
ным уравнением гидростатики.
Для водоемов больших объемов или поверхности
требуется уточнения: сонаправлен ли
радиусу Зем
ли в данной точке; насколько горизонтальна рассма
триваемая поверхность.
Из (2) следует
где z
1
= z; p
1
= p; z
2
= z
0
; p
2
= p
0
.
p = p
0
+ ρgh,
(5)
где ρgh — весовое давление, которое соответствует
единичной высоте и единичной площади.
0
0
(
),
(4)
p= p + g z
z
ρ
−
g
G
1
2
1
2
.
(3)
p
p
gz +
= gz +
ρ
ρ
1
2
1
2
,
(2)
p
p
z +
= z +
g
g
ρ
ρ
const.
(1)
gz +
=
p
ρ
6. Законы Паскаля.
Приборы измерения давления
Что произойдет в других точках жидкости, если при
ложим некоторое усилие Δp ? Если выбрать две точки,
и приложить к одной из них усилие Δp
1
, то по основно
му уравнению гидростатики, во второй точке давле
ние изменится на Δp
2
.
откуда легко заключить, что при равности прочих сла
гаемых должно быть
Δp
1
= Δp
2
.
(2)
Мы получили выражение закона Паскаля, который гла
сит: изменение давления в любой точке жидкости в рав
новесном состоянии передается во все остальные точки
без изменений.
До сих пор мы исходили из предположения, что
ρ = const. Если иметь сообщающийся сосуд, который
заполнен двумя жидкостями с ρ
1
≠ ρ
2
, причем внеш
нее давление p
0
= p
1
= p
атм
, то согласно (1):
ρ
1
gh = ρ
2
gh,
(3)
откуда
где h
1
, h
2
— высота от раздела поверхности до соот
ветствующих свободных поверхностей.
1
1
2
2
,
(4)
h
=
h
ρ
ρ
1
1
2
2
1
2
,
(1)
p + p
p + p
z +
= z +
g
g
ρ
ρ
Δ
Δ
8. Гидравлический пресс
Гидравлический пресс служит для совершения на
коротком пути большей работы. Рассмотрим работу ги
дравлического пресса.
Для этого, чтобы совершалась работа над телом, на
до воздействовать на поршень с некоторым давлени
ем Р. Это давление, как и Р
2
, создается следующим
образом.
Когда поднимается поршень насоса с площадью ниж
ней поверхности S
2
, то он закрывает первый клапан
и открывает второй. После заполнения цилиндра во
дой второй клапан закрывается, открывается первый.
В результате вода через трубу заполняет цилиндр и да
вит на поршень с помощью нижнего сечения S
1
с давле
нием Р
2.
Это давление, как давление Р
1
, сжимает тело.
Совершенно очевидно, что Р
1
— это то же самое дав
ление, что и Р
2
, разница только в том, что они воздей
ствуют на разные по величине площади S
2
и S
1
.
Другими словами, давления:
P
1
= pS
1
и P
2
= pS
2
.
(1)
Выразив p = P
2
/S
2
и подставив в первую формулу,
получим:
Из полученной формулы следует важный вывод: на
поршень с большей площадью S
1
со стороны порш
ня с меньшей площадью S
2
передается давление
во столько раз большее, во сколько раз S
1
> S
2
.
1
1
2
2
.
(2)
S
p
P =
S
=
7. Анализ основного уравнения
гидростатики
Высоту напора принято называть пьезометриче
ской высотой, или напором.
Согласно основному уравнению гидростатики,
p
1
+ ρgh
A
= p
2
+ ρgh
H
,
где ρ — плотность жидкости;
g — ускорение свободного падения.
p
2
, как правило, задается p
2
= p
атм
, поэтому, зная
h
А
и h
H
, нетрудно определить искомую величину.
2. p
1
= p
2
= p
атм
. Совершенно очевидно, что из ρ =
= const, g = const следует, что h
А
= h
H
. Этот факт на
зывают также законом сообщающихся сосудов.
3. p
1
< p
2
= p
атм
.
Между поверхностью жидкости в трубе и ее закры
тым концом образуется вакуум. Такие приборы назы
вают вакуумметры; их используют для измерения дав
лений, которые меньше атмосферного.
Высота, которая и является характеристикой изме
нения вакуума:
Вакуум измеряется в тех же единицах, что и давление.
Пьезометрический напор
Вернемся к основному гидростатическому уравне
нию. Здесь z — координата рассматриваемой точки,
которая отсчитывается от плоскости XOY. В гидравлике
плоскость XOY называется плоскостью сравнения.
.
атм
В
р
р
h=
g
ρ
−
5
5а
6а
8а
7а
Отсчитанную от этой плоскости координату z
называют поразному: геометрической высотой;
высотой положения; геометрическим напором точки z.
В том же основном уравнении гидростатики величи
на p/ρgh — также геометрическая высота, на которую
поднимается жидкость в результате воздействия дав
ления р.
p/ρgh так же, как и геометрическая высота, изме
ряется в метрах. В случае, если через другой конец
трубы на жидкость действует атмосферное давление,
то жидкость в трубе поднимается на высоту p
изб
/ρgh,
которую называют вакуумметрической высотой.
Высоту, соответствующую давлению p
вак
, называют
вакуумметрической.
В основном уравнении гидростатики сумма z +
+ p/ρgh — гидростатический напор Н, различают так
же пьезометрический напор H
n
, который соответству
ет атмосферному давлению p
атм
/ρgh:
H
n
< H.
Давление р называют абсолютным давлени
ем p
абс
.
Если р > p
абс
, то p – p
атм
= p
0
+ ρgh – p
атм
— его назы
вают избыточным давлением:
p
изч
= p < p
0
,
(6)
если p < p
атм
, то говорят о разности в жидкости
p
вак
= p
атм
– p,
(7)
называют вакуумметрическим давлением.
Давление — физическая величина, которая
характеризует силы, направленные по нормали
к поверхности одного предмета со стороны другого.
Если силы распределены нормально и равномерно,
то давление
где
— суммарная приложенная сила;
S — поверхность, к которой приложена сила.
Если силы распределены неравномерно, то говорят
о среднем значении давления или считают его в от
дельно взятой точке: например, в вязкой жидкости.
Приборы для измерения давления
Одним из приборов, которым измеряют давление,
является манометр.
Недостатком манометров является то, что у них не
большой диапазон измерений: 1—10 кПа.
По этой причине в трубах используют жидкости, ко
торые «уменьшают» высоту, например, ртуть.
Следующим прибором для измерения давления яв
ляется пьезометр.
F
,
(5)
F
p=
S
G
G
6
Однако на практике изза сил трения до 15%
этой передаваемой энергии теряется: тратится
на преодоление сопротивления сил трения.
И все же у гидравлических прессов коэффициент
полезного действия η = 85% — достаточно высокий
показатель.
В гидравлике формула (2) перепишется в следую
щем виде:
где P
1
обозначено как R;
S
1
— ω
1
;
S
2
— ω
2
.
Гидравлический аккумулятор
Гидравлический аккумулятор служит для поддержания
давления в подключенной к нему системе постоянным.
Достижение постоянства давления происходит сле
дующим образом: сверху на поршень, на его площадь
ω, действует груз Р.
Труба служит для передачи этого давления по всей
системе.
Если в системе (механизме, установке) жидкости в из
бытке, то избыток по трубе поступает в цилиндр, пор
шень поднимается.
При недостатке жидкости поршень опускается, и соз
даваемое при этом давление р, по закону Паскаля, пе
редается на все части системы.
1
2
2
.
(3)
R= P
ω
η
ω
6б
5б
7б
8б
12. Закон Архимеда.
Условия плавучести
погруженных тел
Следует выяснить условия равновесия погруженно
го в жидкость тела и следствия, вытекающие из этих
условий.
Сила, действующая на погруженное тело — равно
действующая вертикальных составляющих P
z1
, P
z2
, т. е.:
P
z1
= P
z1
– P
z2
= ρgW
Т
.
(1)
где P
z1
, P
z2
— силы
направленные вниз и вверх.
Это выражение характеризует силу, которую приня
то называть архимедовой силой.
Архимедовой силой является сила, равная весу
погруженного тела (или его части): эта сила приложе
на в центр тяжести, направлена вверх и количествен
но равна весу жидкости, вытесненной погруженным
телом или его частью. Мы сформулировали закон Ар
химеда.
Теперь разберемся с основными условиями пла
вучести тела.
1. Объем жидкости, вытесненной телом, называется
объемным водоизмещением. Центр тяжести объем
ного водоизмещения совпадает с центром давления:
именно в центре давления приложена равнодей
ствующая сил.
2. Если тело погружено полностью, то объем тела W
совпадает с W
Т
, если нет, то W < W
Т
, то есть P
z
= ρgW.
z
P
G
11. Общая методика
определения сил
на криволинейные поверхности
1. В общем случае, это давление:
P
z
= ρgWg,
где Wg — обьем рассматриваемой призмы.
В частном случае, направления линий действия си
лы на криволинейную поверхность тела, давления за
висят от направляющих косинусов следующего вида:
Сила давления на цилиндрическую поверхность
с горизонтальной образующей полностью опреде
лена. В рассматриваемом случае ось O
Y
направлена
параллельно горизонтальной образующей.
2. Теперь рассмотрим цилиндрическую поверх
ность с вертикальной образующей и направим ось O
Z
параллельно этой образующей, что значит ω
z
= 0.
Поэтому по аналогии, как и в предыдущем случае,
2
,
2
x
y
'
x
ц.т.
x
''
y
ц.т. y
P = P + P
P = gh
P = gh
ρ
ω
ρ
ω
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
cos(
)
.
x
Z
P
P,O =
P
G
cos(
)
;
x
X
P
P,O =
P
G
10. Определение силы давления
в расчетах гидротехнических
сооружений
При расчетах в гидротехнике интерес представляет
сила избыточного давления Р, при:
р
0
= р
атм
,
где р
0
— давление, приложенное к центру тяжести.
Говоря о силе, будем иметь в виду силу, приложен
ную в центре давления, хотя будем подразумевать,
что это — сила избыточного давления.
Для определения
воспользуемся теоремой мо
ментов, из теоретической механики: момент равно
действующей относительно произвольной оси равен
сумме моментов составляющих сил относительно той
же оси.
Теперь, согласно этой теореме о равнодействую
щем моменте:
Поскольку при р
0
= р
атм
, P = ρgh
ц.е.
ω, поэтому dP =
= ρghdω = ρgsinθldω, следовательно (здесь и далее для
удобства не будем различать р
изб
и р
абс
), с учетом P
и dP из (2), а также после преобразований следует:
. .
.
y
ц т
ц.т.
I
l
=
l
ω
.
ц.д.
pl
= ldp
∫
абс
P
G
9. Определение силы давления
покоящейся жидкости
на плоские поверхности.
Центр давления
Для того, чтобы определить силу давления, будем
рассматривать жидкость, которая находится в покое
относительно Земли. Если выбрать в жидкости произ
вольную горизонтальную площадь ω, то, при условии,
что на свободную поверхность действует р
атм
= р
0
, на
ω оказывается избыточное давление:
Р
изб
= ρghω.
(1)
Поскольку в (1) ρghω есть не что иное, как mg, так
как hω и ρV = m, избыточное давление равно весу жид
кости, заключенной в объеме hω. Линия действия этой
силы проходит по центру площади ω и направлена по
нормали к горизонтальной поверхности.
Формула (1) не содержит ни одной величины, кото
рая характеризовала бы форму сосуда. Следователь
но, Р
изб
не зависит от формы сосуда. Поэтому из фор
мулы (1) следует чрезвычайно важный вывод, так
называемый гидравлический парадокс — при раз
ных формах сосудов, если на свободную поверхность
оказывается одно и тоже р
0
, то при равенстве плот
ностей ρ, площадей ω и высот h давление, оказывае
мое на горизонтальное дно, одно и то же.
При наклонности плоскости дна имеет место сма
чивание поверхности с площадью ω. Поэтому, в отли
чие от предыдущего случая, когда дно лежало в гори
зонтальной плоскости, нельзя сказать, что давление
постоянно.
7
9а
10а
11а
12а
3. Тело будет плавать только в том случае, если
вес тела
G
Т
= P
z
= ρgW,
(2)
т. е. равен архимедовой силе.
4. Плавание:
1) подводное, то есть тело погружено полностью,
если P = Gт, что означает (при однородности тела):
ρgW = ρ
т
gW
Т
, откуда
где ρ, ρ
Т
— плотность жидкости и тела соответственно;
W — объемное водоизмещение;
W
Т
— объем самого погруженного тела;
2) надводное, когда тело погружено частично; при этом
глубину погружения низшей точки смоченной поверх
ности тела называют осадкой плавающего тела.
Ватерлинией называют линию пересечения погру
женного тела по периметру со свободной поверх
ностью жидкости.
Площадью ватерлинии называется площадь по
груженной части тела, ограниченной ватерлинией.
Линию, которая проходит через центры тяжести те
ла и давления, называют осью плавания, которая при
равновесии тела вертикальна.
т
,
(3)
T
W
=
W
ρ
ρ
где
h'
ц.т.
— глубина центра тяжести проекции
под пьезометрическую плоскость;
h''
ц.т.
— то же самое, только для ω
y
.
Аналогично, направление
определяется направ
ляющими косинусами
Если рассмотреть цилиндрическую поверхность, точ
нее, объемный сектор, с радиусом γ и высотой h, с вер
тикальной образующей, то
ω
x
= h
y
,
h'
ц.т
. = 0,5h.
3. Осталось обобщить полученные формулы для при
кладного применения произвольной криволинейной
поверхности:
2
2
2
.
x
y
z
P = P + P + P
cos(
)
/ ;
cos(
)
/ .
x
y
P,OX = P P
P,OY = P P
G
G
P
G
Если теперь перенесем ось момента инерции,
то есть линию уреза жидкости (ось O
Y
) в центр
тяжести ω, то есть в точку С, то относительно этой оси
момент инерции центра давления точки D будет J
0
.
Поэтому выражение для центра давления (точка D)
без переноса оси момента инерции от той же линии
уреза, совпадающие с осью O
Y
, будет иметь вид:
I
y
= I
0
+ ωl
2
ц.т.
.
Окончательная формула для определения места рас
положения центра давления от оси уреза жидкости:
l
ц.д.
= l
ц.г.
+ I
0
/S.
где S = ωl
ц.д.
— статистический момент.
Окончательная формула для l
ц.д.
позволяет опреде
лить центр давления при расчетах гидротехнических
сооружений: для этого разбивают участок на состав
ные участки, находят для каждого участка l
ц.д.
относи
тельно линии пересечения этого участка (можно поль
зоваться продолжением этой линии) со свободной
поверхностью.
Центры давления каждого из участков находятся ниже
центра тяжести смоченной площади по наклонной стен
ке, точнее по оси симметрии, на расстоянии I
0
/ωl
ц.u.
.
Чтобы определить его, разобьем площадь ω на
элементарные площади dω, на любую из которых
действует давление
По определению силы давления,
причем
направлено по нормали к площадке ω.
Теперь, если определить суммарную силу
кото
рая воздействует на площадь ω, то ее величина:
Определив второе слагаемое в (3) найдем Р
абс
.
P
абс
= ω(p
0
+ h
ц.е
).
(4)
Получили искомые выражения для определения дав
лений, действующих на горизонтальную и наклонную
плоскости: Р
изб
и Р
абс
.
Рассмотрим еще одну точку С, которая принадле
жит площади ω, точнее, точку центра тяжести смочен
ной площади ω. В этой точке действует сила
= ρ
0
ω.
Сила
действует в любой другой точке, которая не
совпадает с точкой С.
P
G
0
P
G
0
(
)
.
(3)
абс
0
P
=
p + gh d =
+
ghd
ω
ω
ρ
ω ρ ω
ρ
ω
∫
∫
,
P
G
dP
JJJG
,
(2)
pd = dP
ω
JJJG
G
.
p
G
8
10б
9б
11б
12б
16. Вихревое движение
Особенности видов движения, рассматриваемых
в гидродинамике.
Можно выделить следующие виды движения.
Неустановившееся, по поведению скорости, давле
ния, температуры и т. д.; установившееся, по тем же
параметрам; неравномерное, в зависимости от пове
дения тех же параметров в живом сечении с площадью;
равномерное, по тем же признакам; напорное, когда
движение происходит под давлением p > p
атм
, (напри
мер, в трубопроводах); безнапорное, когда движе
ние жидкости происходит только под действием силы
тяжести.
Однако основными видами движения, несмотря на
большое количество их разновидностей, являются вих
ревое и ламинарное движения.
Движение, при котором частицы жидкости вращаются
вокруг мгновенных осей, проходящих через их полю
сы, называют вихревым движением.
Это движение жидкой частицы характеризуется угло
вой скоростью, компонентами (составляющими), ко
торой являются:
y
z
x
x
z
y
y
z
z
u
u
y
z
u
u
z
x
u
u
x
y
υ
υ
ω
υ
υ
υ
υ
ω
υ
υ
υ
υ
ω
υ
υ
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
=
;
2
1
=
;
2
1
=
.
2
15. Основные понятия,
используемые
в кинематике жидкости
Сутью вышеупомянутого поля скоростей являются век
торные линии, которые часто называют линиями тока.
Линия тока — такая кривая линия, для любой точ
ки которой в выбранный момент времени вектор мест
ной скорости направлен по касательной (о нормаль
ной составляющей скорости речь не идет, поскольку
она равна нулю).
Формула (1) является дифференциальным урав
нением линии тока в момент времени t. Следова
тельно, задав различные t
i
по полученным
i
, где i = 1,
2, 3, …, можно построить линию тока: ею будет оги
бающая ломаной линии, состоящей из
i
.
Линии тока, как правило, не пересекаются в силу
условия
≠ 0 или
≠ ∞. Но все же, если эти условия
нарушаются, то линии тока пересекаются: точку пере
сечения называют особой (или критической).
1. Неустановившееся движение, которое так на
зывается изза того, что местные скорости в рассмат
риваемых точках выбранной области по времени из
меняются. Такое движение полностью описывается
системой уравнений.
u
G
u
G
u
G
u
G
.
(1)
(
)
(
)
(
)
x
y
z
dx
dy
dz
=
=
u x,y,z,t
u x,y,z,t
u x,y,z,t
14. Методы определения
движения жидкости
Гидростатика изучает жидкость в ее равновесном
состоянии.
Кинематика жидкости изучает жидкость в движе
нии, не рассматривая сил, порождавших или сопро
вождавших это движение.
Гидродинамика также изучает движение жидкости,
но в зависимости от воздействия приложенных к жид
кости сил.
В кинематике используется сплошная модель жид
кости: некоторый ее континуум. Согласно гипотезе
сплошности, рассматриваемый континуум — это
жидкая частица, в которой беспрерывно движется
огромное количество молекул; в ней нет ни разрывов,
ни пустот.
Если в предыдущих вопросах, изучая гидростатику,
за модель для изучения жидкости в равновесии взяли
сплошную среду, то здесь на примере той же модели
будут изучать жидкость в движении, изучая движение
ее частиц.
Для описания движения частицы, а через нее и жид
кости, существуют два способа.
1. Метод Лагранжа. Этот метод не используется
при описании волновых функций. Суть метода в сле
дующем: требуется описать движение каждой частицы.
Начальному моменту времени t
0
соответствуют на
чальные координаты x
0
, y
0
, z
0
.
Однако к моменту t они уже другие. Как видно, речь
идет о движении каждой частицы. Это движение мож
но считать определенным, если возможно указать для
каждой частицы координаты x, y, z в произвольной мо
мент времени t как непрерывные функции от x
0
, y
0
, z
0
.
13. Метацентр
и метацентрический радиус
Способность тела восстанавливать свое первоначаль
ное равновесное состояние после прекращения вне
шнего воздействия называют остойчивостью.
По характеру действия различают статистическую
и динамическую остойчивость.
Поскольку мы находимся в рамках гидростатики, то
и разберемся со статистической остойчивостью.
Если образовавшийся после внешнего воздействия
крен необратим, то остойчивость неустойчива.
В случае сохранения после прекращения внешнего
воздействия, равновесие восстанавливается, то остой
чивость устойчива.
Условием статистической остойчивости являет
ся плавание.
Если плавание подводное, то центр тяжести дол
жен быть расположен ниже центра водоизмещения на
оси плавания. Тогда тело будет плавать. Если надвод
ное, то остойчивость зависит от того, на какой угол θ
повернулось тело вокруг продольной оси.
При θ < 15
o
, после прекращения внешнего воздей
ствия равновесие тела восстанавливается; если θ ≥ 15
o
,
то крен необратим.
Точку пересечения архимедовой силы
с осью пла
вания называют метацентром: при этом
проходит
также через центр давления.
Метацентрическим радиусом называют радиус
окружности, частью которой является дуга, по кото
рой центр давления перемещается в метацентр.
Приняты обозначения: метацентр — M, метацентри
ческий радиус — γ
м
.
P
G
P
G
9
13а
14а
16а
15а
При θ < 15
о
где I
0
— центральный момент плоскости относительно
продольной оси, заключенной в ватерлинии.
После введения понятия «метацентр» условия
остойчивости несколько изменяются: выше говорили,
что для устойчивой остойчивости центр тяжести дол
жен находиться выше центра давления на оси плава
ния. Теперь предоложим, что центр тяжести не дол
жен находиться выше метацентра. В противном случае
силы
и
будут увеличивать крен.
Как очевидно, при крене расстояние δ между цент
ром тяжести и центром давления меняется в пределах
δ < γ
м
.
При этом расстояние между центром тяжести и мета
центром называют метацентрической высотой, ко
торая при условии (2) положительна. Чем больше мета
центрическая высота, тем меньше вероятность крена
плавающего тела. Наличие остойчивости относительно
продольной оси плоскости, содержащей в себе ватер
линию, является необходимым и достаточным усло
вием остойчивости относительно поперечной оси той
же плоскости.
1.
(2)
м
δ
γ
<
G
G
P
G
,
(1)
0
м
I
=
W
γ
13б
10
Переменные x
0
, y
0
, z
0
, t, называют переменными
Лагранжа.
2. Метод определения движения частиц по Эй
леру. Движение жидкости в этом случае происходит
в некоторой неподвижной области потока жидкости,
в котором находятся частицы. В частицах произвольно
выбираются точки. Момент времени t как параметр яв
ляется заданным в каждом времени рассматриваемой
области, которая имеет координаты x, y, z.
Рассматриваемая область, как уже известно, нахо
дится в пределах потока и неподвижна. Скорость части
цы жидкости
в этой области в каждый момент вре
мени t называется мгновенной местной скоростью.
Полем скорости называется совокупность всех мгно
венных скоростей. Изменение этого поля описывает
ся следующей системой:
Переменные в (2) x, y, z, t называют переменными
Эйлера.
(
),
(
),
(2)
(
).
x
x
y
y
z
z
u = u x,y,z,t
u = u x,y,z,t
u = u x,y,z,t
u
G
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
),
(
),
(1)
(
).
x = x x ,y ,z ,t
y = y x ,y ,z ,t
z = z x ,y ,z ,t
Вектор самой угловой скорости всегда пер
пендикулярен плоскости, в которой происходит
вращение.
Если определить модуль угловой скорости, то
Удвоив проекции
на соответствующие координа
ты оси ω
x
, ω
y
, ω
z
, получим компоненты вектора вихря
θ = 2ω.
Совокупность векторов вихря называется вектор
ным полем.
По аналогии с полем скоростей и линией тока, су
ществует и вихревая линия, которая характеризует
векторное поле.
Это такая линия, у которой для каждой точки вектор
угловой скорости сонаправлен с касательной к этой
линии.
Линия описывается следующим дифференциаль
ным уравнением:
в котором время t рассматривается как параметр.
Вихревые линии во многом ведут себя так же, как
и линии тока.
Вихревое движение называют также турбулентным.
,
(
)
(
)
(
)
x
y
z
x
y
z
=
=
x,y,z,t
x,y,z,t
x,y,z,t
υ
υ
υ
ω
ω
ω
ω
G
2
2
2
.
x
y
z
=
+
+
ω
ω
ω
ω
2. Установившееся движение: поскольку
при таком движении местные скорости не зави
сят от времени и постоянны:
Линии тока и траектории частиц совпадают, а диф
ференциальное уравнение для линии тока имеет вид:
Совокупность всех линий тока, которые проходят че
рез каждую точку контура потока, образует поверх
ность, которую называют трубкой тока. Внутри этой
трубки движется заключенная в ней жидкость, кото
рую называют струйкой.
Струйка считается элементарной, если рассмат
риваемый контур бесконечно мал, и конечной, если
контур имеет конечную площадку.
Сечение струйки, которое нормально в каждой своей
точке к линиям тока, называется живым сечением
струйки. В зависимости от конечности или бесконеч
ной малости, площадь струйки принято обозначать,
соответственно, ω и dω.
Некоторый объем жидкости, который проходит че
рез живое сечение в единицу времени, называют рас
ходом струйки Q.
.
(3)
(
)
(
)
(
)
x
y
z
dx
dy
dz
=
=
u x,y,z
u x,y,z
u x,y,z
(
),
(
),
(2)
(
).
x
x
y
y
z
z
u = u x,y,z
u = u x,y,z
u = u x,y,z
14б
16б
15б
17. Ламинарное движение
Это движение, называют также потенциальным (без
вихревым) движением.
При таком движении отсутствует вращение частиц
вокруг мгновенных осей, которые проходят через по
люсы жидких частиц. По этой причине:
υ
x
= 0; υ
y
= 0; υ
z
= 0.
(1)
ω
x
= ω
y
= ω
z
= 0.
Выше отмечалось, что при движении жидкости про
исходит не только изменение положения частиц в прост
ранстве, но и их деформация по линейным парамет
рам. Если рассмотренное выше вихревое движение
является следствием изменения пространственно
го положения жидкой частицы, то ламинарное (по
тенциальное, или безвихревое) движение являет
ся следствием деформационных явлений линейных
параметров, например, формы и объема.
Вихревое движение определялось направлением
вихревого вектора
где υ — угловая скорость, которая является характе
ристикой угловых деформаций.
Деформацию этого движения характеризируют де
формацией этих компонентов
;
;
.
(3)
y
x
z
x
y
z
I
I
I
υ
υ
υ
υ
υ
υ
2 ,
(2)
=
θ
υ
G
G
17а
11
19. Уравнение неразрывности
жидкости
Довольно часто при решении задач приходится опре
делять неизвестные функции типа:
1) р = р (х, у, z, t) — давление;
2) n
x
(х, у, z, t), n
y
(х, у, z, t), n
z
(х, у, z, t) — проекции ско
рости на оси координат х, у, z;
3) ρ (х, у, z, t) — плотность жидкости.
Эти неизвестные, всего их пять, определяют по
системе уравнений Эйлера.
Количество уравнений Эйлера всего три, а неизвест
ных, как видим, пять. Не хватает еще двух уравнений
для того, чтобы определить эти неизвестные. Уравне
ние неразрывности является одним из двух недостаю
щих уравнений. В качестве пятого уравнения исполь
зуют уравнение состояния сплошной среды.
Формула (1) является уравнением неразрывности,
то есть искомое уравнение для общего случая. В слу
чае несжимаемости жидкости ∂ρ/dt = 0, поскольку ρ =
= const, поэтому из (1) следует:
поскольку эти слагаемые, как известно из курса выс
шей математики, являются скоростью изменения дли
ны единичного вектора по одному из направлений
X, Y, Z.
0,
(2)
Ux
Uy
Uz
x
y
z
∂
∂
∂
+
+
=
∂
∂
∂
0.
(1)
Ux
Uy
Uz
t
x
y
z
ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
−
+
+
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
20. Характеристики потока жидкости
В гидравлике потоком считают такое движение мас
сы, когда эта масса ограничена:
1) твердыми поверхностями;
2) поверхностями, которые разделяют разные жид
кости;
3) свободными поверхностями.
В зависимости от того, какого рода поверхностями
или их сочетаниями ограничена движущаяся жид
кость, различают следующие виды потоков:
1) безнапорные, когда поток ограничен сочетанием
твердой и свободной поверхностей, например, ре
ка, канал, труба с неполным сечением;
2) напорные, например, труба с полным сечением;
3) гидравлические струи, которые ограничены жид
кой (как мы увидим позже, такие струйки называют
затопленными) или газовой средой.
Живое сечение и гидравлический радиус пото
ка. Уравнение неразрывности в гидравлической
форме
Сечение потока, с которого все линии тока нормаль
ны (т. е. перпендикулярны), называется живым сече
нием.
Чрезвычайно важное значение имеет в гидравлике
понятие о гидравлическом радиусе
Для напорного потока с круглым живым сечением,
диаметром d и радиусом r
0
, гидравлический радиус
выражается
2
(2)
4
4
d
d
R
.
d
ω
π
χ
π
=
=
=
(1)
R
.
ω
χ
=
18. Потенциал скорости и ускорение
при ламинарном движении
ϕ = ϕ(x, y, z)
(1)
Функция ϕ называется потенциалом скорости.
С учетом этого, компоненты ϕ выглядят следующим
образом:
Формулой (1) описывается неустановившееся дви
жение,поскольку она содержит параметр t.
Ускорение при ламинарном движении
Ускорение движения жидкой частицы имеет вид:
где du/dt — полные производные по времени.
Ускорение можно представить в таком виде, исходя
из
Составляющие искомого уско
рения
,
,
(4)
.
x
x
x
x
x
z
x
y
y
y
y
y
z
x
z
z
z
z
z
z
x
du
u
u
u
u u
=
+
i +
iy +
dt
t
x
y
z
du
u
u
u
u u
=
+
i +
iy +
dt
t
x
y
z
du
u
u
u
u u
=
+
i +
iy +
dt
t
x
y
z
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩
⎭
⎧
⎫
⎪
⎪
⎨
⎬
⎪
⎪
⎩
⎭
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩
⎭
.
dy
dz
=iy;
=iz
dt
dt
;
dx
=ix
dt
,
(3)
du
u
i
du
i
du
i
du
=
+
+
+
dt
t
x
dt
y
dt
z
dz
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
×
×
×
;
;
.
(2)
y
y
z
I =
I =
I =
x
y
z
υϕ
υϕ
υϕ
υ
υ
υ
−
−
−
18а
19а
20а
Но, поскольку при ламинарном движении υ
x
=
= υ
y
= υ
z
= 0, то:
Из этой формулы видно: поскольку существуют част
ные производные, связанные между собой в формуле
(4), то эти частные производные принадлежат некото
рой функции.
,
,
(4)
.
y
x
x
z
y
z
u
dh
=
dy
x
I
u
=
z
x
I
u
=
z
y
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
17б
12
Формула (4) содержит в себе информацию о пол
ном ускорении.
Слагаемые υu
x
/υt, υu
y
/υt, υu
z
/υt, называют местными
ускорителями в рассматриваемой точке, которыми ха
рактеризуются законы изменения поля скоростей.
Если движение установившееся, то
Само поле скоростей может быть названо конвекци
ей. Поэтому остальные части сумм, соответствующие
каждой строке (4), называют конвективными ускоре
ниями. Точнее, проекциями конвективного ускорения,
которое характеризует неоднородность поля скоростей
(или конвекций) в конкретный момент времени t.
Само полное ускорение можно назвать некоторой
субстанцией, которая является суммой проекций
du
x
/dt, du
y
/dt, du
z
/dt,
0.
y
x
z
u
u
u
=
=
=
t
t
t
υ
υ
υ
υ
υ
υ
При выводе (2) учли
Расход потока — это такое количество жидкости,
которое проходит через живое сечение за единицу вре
мени.
Для потока, состоящего из элементарных струек,
расход:
где dQ = dω — расход элементарного потока;
U — скорость жидкости в данном сечении.
Q = uw.
,
(4)
Q
dQ
Ud
ω
ω
ω
=
=
∫
∫
2
2
0
;
.
(3)
2
4
r
d
x
d
π
ω
π
π
⎛
⎞
=
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
Что касается всей суммы в (2), то она выражает
скорость относительного изменения объема dV.
Это объемное изменение называют поразному: объе
мным расширением, дивергенцией, расхождением век
тора скоростей.
Для струйки уравнение будет иметь вид:
где Q — количество жидкости (расход);
ω — угловая скорость струйки;
∂l — длина элементарного участка рассматри
ваемой струйки.
Если давление установившееся или площадь живо
го сечения ω = const, то ∂ω /∂t = 0, т. е. согласно (3),
ρ∂Q/∂l = 0, следовательно,
0.
(4)
Q
l
∂
=
∂
(
)
(
)
0,
(3)
Q
v
l
t
ρ
ρω
∂
+
=
∂
∂
18б
19б
20б
24. Форма Громеки
уравнения движения
невязкой жидкости
Уравнения Громеки — попросту другая, несколько
преобразованная форма записи уравнения Эйлера.
Например, для координаты x.
Чтобы его преобразовать, используют уравнения ком
понентов угловой скорости для вихревого движения.
Преобразовав точно так же y вую и z вую компонен
ту, окончательно приходим к форме Громеко уравне
ния Эйлера:
Уравнение Эйлера было получено российским уче
ным Л. Эйлером в 1755 г., и преобразовано в вид (2)
опять же российским ученым И. С. Громекой в 1881 г.
2
2
2
1
2(
)
2
1
2(
) .
(2)
2
1
2(
)
2
y
z
z
x
x
y
Ux
U
Fx
Uz
Uy
x
dt
x
Uy
U
Fy
Ux
Uz
x
dt
y
Uz
U
Fz
Uy
Ux
x
dt
z
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⎧
∂
∂
∂
− ×
=
+
×
+
−
⎪
∂
∂
⎪
⎪
∂
∂
∂
⎪
− ×
=
+
×
+
−
⎨
∂
∂
⎪
⎪
∂
∂
∂
⎪
− ×
=
+
×
+
−
∂
∂
⎪⎩
1
.
(1)
Ux
Ux
Ux
Ux
Fx
Ux
Uy
Uz
x
dt
x
y
z
ρ
ρ
∂
∂
∂
∂
∂
−
×
=
+
+
+
∂
∂
∂
∂
13
21. Разновидность движения
В зависимости от характера изменения поля ско
ростей различают следующие виды установившегося
движения:
1) равномерное, когда основные характеристики по
тока — форма и площадь живого сечения, средняя
скорость потока, в том числе по длине, глубине
потока (если движение безнапорное), — постоян
ны, не изменяются; кроме того, по всей длине по
тока вдоль линии тока местные скорости одинако
вы, а ускорений вовсе нет;
2) неравномерное, когда ни один из перечисленных
для равномерного движения факторов не выпол
няется, в том числе и условие параллельности ли
ний токов.
Существует плавно изменяющееся движение, ко
торое все же считают неравномерным движением;
при таком движении предполагают, что линии тока
примерно параллельны, и все остальные измене
ния происходят плавно. Поэтому, когда направле
ние движения и ось ОХ сонаправлены, то пренебре
гают некоторыми величинами
Ux ≈ U; Uy = Uz = 0.
(1)
Уравнение неразрывности (1) для плавно изменяю
щегося движения имеет вид:
аналогично для остальных направлений.
Поэтому такого рода движение называют равномер
ным прямолинейным;
0,
(2)
U
x
∂
=
∂
23. Уравнение Эйлера
для разных состояний
Уравнение Эйлера для разных состояний имеет раз
ные формы записи. Поскольку само уравнение полу
чено для общего случая, то рассмотрим несколько слу
чаев:
1) движение неустановившееся.
2) жидкость в покое. Следовательно, Ux = Uy = Uz = 0.
В таком случае уравнение Эйлера превращается
в уравнение равномерной жидкости. Это уравне
ние также дифференциальное и является системой
из трех уравнений;
3) жидкость невязкая. Для такой жидкости уравне
ние движения имеет вид:
где Fl — проекция плотности распределения сил
массы на направление, по которому направлена
касательная к линии тока;
dU/dt — ускорение частицы.
1
,
dU
Fl
l
dt
ρ
ρ
∂
−
×
=
∂
1
1
;
1
Ux
Ux
Ux
Ux
Fx
Ux
Uy
Uz
x
dt
x
y
z
Uy
Uy
Uy
Uy
Fy
Ux
Uy
Uz
x
dt
x
y
z
Uz
Uz
Uz
Uz
Fz
Ux
Uy
Uz
x
dt
x
y
z
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⎧
∂
∂
∂
∂
∂
−
×
=
+
+
+
⎪
∂
∂
∂
∂
⎪
⎪
∂
∂
∂
∂
∂
⎪
−
×
=
+
+
+
⎨
∂
∂
∂
∂
⎪
⎪
∂
∂
∂
∂
∂
−
×
=
+
+
+
⎪
∂
∂
∂
∂
⎪⎩
22. Дифференциальные уравнения
движения невязкой
жидкости
Уравнение Эйлера служит одним из фундаменталь
ных в гидравлике, наряду с уравнением Бернулли и не
которыми другими.
Изучение гидравлики как таковой практически на
чинается с уравнения Эйлера, которое служит исход
ным пунктом для выхода на другие выражения.
Попробуем вывести это уравнение. Пусть имеем
бесконечно малый параллелепипед с гранями dxdydz
в невязкой жидкости с плотностью ρ. Он заполнен
жидкостью и движется как составная часть потока. Ка
кие силы действуют на выделенный объект? Это силы
массы и силы поверхностных давлений, которые дей
ствуют на dV = dxdydz со стороны жидкости, в которой
находится выделенный dV. Как силы массы пропор
циональны массе, так и поверхностные силы пропор
циональны площадям, на которые оказывается да
вление. Эти силы направлены к граням вовнутрь по
нормали. Определим математическое выражение
этих сил.
Назовем, как и при получении уравнения неразрыв
ности, грани параллелепипеда:
1, 2 — перпендикулярные к оси О
Х
и параллельные
оси О
Y
;
3, 4 — перпендикулярные к оси O
Y
и параллельные
оси О
Х
;
5, 6 — перпендикулярные к оси O
Z
и параллельные
оси О
Х
.
Теперь нужно определить, какая сила приложена
к центру масс параллелепипеда.
21а
22а
23а
24а
14
Сила, приложенная к центру массы параллеле
пипеда, которая и заставляет эту жидкость со
вершать движение, есть сумма найденных сил, то есть
Получили уравнение движения параллелепипеда
с dV
1
по направлению оси Х.
Делим (1) на массу ρdxdydz:
Полученная система уравнений (2) есть искомое урав
нение движения невязкой жидкости — уравнение
Эйлера.
К трем уравнениям (2) добавляются еще два уравне
ния, поскольку неизвестных пять, и решается система
из пяти уравнений с пятью неизвестными: одним из
двух дополнительных уравнений является уравнение
неразрывности. Еще одним уравнением является
уравнение состояния. Например, для несжимаемой
жидкости уравнением состояния может быть условие
ρ = const.
Уравнение состояния должно быть выбрано таким
образом, чтобы оно содержало хотя бы одно из пяти
неизвестных.
1
1
.
(2)
1
dUx
Fx
x
dt
dUy
Fy
y
dt
dUz
Fz
z
dt
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⎧
∂
−
×
=
⎪
∂
⎪
⎪
∂
⎪
−
×
=
⎨
∂
⎪
⎪
∂
−
×
=
⎪
∂
⎪⎩
.
(1)
dUx
Fx dxdydz
dxdydz
dxdydz
x
dt
ρ
ρ
ρ
∂
−
=
∂
Уравнение Громеко (под воздействием массо
вых сил на жидкость):
Поскольку
–dП = Fxdx + Fydy + Fzdz,
(4)
то для компонентов Fy, Fz можно вывести те же выра
жения, что и для Fx, и, подставив это в (2), прийти к (3).
2
2
2
2(
)
2
2(
) .
(3)
2
2(
)
2
y
z
z
x
y
p
U
Ux
П
Uz
Uy
x
dt
p
U
Uy
П
Ux
Uz
y
dt
p
U
Uz
П
Uy x Ux
z
dt
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ρ
ρ
ρ
⎧
⎛
⎞
∂
∂
− −
−
=
+
−
⎜
⎟
⎪
∂
⎝
⎠
⎪
⎪
⎛
⎞
∂
∂
⎪
− −
−
=
+
−
⎜
⎟
⎨
∂
⎝
⎠
⎪
⎪
⎛
⎞
∂
∂
⎪
− −
−
=
+
−
⎜
⎟
⎪∂
⎝
⎠
⎩
Подставив U = dl/dt в (2) и учтя, что (∂U/∂l)U =
= 1/2(∂U
2
/∂l ), получим уравнение.
Мы привели три формы уравнения Эйлера для трех
частных случаев. Но это не предел. Главное — пра
вильно определить уравнение состояния, которое со
держало хотя бы один неизвестный параметр.
Уравнение Эйлера в сочетании с уравнением нераз
рывности может быть применено для любого случая.
Уравнение состояния в общем виде:
Таким образом, для решения многих гидродинами
ческих задач оказывается достаточно уравнения Эйле
ра, уравнения неразрывности и уравнения состояния.
С помощью пяти уравнений легко находятся пять
неизвестных: p, Ux, Uy, Uz, ρ.
Невязкую жидкость можно описать и другим уравне
нием.
0.
(3)
Ux
Uy
Uy
x
y
z
∂
∂
∂
+
+
=
∂
∂
∂
3) если движение нестационарное или неустано
вившееся, когда местные скорости с течением
времени изменяются, то в таком движении разли
чают следующие разновидности: быстро изме
няющееся движение, медленно изменяющееся
движение, или, как часто его называют, квазиста
ционарное.
Давление разделяют в зависимости от количества
координат в описывающих его уравнениях, на: прост
ранственное, когда движение трехмерное; плоское,
когда движение двухмерное, т. е. Uх, Uy или Uz равна
нулю; одномерное, когда движение зависит только от
одной из координат.
В заключение отметим следующее уравнение не
разрывности для струйки, при условии, что жидкость
несжимаемая, т. е. ρ = const, для потока это уравнение
имеет вид:
Q = υ
1
ω
1
= υ
2
ω
2
= … = υ
i
ω
i
= idem, (3)
где υ
i
ω
i
— скорость и площадь одного и того же сече
ния с номером i.
Уравнение (3) называют уравнением неразрывно
сти в гидравлической форме.
21б
22б
23б
24б
15
25. Уравнение Бернулли
Уравнение Громеки подходит для описания движе
ния жидкости, если компоненты функции движения
содержат какуюто вихревую величину. Например, эта
вихревая величина содержится в компонентах ω
x
, ω
y
,
ω
z
угловой скорости w.
Условием того, что движение является установив
шимся, является отсутствие ускорения, то есть усло
вие равенства нулю частных производных от всех ком
понентов скорости:
Если теперь сложить
то получим
что и есть равенство ускорения. Условием не
вязкой несжимаемой жидкости является:
1) отсутствие трения (внутри жидкости);
2) постоянство (однородности) плотности ρ = const.
С учетом (1), следует:
2
2
2
2(
)
2
2(
) .
(2)
2
2(
)
2
y
z
z
x
x
y
p
U
П
Uz
Uy
dx
p
U
П
Ux
Uz
dy
p
U
П
Uy
Ux
dz
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ρ
ρ
ρ
⎧
⎛
⎞
∂
− −
−
=
−
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎪
⎪
⎛
⎞
∂
⎪
− −
−
=
−
⎜
⎟
⎨
⎝
⎠
⎪
⎪
⎛
⎞
∂
⎪
− −
−
=
−
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎩
0,
Ux
dt
∂
=
,
Ux
Uy
Uz
dt
dt
dt
∂
∂
∂
+
+
0.
(1)
Ux
Uy
Uz
dt
dt
dt
∂
∂
∂
=
=
=
27. Примеры прикладного
применения уравнения Бернулли
Во всех случаях требуется определить математиче
скую формулу потенциальной функции, которая вхо
дит в уравнение Бернулли: но эта функция имеет раз
ные формулы в разных ситуациях. Ее вид зависит от
того, какие массовые силы действуют на рассматри
ваемую жидкость. Поэтому рассмотрим две ситуации.
Одна массовая сила
В этом случае подразумевается сила тяжести, кото
рая выступает в качестве единственной массовой си
лы. Очевидно, что в этом случае ось Z и плотность
распределения Fz силы П противонаправлены, следо
вательно,
Fx = Fy = 0; Fz = –g.
Поскольку –dП = Fxdx + Fydy + Fzdz, то –dП = Fzdz,
окончательно dП = –gdz.
Интегрируем полученное выражение:
П = –gz + C,
(1)
где С — некоторая постоянная.
Подставив (1) в уравнение Бернулли, имеем выра
жение для случая воздействия на жидкость только од
ной массовой силы:
2
const.
(2)
2
p
U
gz
ρ
+
+
=
28. Случаи, когда массовых
сил несколько
В этом случае усложним задачу. Пусть на частицы
жидкости действуют следующие силы: сила тяжести;
центробежная сила инерции (переносит движение от
центра); кориолисовая сила инерции, которая застав
ляет частицы вращаться вокруг оси Z с одновремен
ным поступательным движением.
В этом случае мы получили возможность предста
вить себе винтовое движение. Вращение происходит
с угловой скоростью w. Нужно представить себе кри
волинейный участок некоторого потока жидкости, на
этом участке поток как бы вращается вокруг некото
рой оси с угловой скоростью.
Частным случаем такого потока можно считать гид
равлическую струю. Вот и рассмотрим элементарную
струйку жидкости и применим в отношении к ней ура
внение Бернулли. Для этого поместим элементарную
гидравлическую струю в координатную систему XYZ
таким образом, чтобы плоскость YOX вращалась во
круг оси O
Z
.
Будем считать, что
— местная скорость жидкости
во вращающейся плоскости YOX. Пусть
Fx
1
= Fy
1
= 0; Fz
1
= –g —
составляющие силы тяжести (то есть ее проекции на
оси координат), отнесенные к единичной массе жид
кости. К этой же массе приложена вторая сила — сила
инерции ω
2
r, где r — расстояние от частицы до оси
вращения ее компоненты.
Fx
2
= ω
2
x; Fy
2
= ω
2
y; Fz
2
= 0
изза того, что ось O
Z
«не вращается».
U
JG
26. Анализ уравнения Бернулли
это уравнение есть не что иное, как уравнение линии
тока при установившемся движении.
Отсюда следуют выводы:
1) если движение установившееся, то первая и третья
строки в уравнении Бернулли пропорциональны.
2) пропорциональны строки 1 и 2, т. е.
Уравнение (2) является уравнением вихревой ли
нии. Выводы из (2) аналогичны выводам из (1),
только линии тока заменяют вихревые линии. Од
ним словом, в этом случае условие (2) выполняет
ся для вихревых линий;
3) пропорциональны соответствующие члены строк
2 и 3, т. е.
где а — некоторая постоянная величина; если под
ставить (3) в (2), то получим уравнение линий тока
(1), поскольку из (3) следует:
ω
x
= aUx; ω
y
= aUy; ω
z
= aUz.
(4)
const
,
(3)
x
y
z
a
Ux
Uy
Uz
ω
ω
ω
=
=
=
=
.
(2)
dx
dy
dz
x
y
z
ω
ω
ω
=
=
—
(1)
dx
dy
dz
Ux
Uy
Uz
=
=
25а
26а
27а
28а
16
Здесь следует интересный вывод о том, что век
торы линейной скорости
и угловой скорости
сонаправлены, то есть параллельны.
В более широком понимании надо представить се
бе следующее: так как рассматриваемое движение
установившееся, то получается, что частицы жид
кости движутся по спирали и их траектории по спи
рали образуют линии тока. Следовательно, линии
тока и траектории частиц — одно и то же. Движе
ние такого рода называют винтовым.
4) вторая строка определителя (точнее, члены второй
строки) равна нулю, т. е.
ω
x
= ω
y
= ω
z
= 0.
(5)
Но отсутствие угловой скорости равносильно от
сутствию вихревости движения.
5) пусть строка 3 равна нулю, т. е.
Ux = Uy = Uz = 0.
Но это, как нам уже известно, условие равновесия
жидкости.
Анализ уравнения Бернулли завершен.
ω
JG
U
JG
Окончательно уравнение Бернулли. Для рас
сматриваемого случая:
Или, что одно и то же, после деления на g
Если рассмотреть два сечения элементарной струй
ки, то, применив вышеуказанный механизм, легко убе
диться, что
где z
1
, h
1
, U
1
, V
1
, z
2
, h
2
, U
2
, V
2
— параметры соответ
ствующих сечений.
2
2 2
2
2 2
1
1
1
2
2
1
2
2
,
2
2
2
p
U
r
p
U
gz
gz
r
g
g
g
ω
ω
ρ
ρ
+
+
−
=
+
+
−
2
2 2
const.
2
2
p
U
r
z
g
g
g
ω
ρ
+
+
−
=
2
2 2
const.
2
2
p
U
r
gz
ω
ρ
+
+
−
=
Если разделить уравнение (2) на g (поскольку
оно постоянное), то
Мы получили одну из самых часто применяемых в ре
шении гидравлических задач формул, поэтому следует
ее запомнить особенно хорошо.
Если требуется определить расположение частицы
в двух разных положениях, то выполняется соотноше
ние для координат Z
1
и Z
2
, характеризующие эти поло
жения
Можно переписать (4) в другой форме:
2
2
1
2
.
(5)
2
2
p
U
p
U
Z
Z
g
g
g
g
ρ
ρ
+
+
=
+
+
2
2
1
2
.
(4)
2
2
p
U
p
U
gZ
gZ
ρ
ρ
+
+
=
+
+
2
const.
(3)
2
p
U
z
g
g
ρ
+
+
=
Если проецировать перемещение на бесконеч
но малую величину dl на координатные оси, то
получим:
dx = Uxdt; dy = Uydt; dz = Uzdt.
(3)
Теперь помножим каждое уравнение (3) соответ
ственно на dx, dy, dz, и сложим их:
Предположив, что правая часть равна нулю, а это
возможно, если вторая или третья строки равны нулю,
получим:
Нами получено уравнение Бернулли.
2
0.
(5)
2
p
U
d П
ρ
⎛
⎞
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
2
2(
)
.
(4)
2
y
p
U
П
dx
Uz
Uy z dx
x
ω
ω
ρ
⎛
⎞
∂
− −
+
=
−
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
25б
26б
27б
28б
17
29. Энергетический смысл
уравнения Бернулли
Пусть теперь имеем установившееся движение жид
кости, которая невязкая, несжимаемая.
И пусть она находится под воздействием сил тяжести
и давления, тогда уравнение Бернулли имеет вид:
Теперь требуется идентифицировать каждое из сла
гаемых. Потенциальная энергия положения Z — это
высота элементарной струйки над горизонтальной
плоскостью сравнения. Жидкость с массой М на вы
соте Z от плоскости сравнения имеет некоторую по
тенциальную энергию MgZ. Тогда
Это та же потенциальная энергия, отнесенная к еди
ничной массе. Поэтому Z называют удельной потен
циальной энергией положения.
Движущаяся частица с массой М и скоростью u име
ет вес MG и кинематическую энергию U
2
/2g. Если со
отнести кинематическую энергию с единичной мас
сой, то
2
2
.
2
2
U
U
M
=
.
MgZ
Z
Mg
=
2
const.
2
U
p
z
g
g
ρ
+
+
=
31. Уравнения движения
вязкой жидкости
Для получения уравнения движения вязкой жидкости
рассмотрим такой же объем жидкости dV = dxdydz, ко
торый принадлежит вязкой жидкости (рис. 1).
Грани этого объема обозначим как 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Рис. 1. Силы, действующие на элементарный
объем вязкой жидкости в потоке
Будем считать, что для любой точки жидкости
τ
xy
= τ
yx
; τ
xz
= τ
zx
; τ
yz
= τ
zy
.
(1)
Тогда из шести касательных напряжений остается
только три, поскольку попарно они равны. Поэтому
для описания движения вязкой жидкости оказывают
32. Деформация в движущейся
вязкой жидкости
В вязкой жидкости имеются силы трения, в силу это
го при движении один слой тормозит другой. В итоге
возникает сжатие, деформация жидкости. Изза этого
свойства жидкость и называют вязкой.
Если вспомнить из механики закон Гука, то по нему
напряжение, которое возникает в твердом теле, про
порционально соответствующей относительной де
формации. Для вязкой жидкости относительную де
формацию заменяет скорость деформации. Речь
идет об угловой скорости деформации частицы жид
кости dΘ/dt, которую подругому называют скоро
стью деформации сдвига. Еще Исааком Ньютоном
установлена закономерность о пропорциональности
силы внутреннего трения, площади соприкосновения
слоев и относительной скорости слоев. Также им был
установлен
коэффициент пропорциональности динамической вяз
кости жидкости.
Если выразить касательное напряжение через его
компоненты, то
,
,
(2)
.
y
x
xy
z
x
xz
z
yz
u
u
x
y
u
u
x
z
u
z
y
τ
μ
τ
μ
τ
μ
⎧
∂
⎛
⎞
∂
=
+
⎜
⎟
⎪
⎜
⎟
∂
∂
⎪
⎝
⎠
⎪
∂
∂
⎛
⎞
⎪
=
+
⎨
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎪
⎪
∂
⎛
⎞
⎪
=
+
⎜
⎟
⎪
∂
⎝
⎠
⎩
—
(1)
dt
τ μ
Θ
=
30. Геометрический смысл
уравнения Бернулли
Основу теоретической части такой интерпретации со
ставляет гидравлическое понятие напор, которое при
нято обозначать буквой Н, где
Гидродинамический напор Н состоит из следующих
разновидностей напоров, которые входят в формулу
(198) как слагаемые:
1) пьезометрический напор, если в (198) p = p
изг
, или
гидростатический, если p ≠ p
изг
;
2) U
2
/2g — скоростной напор.
Все слагаемые имеют линейную размерность, их
можно считать высотами. Назовем эти высоты:
1) z — геометрическая высота, или высота по положе
нию;
2) p/ρg — высота, соответствующая давлению p;
3) U
2
/2g — скоростная высота, соответствующая ско
рости.
Геометрическое место концов высоты Н соответству
ет некоторой горизонтальной линии, которую принято
называть напорной линией или линией удельной
энергии.
Точно так же (по аналогии) геометрические места
концов пьезометрического напора принято называть
пьезометрической линией. Напорная и пьезометри
ческая линии расположены друг от друга на расстоя
нии (высоте) p
атм
/ρg, поскольку p = p
изг
+ p
ат
, т. е.
изг
атм
.
(2)
p
p
p
g
g
g
ρ
ρ
ρ
=
+
2
.
(1)
2
p
U
H
z
g
g
ρ
= +
+
29а
30а
31а
32а
yz
yz
dy
y
τ
τ
∂
+
∂
zy
xy
dz
z
τ
τ
∂
+
∂
zz
zz
P
P
dz
z
∂
+
∂
zx
dz
z
τ
τ
∂
+
∂
yx
yx
dy
y
τ
τ
∂
+
∂
xz
xz
dx
x
τ
τ
∂
+
∂
xx
xx
P
P
dx
x
∂
+
∂
yy
yy
P
P
dy
y
∂
+
∂
xy
xy
dx
x
τ
τ
∂
+
∂
P
zz
X
Y
Z
C
H
E
K
B
D
A
xx
P
1
G
3
O
5
yy
P
18
Отметим, что горизонтальная плоскость, содер
жащая напорную линию и находящаяся над плоско
стью сравнения, называется напорной плоскостью. Ха
рактеристику плоскости при разных движениях называют
пьезометрическим уклоном J
п
, который показывает,
как изменяется на единице длины пьезометрический на
пор (или пьезометрическая линия):
Пьезометрический уклон считается положительным,
если он по течению струйки (или потока) уменьшается,
отсюда и знак минус в формуле (3) перед дифферен
циалом. Чтобы J
п
остался положительным, должно вы
полняться условие
0.
(4)
d
P
z
dl
g
ρ
⎛
⎞
+
<
⎜
⎟
⎝
⎠
п
.
(3)
d
P
J
z
dl
g
ρ
⎛
⎞
= −
+
⎜
⎟
⎝
⎠
А что касается нормальных напряжений (τ —
это касательная составляющая деформации),
которые зависимы от направления действия, то они
зависят также от того, к какой площади они приложе
ны. Это их свойство называют инвариантностью.
Сумма значений нормальных напряжений
Чтобы окончательно установить зависимость между
pudΘ/dt через зависимость между нормальными (p
xx
,
p
yy
, p
zz
) и касательными (τ
xy
= τ
yx
; τ
yx
= τ
xy
; τ
zx
= τ
xz
), пред
ставив из (3)
p
xx
= –p + p′
xx
,
(4)
где p′
xx
— добавочные нормальные напряжения, ко
торые и зависят от направления воздействия, по
аналогии с формулой (4) получим:
Сделав то же самое для компонентов p
yy
, p
zz
, полу
чили систему.
'
2
.
(5)
y
xx
u
p
x
μ
∂
=
∂
.
(3)
3
xx
yy
zz
p
p
p
p
+
+
=
ся достаточными всего шесть независимых ком
понентов:
p
xx
, p
yy
, p
zz
, τ
xy
(или τ
yx
), τ
xz
(τ
zx
), τ
yz
(τ
zy
).
Аналогичное уравнение легко можно получить для
осей O
Y
и O
Z
; объединив все три уравнения в систему,
получим (предварительно разделив на ρ):
Полученную систему называют уравнением дви
жения вязкой жидкости в напряжениях.
1
1
.
1
yx
xx
zx
yy
xy
zy
yz
zz
xz
p
dUx
Fx
x
y
z
dt
p
dUy
Fy
y
x
z
dt
p
dUz
Fz
z
x
y
dt
τ
τ
ρ
τ
τ
ρ
τ
τ
ρ
⎧
∂
⎛
⎞
∂
∂
+
+
=
⎜
⎟
⎪
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎪
⎝
⎠
⎪
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎪
+
+
=
⎜
⎟
⎨
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎪
⎪
∂
⎛
⎞
∂
∂
⎪
+
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎩
.
yx
xx
zx
p
dUx
Fx
x
y
z
dt
τ
τ
ρ
ρ
∂
∂
∂
+
+
+
=
∂
∂
∂
Полученное выражение есть не что иное, как
последнее, третье слагаемое в уравнении Бер
нулли. Следовательно, U
2
/ 2 — это удельная кинетиче
ская энергия струйки. Таким образом, общий энерге
тический смысл уравнения Бернулли таков: уравнение
Бернулли представляет собой сумму, содержащую в се
бе полную удельную энергию сечения жидкости в потоке:
1) если полная энергия соотнесена с единичной мас
сой, то она есть сумма gz + p/ρ + U
2
/ 2;
2) если полная энергия соотнесена с единичным объе
мом, то ρgz + p + pU
2
/ 2;
3) если полная энергия соотнесена единичному весу, то
полная энергия есть сумма z + p/ρg + U
2
/ 2g. Не сле
дует забывать, что удельная энергия определяется
относительно плоскости сравнения: эта плоскость
выбирается произвольно и горизонтально. Для лю
бой пары точек, произвольно выбранной из потока,
в котором установившееся движение и который дви
жется потенциальновихрево, а жидкость невязко
несжимаемая, суммарная и удельная энергия одина
ковы, то есть распределены по потоку равномерно.
29б
30б
31б
32б
19
33. Уравнение Бернулли
для движения вязкой жидкости
Элементарная струйка при установившемся дви
жении вязкой жидкости
Уравнение для этого случая имеет вид (приводим
его без вывода, поскольку его вывод сопряжен с при
менением некоторых операций, приведение которых
усложнило бы текст):
Потеря напора (или удельной энергии) h
Пp
— ре
зультат того, что часть энергии превращается из ме
ханической в тепловую. Поскольку процесс необра
тим, то имеет место потеря напора.
Этот процесс называется диссипацией энергии.
Другими словами, h
Пp
можно рассматривать как раз
ность между удельной энергией двух сечений, при
движении жидкости от одного к другому происходит
потеря напора. Удельная энергия — это энергия, ко
торую содержит единичная масса.
Поток с установившимся плавно изменяющем
ся движением. Коэффициент удельной кинема
тической энергии Х
Для того, чтобы получить уравнение Бернулли
в этом случае, приходится исходить из уравнения (1),
то есть из струйки надо переходить в поток. Но для
этого нужно определиться, что представляет собой
энергия потока (которая состоит из суммы потен
циальной и кинематической энергий) при плавно из
меняющемся потоке.
2
2
1
1
2
2
1
2
.
(1)
2
2
Пp
p
U
p
U
Z
Z
h
g
g
g
g
ρ
ρ
+
+
=
+
+
+
35. Уравнение Бернулли
для неустановившегося движения
вязкой жидкости
Для того, чтобы получить уравнение Бернулли, при
дется определить его для элементарной струйки при
неустановившемся движении вязкой жидкости, а за
тем распространять его на весь поток.
Прежде всего, вспомним основное отличие неустано
вившегося движения от установившегося. Если в пер
вом случае в любой точке потока местные скорости
изменяются по времени, то во втором случае таких из
менений нет.
Приводим уравнение Бернулли для элементарной
струйки без вывода:
(КД)
υ
= ρυ
2
ω —
здесь учтено, что υω = Q; ρQ = m; mυ = (КД)
υ
.
Так же, как и в случае с удельной кинетической энер
гией, считать (КД)
υ
не такто просто. Чтобы считать,
нужно связать его с (КД)
υ
. Для этого служит коэффи
циент количества движения
2
(
)
1
'
.
(3)
(
)
u
КД
u
a
d
КД
ω
ω
υ ω
υ
⎛ ⎞
=
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
2
2
1
1
2
2
1
2
пр
ин
.
(1)
2
2
p
U
p
U
Z
Z
h
h
g
g
g
g
ρ
ρ
+
+
=
+
+
+
+
36. Ламинарный и турбулентный ре
жимы движения жидкости.
Число Рейнольдса
Как нетрудно было убедиться в вышеприведенном
опыте, если фиксировать две скорости в прямом и об
ратном переходах движения в режимы ламинарное →
турбулентное, то
где υ
1
— скорость, при которой начинается переход
из ламинарного в турбулентный режим;
υ
2
— то же самое при обратном переходе.
Как правило, υ
2
< υ
1
. Это можно понять из определе
ния основных видов движения.
Ламинарным (от лат. lamina — слой) считается та
кое движение, когда в жидкости нет перемешивания
частиц жидкости; такие изменения в дальнейшем бу
дем называть пульсациями.
Движение жидкости турбулентное (от лат. turbulen
tus — беспорядочный), если пульсация местных ско
ростей приводит к перемешиванию жидкости.
Скорости перехода υ
1
, υ
2
называют:
υ
1
— верхней критической скоростью и обозна
чают как υ
в.кр
, это скорость, при которой ламинарное
движение переходит в турбулентное;
υ
2
— нижней критической скоростью и обозна
чают как υ
н.кр
, при этой скорости происходит обратный
переход от турбулентного к ламинарному.
Значение υ
в.кр
зависит от внешних условий (термоди
намические параметры, механические условия), а зна
чения υ
н.кр
не зависят от внешних условий и постоянны.
1
2
,
υ
υ
≠
34. Гидродинамический удар. Гидро
и пьезо уклоны
В силу плавности движения жидкости для любой
точки живого сечения потенциальная энергия Еп = Z +
+ p/ρg. Удельная кинетическая Е
k
= Xυ
2
/2g. Поэтому
для сечения 1—1 полная удельная энергия
Сумму правой части (1) также называют гидроди
намическим напором Н. В случае невязкой жидко
сти U
2
= xυ
2
. Теперь остается учесть потери напора h
пр
жидкости при ее движении к сечению 2—2 (или 3—3).
Например, для сечения 2—2:
Следует отметить, что условие плавной изменяемо
сти должно быть выполнено только в сечениях 1—1
и 2—2 (только в рассматриваемых): между этими се
чениями условие плавной изменяемости необяза
тельно.
В формуле (2) физический смысл всех величин при
веден ранее.
В основном все так же, как и в случае с невязкой
жидкостью, основная разница в том, что теперь напор
ная линия Е = Н = Z + p/ρg + Xυ
2
/2g не параллельна к го
ризонтальной плоскости сравнения, поскольку имеет
места потери напора.
2
2
2 2
2
2
пр
.
(2)
2
p
x
E
E
h
g
g
υ
ρ
=
+ +
+
+
2
1
1 1
1
1
1
Z
.
(1)
2
k
p
x
E
En E
g
g
υ
ρ
=
+
=
+
+
33а
34а
35а
36а
33а
20
Степень потери напора h
пр
по длине называют
гидравлическим уклоном J. Если потеря напо
ра h
пр
происходит равномерно, то
Числитель в формуле (3) можно рассматривать как
приращение напора dH на длине dl.
Поэтому в общем случае
Знак минус перед dH/dl — потому, что изменение на
пора по его течению отрицательно.
Если рассмотреть изменение пьезометрического
напора Z + p/ρg, то величину (4) называют пьезомет
рическим уклоном.
Напорная линия, она же линия удельной энергии,
находится выше пьезометрической линии на высоту
u
2
/2g: здесь то же самое, но только разница между эти
ми линиями теперь равна xυ
2
/2g. Эта разница сохра
няется также при безнапорном движении. Только
в этом случае пьезометрическая линия совпадает со
свободной поверхностью потока.
.
(4)
2
dH
d
p
X
J
Z
dl
dl
g
g
υ
ρ
⎛
⎞
=
= −
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
2
2
1
1 1
2
2 2
1
2
пр
2g
2g
.
(3)
p
x
p
x
z +
+
+
+
h
g
g
J
l
l
υ
υ
υ
ρ
ρ
⎛
⎞ ⎛
⎞
−
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
=
=
Эмпирическим путем установлено, что:
где V — кинематическая вязкость жидкости;
d — диаметр трубы;
R — коэффициент пропорциональности.
В честь исследователя вопросов гидродинамики во
обще и данного вопроса в частности, коэффициент, со
ответствующий uн.кр, называется критическим чи
слом Рейнольдса Re
кр
.
Если изменить V и d, то Re
кр
не изменяется и остает
ся постоянным.
Если Re < Re
кр
, то режим движения жидкости лами
нарный, поскольку υ < υ
кр
; если Re > Re
кр
, то режим
движения турбулентный изза того, что υ > υ
кр
.
;
;
.
d
R
h
d
R
h
Re
Re =
Re =
V
V
V
υ
υ
υ
=
н.кр
кр
2320
.
Л
K
Re
V
υ
=
=
=
н.кр
,
RV
d
υ
=
Коэффициент a′ принято называть еще и коэф
фициентом Бусинеска. С учетом a′, средний
инерционный напор по живому сечению
Окончательно уравнение Бернулли для потока, по
лучение которого и являлось задачей рассматривае
мого вопроса имеет следующий вид:
где
Что касается (5), то оно получено из (4) с учетом то
го, что dQ = wdu; подставив dQ в (4) и сократив ω, при
ходим к (6).
Отличие h
ин
от h
пр
прежде всего в том, что оно не яв
ляется необратимым. Если движение жидкости с уско
рением, что значит dυ/t > 0, то h
ин
> 0. Если движение
замедленное, то есть du/t < 0, то h
ин
< 0.
Уравнение (5) связывает параметры потока только
в данный момент времени. Для другого момента оно
может уже оказаться не достоверным.
1
ин
.
(6)
x l
d
h
g
dt
υ
=
×
2
1
1 1
2
1
2
пр
ин
,
(5)
2
p
x
p
Z
Z
h
h
g
g
g
υ
ρ
ρ
+
+
=
+
+
+
ин
1
.
(4)
a
dQ
h
g
dt
ω
=
×
×
Разберемся с потенциальной энергией: при
плавном изменении движения, если поток уста
новившийся,
Окончательно при рассматриваемом движении дав
ление по живому сечению распределено согласно гидро
статическому закону, т. е.
Е
ku
= ХЕ
k
υ,
(4)
где величину Х называют коэффициентом кинети
ческой энергии, или коэффициентом Кориолиса.
Коэффициент Х всегда больше 1. Из (4) следует:
2
.
(5)
2
ku
X
E
g
υ
=
const.
(3)
p
Z
pg
+
=
;
0;
0;
0.
(2)
u
Ux U Uy
Uz
t
∂
≈
≈
≈
=
∂
33б
34б
35б
36б
21
37. Осредненные скорости.
Пульсационные составляющие
В теории турбулентного движения очень многое
связано с именем исследователя этого движения Рей
нольдса. Рассматривая хаотическое турбулентное
движение, он представил мгновенные скорости, как
некоторые суммы. Эти суммы имеют вид:
где u
x
, u
y
, u
z
— мгновенные значения проекций ско
рости;
p, τ — то же самое, но для напряжений давления
и трения;
черта у величин наверху означает, что параметр
усреднен по времени; у величин u′
x
, u′
y
, u′
z
, p′, τ′
черта сверху означает, что имеется в виду пуль
сационная составляющая соответствующего па
раметра («добавка»).
Осреднение параметров по времени осуществляет
ся по следующим формулам:
где
— интервал времени, в течение кото
рого проводится осреднение.
0
1
–
T
=
dt
T
τ
τ
∫
0
1
,
(2)
1
T
T
i
i
w
p=
pdt
T
u' =
u dt;
T
∫
∫
;
;
;
'; (1)
x
x
x
y
y
y
z
z
z
u = u + u'
u = u + u'
u = u + u'
p= +
τ τ
39. Распределение скоростей
при равномерном
установившемся движении.
Ламинарная пленка
Все же, несмотря на вышеперечисленные и другие
особенности, о которых не сказано изза их невос
требованности, основным признаком турбулентного
движения является перемешивание частиц жидкости.
Принято об этом перемешивании с точки зрения ко
личества говорить как о перемешивании молей жид
кости.
Как мы убедились выше, с ростом числа Re интен
сивность турбулентности нe растет. Несмотря на
это, все же, например, у внутренней поверхности
трубы (или у любой другой твердой стенки) существу
ет некоторый слой, в пределах которого все скоро
сти, в том числе пульсационные «добавки», равны ну
лю: это очень интересное явление.
Этот слой принято называть вязким подслоем по
тока.
Само собой на границе соприкосновения с основ
ной массой потока этот вязкий подслой все же имеет
некоторую скорость. Следовательно, все изменения
в основном потоке передаются и в подвязкий слой,
но их значение очень мало. Это позволяет считать
движение слоя ламинарным.
Ранее, считая, что эти передачи в подвязкий слой от
сутствуют, слой назвали ламинарной пленкой. Теперь
нетрудно убедиться, что с точки зрения современной
гидравлики ламинарность движения в этом слое от
носительная (интенсивность ε в подвязком слое (ла
минарной пленке) может достигать значения 0,3. Для
ламинарного движения это достаточно большая вели
чина).
40. Распределение скоростей
в «живом» сечении потока
Современной гидродинамике удалось разрешить эти
проблемы, применив метод статистического анали
за. Основным орудием этого метода является то, что
исследователь выходит за рамки традиционных под
ходов и применяет для анализа некие средние по вре
мени характеристики потока.
Усредненная скорость
Ясно, что в любой точке живого сечения любую мгно
венную скорость и можно разложить на u
x
, u
y
, u
z
ком
поненты.
Мгновенная скорость определяется по формуле:
Полученную скорость можно назвать скоростью,
усредненной по времени, или средней местной,
эта скорость
— фиктивно постоянная и позволяет
судить о характеристике потока.
Вычислив
можно получить вектор усреднен
ной скорости:
Касательные напряжения
,
= + '
τ τ τ
.
x
y
z
u = u + u + u
z
u
,
y
u
x
u
0
.
t
x
x
u dt
u =
t
∫
38. Средне квадратичное отклонение
Принят стандарт, который называется среднеквад
ратическим отклонением. Для х ой компоненты соот
ветствующее выражение этого стандарта:
Чтобы получить формулу для любого параметра «до
бавки» из формулы (1), достаточно заменить u
x
в (1) на
искомый параметр.
Среднеквадратичное отклонение можно относить
к следующим скоростям: усредненная местная ско
рость данной точки; средняя по вертикали; средняя по
живому сечению; максимальная скорость.
Обычно максимальная и средняя по вертикали ско
рости не используются; используются две из вышепе
речисленных характерных скорости. Кроме них, ис
пользуют также динамическую скорость.
где R — гидравлический радиус;
J — гидравлический уклон.
Среднеквадратичное отклонение, отнесенное к сред
ней скорости, есть, например, для х ой компоненты:
ux
x
=
δ
ε
υ
.
(3)
,
(2)
x
u = gRL
2
(
) .
(1)
ux
x
=
u'
δ
37а
38а
39а
40а
22
Но лучшие результаты получаются, если сред
неквадратичное отклонение относить к u
x
, т. е.
динамической скорости, например
Определим степень (интенсивность) турбулентно
сти, как называют величину e:
Однако лучшие результаты получаются, если за мас
штаб скорости (то есть за характерную скорость) взять
динамическую скорость u
x
.
Еще одним свойством турбулентности является
частота пульсаций скорости. Средняя частота пульса
ции в точке с радиусом r от оси потока:
где N — половина экстремума вне кривой мгновен
ных скоростей;
Т — период осреднения;
T/N = 1/w — период пульсации.
,
(6)
r
N
w
T
=
;
;
.
(5)
y
x
z
x
y
z
υ
υ
υ
δ
δ
δ
ε
ε
ε
υ
υ
υ
=
=
=
ux
x
x
=
u
δ
ε
.
(4)
определим и суммарное значение касательно
го напряжения τ. Поскольку это напряжение воз
никает изза наличия сил внутреннего трения, то жид
кость считают ньютоновой.
Если предположить, что площадь соприкосновения —
единичная, то сила сопротивления
где μ — динамическая вязкость жидкости;
dυ/dy — изменение скорости. Эту величину часто
называют градиентом скорости, или скоростью
сдвига.
В настоящее время руководствуются выражением,
полученным в вышеупомянутом уравнении Прандтля:
где ρ — плотность жидкости;
l — длина пути, на котором рассматривается дви
жение.
Без вывода приводим окончательную формулу для
пульсационной «добавки» касательного напряжения:
2
.
2
d
' = l
dy
υ
τ
ρ
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
2
,
d
' = l
dy
υ
τ
ρ
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
,
d
=
dy
υ
τ μ
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
Подвязкий слой ε
в
очень тонкий по сравнению
с основным потоком. Именно наличие этого слоя
порождает потери напора (удельной энергии).
Что касается толщины ламинарной пленки δ
в
, то она
обратно пропорциональна числу Re. Это более на
глядно видно из следующего сравнения толщины в зо
нах потока при турбулентном движении.
Вязкий (ламинарный) слой — 0 < ua / V < 7.
Переходная зона — 7 < ua/V < 70.
Турбулентное ядро — ua/V < 70.
В этих соотношениях u — динамическая скорость
потока, а — расстояние от твердой стенки, V — кине
матическая вязкость.
Углубимся немного в историю теории турбулентно
сти: эта теория включает в себя совокупность гипотез,
на основании которых были получены зависимости меж
ду основными параметрами
турбулентного дви
жения потока.
У разных исследователей к этому вопросу были раз
ные подходы. Среди них немецкий ученый Л. Прандтль,
советский ученый Л. Ландау и многие другие.
Если до начала XX в. ламинарный слой, по мнению
ученых, представлял собой некоторый мертвый слой,
в переходе к которому (или от которого) происходит
как бы разрыв скоростей, то есть скорость меняется
скачкообразно, то в современной гидравлике совсем
другая точка зрения.
Поток — это «живое» явление: все переходные про
цессы в нем носят непрерывный характер.
i
u ,
τ
Из формул (1) следует, что пульсируют не толь
ко проекции скорости, но и нормальные р и ка
сательные τ напряжения. Значения усредненных во
времени «добавок» должны быть равны нулю: напри
мер для х ой компоненты:
Интервал времени Т определяют достаточным,
чтобы при повторном осреднении значение «добавки»
(пульсирующей составляющей) не изменилось.
Турбулентное движение считается неустановившим
ся движением. Несмотря на возможное постоянство
осредненных параметров, мгновенные параметры все
же пульсируют. Следует запомнить: осредненная (по
времени и в конкретной точке) и средняя (в конкретном
живом сечении) скорости — не одно и то же:
где υ = Q/w;
Q — расход жидкости, которая течет со ско
ростью υ через w.
,
(4)
i
u
υ
≠
0
1
0.
(3)
T
x
x
u' =
u' dt =
T
∫
37б
38б
39б
40б
23
41. «Шероховатость» и «гладкость»
внутренних стенок трубы
Рассматривая выше механизм турбулентного дви
жения, мы убедились: по мере удаления от оси пото
ка к стенкам трубы скорость движения уменьшается,
а у стенки вовсе равна нулю.
Дело в том, что у любой поверхности имеются не
ровности в разной степени, например, на дне кана
ла. В трубах эти неровности предопределены техно
логией изготовления материала, из которого делают
трубы.
По мере удаления от стенок к центру влияние не
ровностей на поток сходит на нет.
Именно эти неровности порождают явление, кото
рое принято называть гидравлическим сопротивлени
ем, а сами неровности в гидравлике называют шеро
ховатостью.
Шероховатость может возникать и в результате
естественного износа (ржавчина, отложения осадков
и др.).
По величине и форме различают однородную и не
однородную, регулярную и подвижную шерохова
тости.
Если у неровностей геометрия и относительное рас
положение одинаковое, то шероховатость однород
ная, в противном случае — неоднородная. Регуляр
ность шероховатости — понятие о периодичности
расположения неровностей, об их повторяемости.
Если обозначить высоту выступа неровности Δ, то
отношения ε = Δ/d, Δ/h , где d — диаметр трубы, h —
высота потока в открытом русле, называют относи
тельной шероховатостью. Обратные отношения ε =
= d/Δ, h/Δ называют относительной гладкостью.
43. Равномерное движение
и коэффициент сопротивления
по длине. Формула Шези.
Средняя скорость и расход потока
При ламинарном движении (если оно равномерное)
ни живое сечение, ни средняя скорость, ни эпюра ско
ростей по длине не меняются со временем.
При равномерном движении пьезометрический уклон
где l
1
— длина потока;
h
l
— потери напора на длине L;
r
0
d — соответственно радиус и диаметр трубы.
В формуле (2) безразмерный коэффициент λ назы
вают коэффициентом гидравлического трения
или коэффициентом Дарси.
Если в (2) d заменить на гидравлический радиус, то
следует
8
.
(3)
l
h
пR
=
l
υ
λ
×
2
.
(2)
2
l
l
h =
d g
υ
λ
0
;
,
(1)
2
l
n
h
d
J
r =
l
=
44. Гидравлическое подобие
Понятие о подобии. Гидродинамическое моде
лирование
Для исследования вопросов сооружения гидроэлек
тростанций применяют метод гидравлических подо
бий, суть которого состоит в том, что в лабораторных
условиях моделируются точно такие же условия, что
и в натуре. Это явление называют физическим моде
лированием.
Например, чтобы два потока были подобными, тре
буется их:
1) геометрическое подобие, когда
где индексы н, м соответственно означают «нату
ра» и «модель».
Однако, отношение
что значит, относительная шероховатость в модели
такая же, как и в натуре;
2) кинематическое подобие, когда траектории соот
ветствующих частиц, соответствующие линии тока
подобны. Кроме того, если соответствующие части
прошли подобные расстояния l
н
, l
м
, то отношение
соответствующих времен движения выглядит сле
дующим образом:
где M
i
— масштаб времени.
,
(3)
н
i
м
Т
=M
Т
idem,
(2)
=
R
Δ
н
l
м
l
=М
l
,
(1)
42. Параметры потока,
от которых зависит потеря напора.
Метод размерностей
Неизвестный вид зависимости определяется по ме
тоду размерностей. Для этого существует π теоре
ма: если некоторая физическая закономерность вы
ражена уравнением, содержащим к размерных величин,
причем оно содержит п величин с независимой раз
мерностью, то это уравнение может быть преобразо
вано в уравнение, содержащее (к п) независимых, но
уже безразмерных комплексов.
Для чего определимся: от чего зависят потери на
пора при установившемся движении в поле сил тя
жести.
Эти параметры.
1. Геометрические размеры потока:
1) характерные размеры живого сечения l
1
l
2
;
2) длина рассматриваемого участка l;
3) углы, которыми завершается живое сечение;
4) свойства шероховатости: Δ — высота выступа и lΔ —
характер продольного размера выступа шерохова
тости.
2. Физические свойства:
1) ρ — плотность;
2) μ — динамическая вязкость жидкости;
3) δ — сила поверхностного натяжения;
4) Е
ж
— модуль упругости.
3. Степень интенсивности турбулентности, ха
рактеристикой которой является среднеквадратичное
значение пульсационных составляющих δ
u
.
Теперь применим π теорему.
Исходя из приведенных выше параметров, у нас на
бирается 10 различных величин: l, l
2
, Δ, l
Δ
, Δp, μ, δ, E
ж
,
δ
u
, t.
41а
42а
43а
44а
24
Кроме этих, имеем еще три независимых па
раметра: l
1
, ρ, υ. Добавим еще ускорение паде
ния g.
Всего имеем к = 14 размерных величин, три из кото
рых независимы.
Требуется получить (кп) безразмерных комплексов,
или, как их называют π членов.
Для этого любой параметр из 11, который не входил
бы в состав независимых параметров (в данном слу
чае l
1
, ρ, υ), обозначим как N
i
, теперь можно опреде
лить безразмерный комплекс, который является ха
рактеристикой этого параметра N
i
, то есть i тый
π член:
Здесь углы размерности базовых величин:
общий вид зависимости для всех 14 параметров имеет
вид:
ж
u
f l l l
l
p
g
E
t
υ ρ μ
δ
δ
Δ
Δ
Δ
1
2
( , , , ,
,
, , , , , ,
,
, )= 0.
(3)
l
L
LT
ML
υ
ρ
−
−
1
3
1
[ ]= ; [ ]=
; [ ]=
,
(2)
x
y
z
i
i
l
L M T
N
υ ρ
π
0
0
0
1
=
=
.
(1)
Такое же сходство имеется для скорости (мас
штаб скорости)
и ускорения (масштаб ускорения)
3) динамическое подобие, когда требуется, чтобы со
ответствующие силы были подобными, например,
масштаб сил
Таким образом, если потоки жидкости механиче
ски подобны, то они подобны гидравлически; коэф
фициенты M
l
, M
t
, M
υ
, M
p
и прочие называются мас
штабными множителями.
.
(6)
н
р
м
Р
=М
Р
;
(5)
н
j
м
j
=M
j
(4)
н
м
=M
υ
υ
Введем обозначение
тогда с учетом
того, что
гидравлический уклон
Эту формулу называют формулой Шези.
называется коэффициентом Шези.
Если коэффициент Дарси λ — величина безразмер
ная, то коэффициент Шези с имеет размерность
Определимся с расходом потока с участием коэф
фициента Шези:
Преобразуем формулу Шези в следующий вид:
Величину
называют динамической ско
ростью.
gRJ = u
8
.
(8)
=
gRJ
υ
λ
×
.
(7)
Q=w = wc RJ
υ
0,5
1
[ ]
.
(6)
c = L T
−
8
(5)
g
c=
λ
.
(4)
=c RJ
υ
,
l
h
=J
l
8
,
g
c=
λ
Если рассматривается поток в открытых руслах
(каналы, река), то течение само может формиро
вать шероховатость (подвижную) из осадков. Несмот
ря на все разновидности, шероховатость характери
зуется в основном величиной Δ, которую называют
абсолютной шероховатостью. Если сравнивать Δ с тол
щиной вязкого подслоя δ
в.с
, то в зависимости от их вза
имоотношения, различают следующие случаи:
1) Δ < δ
в.с
; потери энергии наименьшие, вязкий под
слой покрывает неровности, и основная часть по
тока не соприкасается с шероховатой стенкой;
2) Δ > δ
в.с
; в этом случае шероховатость проникает
в основную часть потока, в турбулентную область,
и это приводит еще к большей потере энергии.
Но поскольку сама толщина δ
в.с
зависит от числа Re,
а оно от скорости потока, то понятия о гидравлических
шероховатостях и гладкостях относительны.
Поэтому введены понятия относительных шерохо
ватостей и гладкостей, о которых сказано выше.
Напор в трубе зависит от шероховатости. Толщина
видного подслоя определяется формулой:
где d — диаметр трубы;
Re — число Рейнольдса;
λ — коэффициент Дарси.
.
30
,
в п
d
Re
δ
λ
=
41б
42б
43б
44б
25
45. Критерии
гидродинамического подобия
Условия гидродинамического подобия требуют ра
венства всех сил, но это практически не удается.
По этой причине, подобие устанавливают по какой
нибудь из этих сил, которая в данном случае преобла
дает. Кроме того, требуется выполнение условий од
нозначности, которые включают в себя пограничные
условия потока, основные физические характеристи
ки и начальные условия.
Рассмотрим частный случай.
Преобладает влияние сил тяжести, например, при
течении через отверстия или водосливы
P = ρgW.
(1)
Если перейти к взаимоотношению P
н
и P
м
и выра
зить его в масштабных множителях, то
После необходимого преобразования, следует
Если теперь совершить переход от масштабных мно
жителей к самим отношениям, то с учетом того, что l —
характерный размер живого сечения, то
2
2
2
2
(
)
.
(4)
м
н
н н
м м
g l =
g l
υ
υ
1
1
2
1.
(3)
g
l
М М M =
−
−
3
0
.
(2)
н
р
l
g
м
Р
М =
= М М М
Р
47. Турбулентный равномерный
режим движения потока
Если рассмотреть плоское движение (т. е. потен
циальное движение, когда траектории всех частиц па
раллельны одной и той же плоскости и являются функци
ей двух координат и если движение неустановившееся),
одновременно являющееся равномерным турбулентным
в системе координат XYZ, когда линии тока параллельны
оси O
X
, то
Усредненная скорость при сильно турбулентном
движении.
Это выражение: логарифмический закон распреде
ления скоростей для турбулентного движения.
При напорном движении поток состоит в основном
из пяти областей:
1) ламинарная: приосевая область, где местная ско
рость максимальна, в этой области λ
лам
= f(Re), где
число Рейнольдса Re < 2300;
2) во второй области поток начинает переходить из
ламинарного в турбулентный, следовательно, уве
личивается и число Re;
3) здесь поток полностью турбулентный; в этой области
трубы называются гидравлическими гладкими
(шероховатость Δ меньше, чем толщина вязкого
слоя δ
в
, то есть Δ < δ
в
).
ln
const.
u
u=
t +
χ
( );
0;
0,
x
x
y
x
u = u t u =
u =
48. Неравномерное движение:
формула Вейсбаха и ее применение
При равномерном движении потери напора, как пра
вило, выражаются формулой
где потери напора h
пр
зависят от скорости потока; она
постоянна, поскольку, движение равномерное.
Следовательно, и формула (1) имеет соответствую
щие формы.
Действительно, если в первом случае
то во втором случае
Как видно, формулы (2) и (3) различаются только
коэффициентом сопротивления x.
Формула (3) называется формулой Вейсбаха. В обо
их формулах, как и в (1), коэффициент сопротивления —
величина безразмерная, и в практических целях опреде
ляется, как правило, по таблицам.
Для проведения опыта по определению xм последо
вательность действий следующая:
1) должен быть обеспечен ход равномерности потока
в исследуемом конструктивном элементе. Необхо
димо обеспечить достаточное удаление от входа
пьезометров.
2
.
(3)
2
м
м
h =
g
ξ υ
2
,
(2)
2
l
l
h =
g
ξυ
/2 ,
(1)
2
np
h =
g
ξυ
46. Распределение касательных
напряжений при равномерном
движении
При равномерном движении потеря напора на дли
не l
he
определяется:
где χ — смоченный периметр,
w — площадь живого сечения,
l
he
— длина пути потока,
ρ, g — плотность жидкости и ускорение силы
тяжести,
τ
0
— касательное напряжение вблизи внутренних
стенок трубы.
Следует:
Откуда с учетом h
1
≠ l = J и
Исходя из полученных результатов для τ
0
, распреде
ления касательного напряжения τ в произвольно вы
бранной точке выделенного объема, например, в точке
r
0
– r = t это расстояние равно:
,
(4)
2
r
= g J
τ ρ
0
0
.
(3)
2
r
= g
J
τ
ρ
⇒
/
2
r
w x R
= = ⇒
0
,
(2)
= gRJ
τ
ρ
0
,
(1)
l
l
h =
gw
τ χ
ρ
45а
46а
47а
48а
26
тем самым вводим касательное напряжение t
на поверхности цилиндра, действующее на точку
в r
0
– r = t.
Из сравнений (4) и (3) следует:
поэтому
Подставив r = r
0
– t в (5), получим
Выводы:
1) при равномерном движении распределение каса
тельного напряжения по радиусу трубы подчиняет
ся линейному закону;
2) на стенке трубы касательное напряжение макси
мально (когда r
0
= r, т. е. t = 0 ), на оси трубы оно
равно нулю (когда r
0
= t).
R— гидравлический радиус трубы,получим,что
0
.
(7)
l
l
h =
gR
τ
ρ
0
0
0
.
(6)
r
t
=
r
τ τ
−
0
0
.
(5)
r
=
r
τ τ
0
0
,
r
=
r
τ
τ
2) для установившегося движения вязкой несжи
маемой жидкости между двумя сечениями (в на
шем случае, это вход с x
1
υ
1
и выход с x
2
υ
2
),
применяем уравнение Бернулли:
В рассматриваемых сечениях поток должен быть
плавно изменяющимся. Между сечениями могло бы
произойти что угодно.
Поскольку суммарные потери напора
то находим потери напора на этом же участке;
3) по формуле (5) находим, что h
м
= h
пр
– h
l
, после это
го по формуле (2) находим искомый коэффициент
сопротивления
1
2
.
(6)
2g
м
м
=h
υ
ξ
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
,
(5)
np
l
м
h = h + h
2
1
1 1
2
2 2
1
2
,
(4)
2g
2g
np
p
x
p
x
t +
+
= t +
+
+ h
g
g
υ
υ
ρ
ρ
В случае, когда Δ > δ
в
, труба считается «гидрав
лически шероховатой».
Характерно, что если для λ
лам
= f(Re
–1
), то в этом
случае λ
гд
= f(Re
–0,25
);
4) эта область находится на пути перехода потока к под
вязкому слою: в этой области λ
лам
= (Re, Δ/r
0
). Как
видно, коэффициент Дарси уже начинает зависеть
от абсолютной шероховатости Δ;
5) эта область называется квадратичной областью
(коэффициент Дарси не зависит от числа Рейнольд
са, но определяется почти полностью касательным
напряжением) и является пристенной.
Эту область называют автомодельной, т. е. не за
висящей от Re.
В общем случае, как известно, коэффициент Шези
Формула Павловского:
где п — коэффициент шероховатости;
R — гидравлический радиус.
При 0,1 ≤ R ≤ 3 м
причем при R < 1 м,
при R > 1 м,
1,3
.
y
n
≈
1,5
,
y
n
≈
(
)
2,5
0,13 0,75
0,1 ,
y =
n
R
n
−
−
−
1
,
y
с= R
n
8 / .
c=
g λ
В (4) комплекс υ
2
/gl называется критерием
Фруди, который формулируется так: потоки, в ко
торых преобладают силы тяжести, геометрически по
добны, если
Это второе условие гидродинамического подобия.
Нами получены три критерия гидродинамического
подобия:
1. Критерий Ньютона (общие критерии).
2. Критерий Фруда.
3. Критерий Дарси.
Отметим только: в частных случаях гидродинамиче
ское подобие может быть установлено также по
где Δ — абсолютная шероховатость;
R — гидравлический радиус;
J — гидравлический уклон.
,
,
м
н
н
м
=
J
J
R
R
Δ
Δ
⎛
⎞
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
idem
н
м
Fr
=
Fr
Fr
=
1 или
;
(5)
45б
46б
47б
48б
27
49. Местные сопротивления
Что происходит после того, как поток вошел с неко
торым напором и скоростью в трубопровод.
Это зависит от вида движения: если поток ламинар
ный, то есть его движение описывается линейным
законом, тогда его кривая — парабола. Потери напора
при таком движении достигают (0,2 × 0,4) × (υ
2
/ 2g).
При турбулентном движении, когда оно описывается
логарифмической функцией, потери напора — (0,1 ×
× 1,5) × (υ
2
/2g).
После таких потерь напора движение потока стаби
лизируется, то есть восстанавливается ламинарный
или турбулентный поток, каким и был входной.
Участок, на котором происходят вышеуказанные по
тери напора, восстанавливается по характеру, преж
нее движение называется начальным участком.
А чему равна длина начального участка l
нач
.
Турбулентный поток восстанавливается в 5 раз
быстрее, чем ламинарный, при одних и тех же гидра
влических сопутствующих данных.
Рассмотрим частный случай, когда поток не сужает
ся, как рассмотрели выше, но внезапно расширяет
ся. Почему происходят потери напора при такой гео
метрии потока?
Для общего случая:
Чтобы определить коэффициенты местного сопро
тивления, преобразуем (1) в следующий вид: разде
лив и умножив на υ
1
2
2
2
2
1
.
1
1
.
(2)
2
в р
h
=
g
υ
υ
υ
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
2
1
2
.
(
)
,
(1)
2
в р
x
h
=
g
υ
υ
−
51. Гидравлический удар
Наиболее распространенным, то есть часто встре
чающимся видом неустановившегося движения яв
ляется гидравлический удар. Это типичное явление
при быстром или постепенном закрытии затворов (рез
кое изменение скоростей в некотором сечении потока
приводит к гидравлическому удару). Как следствие, воз
никают давления, которые распространяются по всему
трубопроводу волной.
Эта волна может быть разрушительной, если не при
нять специальные меры: могут разорваться трубы,
выйти из строя насосные станции, возникнуть насы
щенные пары со всеми разрушительными послед
ствиями и т. д.
Гидравлический удар может порождать разрывы
жидкости в трубопроводе — это не менее серьезная
авария, чем разрыв трубы.
Наиболее часто встречающиеся причины гидравли
ческого удара следующие: внезапное закрытие (от
крытие) затворов, внезапная остановка насосов при
заполнении трубопроводов водой, выпуск воздуха че
рез гидранты в оросительной сети, пуск насоса при от
крытом затворе.
Если это уже случилось, то как протекает гидравли
ческий удар, какие последствия вызывает?
Все это зависит от того, по какой причине возник
гидравлический удар. Рассмотрим основную из этих
причин. Механизмы возникновения и протекания по
остальным причинам сходны.
Мгновенное закрытие затвора
Гидравлический удар, который происходит в этом
случае — чрезвычайно интересное явление.
52. Скорость распространения волны
гидравлического удара
В гидравлических расчетах немалый интерес пред
ставляет скорость распространения ударной волны
гидравлического удара, как и сам гидравлический
удар. Как ее определить? Для этого рассмотрим кру
глое поперечное сечение в упругом трубопроводе. Если
рассмотреть участок длиной Δl, то выше этого участка
за время Δt жидкость еще движется со скоростью υ
0
,
кстати, как и до закрытия затвора.
Поэтому в соответствующей длине l объем ΔV ′ вой
дет жидкость Q = ω
0
υ
0
, т. е.
ΔV ′ = QΔt = ω
0
υ
0
Δt,
(1)
где площадь круглого поперечного сечения — объем,
образовавшийся в результате повышения давления
и, как следствие этого, изза растяжек стены трубо
провода ΔV
1
. Oбъем, который возник изза роста дав
ления на Δp обозначим как ΔV
2
. Значит, тот объем, ко
торый возник после гидравлического удара, есть
ΔV = ΔV
1
+ ΔV
2
,
(2)
ΔV ′ входит в ΔV.
Определимся теперь: чему будут равны ΔV
1
и ΔV
2
.
В результате растяжки трубы произойдет прираще
ние радиуса трубы на Δr, то есть радиус станет рав
ным r = r
0
+ Δr. Изза этого увеличится круглое сечение
поперечного сечения на Δω = ω – ω
0
. Все это приведет
к приращению объема на
ΔV
1
= (ω – ω
0
)Δl = ΔωΔl .
(3)
50. Расчет трубопроводов
Задачи расчета трубопроводов.
Требуются решать следующие задачи:
1) требуется определить расход потока Q, при этом
заданы напор Н; длина трубы l; шероховатость тру
бы Δ; плотность жидкости r; вязкость жидкости V
(кинематическая);
2) требуется определить напор Н. Заданы расход по
тока Q; параметры трубопровода: длина l; диаметр
d; шероховатость Δ; параметры жидкости: ρ плот
ность; вязкость V;
3) требуется определить необходимый диаметр тру
бопровода d. Заданы расход потока Q; напор Н; дли
на трубы l; ее шероховатость Δ; плотность жидко
сти ρ; ее вязкость V.
Методика решений задач одна и та же: совместное
применение уравнений Бернулли и неразрывности.
Напор определяется выражением:
Расход жидкости,
поскольку J = H / l.
Важной характеристикой трубопровода является ве
личина, которая объединяет некоторые параметры
трубопровода, исходя из диаметра трубы (рассматри
,
Q=w = wc RJ
υ
2
2
.
l
H=
c R
υ
49а
50а
51а
52а
28
ваем простые трубы, где диаметр по всей длине
l постоянен). Этот параметр k называют расход
ной характеристикой:
Если начинать наблюдение с самого начала трубо
провода, то увидим: некоторая часть жидкости, не из
меняясь, доходит до конца трубопровода транзитом.
Пусть это количество будет Q
т
(транзитный расход).
Жидкость по пути частично раздается потребите
лям: обозначим эту часть как Q
p
(путевой расход).
С учетом этих обозначений, в начале трубопровода
Q = Q
т
+ Q
p
,
соответственно, в конце расход потока
Q – Q
p
= Q
т
.
Что касается напора в трубопроводе, то:
2
расx
2
.
l
H=Q
k
.
k = wc R
Следует иметь в виду, что индекс ноль озна
чает принадлежность параметра к начальному
состоянию.
Что касается жидкости, то ее объем уменьшится на
ΔV
2
изза приращения давления на Δp.
Искомая формула скорости распространения волны
гидравлического удара:
где ρ — плотность жидкости;
D/l — параметр, характеризующий толщину стен
ки трубы.
Очевидно, что чем больше D/l, тем меньше скорость
распространения волны С. Если труба жесткая абсо
лютно, то есть Е = ∞, то, как следует из (4),
0
.
(5)
ж
Е
С
ρ
=
,
(4)
1
ж
ж
Е
С
Е
D
+
+
l
Е
ρ
=
Пусть имеем открытый резервуар, от которого
отводится гидравлическая прямолинейная тру
ба; на некотором расстоянии от резервуара труба имеет
затвор. Что произойдет при его мгновенном закрытии?
Вопервых, пусть:
1) резервуар настолько велик, что процессы, проис
ходящие в трубопроводе, в жидкости (в резервуа
ре) не отражаются;
2) потери напора до закрытия затвора ничтожны, сле
довательно, пьезометрическая и горизонтальная ли
нии совпадают;
3) давление жидкости в трубопроводе происходит
только с одной координатой, две другие проекции
местных скоростей равны нулю; движение опреде
ляется только продольной координатой.
Вовторых, теперь внезапно закроем затвор — в мо
мент времени t
0
; могут произойти два случая:
1) если стенки трубопровода абсолютно неупругие, т. е.
Е = ∞, и жидкость несжимаема (Е
ж
= ∞), то движе
ние жидкости также внезапно останавливается, что
приводит к резкому росту давления у затвора, по
следствия могут быть разрушительны.
Приращение давления при гидравлическом ударе
по формуле Жуковского:
Δp = ρСυ
0
+ ρυ
0
2
.
Определим υ
2
/υ
1
из уравнения неразрывности
υ
1
w
1
= υ
2
w
2
как υ
2
/υ
1
= w
1
/w
2
и подставим в (2):
Остается заключить, что
2
1
. .1
2
1
.
(4)
в р
w
=
w
ξ
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
2
2
1
1
. .
2
1
.
(3)
2
в р
w
h
=
w
g
υ
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
49б
50б
52б
51б
29
53. Дифференциальные уравнения
неустановившегося движения
Для того, чтобы составить уравнение любого вида
движения, нужно проецировать все действующие силы
на систему и приравнивать их сумму к нулю. Так и по
ступим.
Пусть имеем напорный трубопровод круглого сече
ния, в котором есть неустановившееся движение жид
кости.
Ось потока совпадает с осью l. Если выделить на этой
оси элемент dl, то, согласно вышеуказанному правилу,
можно составить уравнение движения
В приведенном уравнении проекции четырех сил, дей
ствующих на поток, точнее, на Δl, равны нулю:
1) ΔM — силы инерции, действующие на элемент dl;
2) Δp — силы гидродинамического давления;
3) ΔT — касательные силы;
4) ΔG — силы тяжести: здесь мы, говоря о силах, име
ли в виду проекции сил, действующих на элемент Δl.
Перейдем к формуле (1), непосредственно к проек
циям действующих сил на элемент Δt, на ось движения.
1. Проекции поверхностных сил:
1) для гидродинамических сил Δp проекцией будет
(
)
;
(2)
+
dl
l
ρ ω
∂
∂
.
(1)
d
M
p
G
T
dt
υ
Δ
= Δ + Δ + Δ
55. Истечение через
большое отверстие
Отверстие считают малым, когда его вертикаль
ные размеры d < 0,1Н. Большим отверстием будем
считать такое отверстие, для которого тот же d > 0,1Н.
Рассматривая истечение через малое отверстие,
практически пренебрегли различием скоростей в раз
ных точках сечения струи. В этом случае поступить так
же мы не сможем.
Задача та же: определить расход и скорости в сжа
том сечении.
Поэтому расход определяют следующим способом:
выделяют бесконечно малую горизонтальную высоту
dz. Таким образом, получается горизонтальная поло
са с переменной длиной b
z
. Тогда, интегрировав по
длине, можно найти элементарный расход:
где Z — переменный напор по высоте отверстия, на
такую глубину погружен верх выбранной полосы;
μ — коэффициент расхода через отверстие;
b
z
— переменная длина (или ширина) полосы.
Расход Q (1) можем определить, если μ = const и из
вестна формула b
z
= f(z). В общем случае, расход
определяют по формуле
2
1
2
.
(2)
H
z
H
Q
gZ
b
Zdz
μ
=
∫
2
,
(1)
z
dQ
b
gZ dz
μ
=
56. Коэффициент расхода системы
Требуется выяснить вопрос о расходе, если истече
ние происходит по трубам, соединенным в одну систе
му, но имеющих разные геометрические данные. Здесь
нужно рассмотреть каждый случай отдельно. Приведем
некоторые из них.
1. Истечение происходит между двумя резервуара
ми при постоянном напоре через систему труб, у ко
торых разные диаметры и длина. В этом случае на вы
ходе системы Е = 1, следовательно, численно μ = υ, где
Е, μ, υ — коэффициенты соответственно сжатия, рас
хода и скорости.
2. Истечение происходит через систему труб с раз
ными ω (площадь поперечного сечения): при этом опре
деляют суммарный коэффициент сопротивления си
стемы, который состоит из таких же коэффициентов,
но для каждого участка отдельно.
Истечение происходит в атмосферу через незато
пленное отверстие. В этом случае
где Н = z = const — напор;
μ, ω — коэффициент расхода и площадь сечения.
Для того, чтобы рассчитать расход, нужно в (1) вместо
коэффициента расхода m подставить коэффициент рас
хода системы:
1
,
(2)
сист
сист
х +
μ
ζ
=
2
,
(1)
Q
gH
μω
=
54. Истечение жидкости
при постоянном напоре
через малое отверстие
Будем рассматривать истечение, которое происхо
дит через малое незатопленное отверстие. Для того,
чтобы отверстие считать малым, должны выполняться
условия:
1) напор в центре тяжести Н >> d, где d — высота отвер
стия;
2) напор в любой точке отверстия практически равен
напору в центре тяжести Н.
Что касается затопленности, то таковой считают
истечение под уровень жидкости при условии, если не
изменяются со временем: положение свободных по
верхностей до и после отверстий, давление на свобод
ные поверхности до и после отверстий, атмосферное
давление по обе стороны от отверстий.
Таким образом, имеем резервуар с жидкостью, у ко
торой плотность ρ, из которого через малое отверстие
происходит истечение под уровень. Напор Н в центре
тяжести отверстия постоянен, что значит, скорости
истечения постоянны. Следовательно, движение уста
новившееся. Условием равенства скоростей на проти
воположных вертикальных границах отверстий являет
ся условие d ≤ 0,1Н, где d — наибольший вертикальный
размер.
Ясно, что нашей задачей является определение ско
рости истечения и расхода жидкости в нем.
Сечение струи, отстоящее от внутренней стенки ре
зервуара на расстояние 0,5d, называют сжатым се
чением струи, которое характеризуется коэффициен
том сжатия.
53а
54а
55а
56а
поскольку в (2) коэффициент Кориолиса (или
кинетической энергии) х отнесен к выходному се
чению, где, как правило х ≈ 1.
Такое же истечение происходит через затопленное
отверстие
в этом случае расход определяется по формуле (3), где
μ = μ
сист
, ω — площадь выходного сечения. При отсут
ствии или незначительности скорости в приемнике
или трубе коэффициент расхода заменяется на
Нужно только иметь в виду, что при затопленном
отверстии
и этот
входит в
.
сист
ζ
вых
ζ
1,
вых
ζ
=
1
.
(4)
сист
сист
μ
ζ
=
2 ,
(3)
Q
gz
μω
=
56б
30
Формулы определения скорости и расхода
потока:
где υ
0
называется коэффициентом скорости.
Теперь выполним вторую задачу, определим расход
Q. По определению
Обозначим Еυ
0
= μ
0
, где μ
0
— коэффициент расхода,
тогда
Различают следующие разновидности сжатия:
1. Полное сжатие — это такое сжатие, которое про
исходит по всему периметру отверстия, в противном
случае сжатие считается неполным сжатием.
2. Совершенное сжатие является одной из двух раз
новидностей полного сжатия. Это такое сжатие, когда
кривизны траектории, следовательно, и степень сжа
тия струи наибольшие.
Подводя итог, заметим, что неполная и несовершен
ная формы сжатий приводят к росту коэффициента
сжатия. Характерной особенностью совершенного сжа
тия является то, что в зависимости от того, под воздей
ствием каких сил происходит истечение.
0
2
.
(3)
Q
gH
μ ω
=
0
2
.
(2)
C C
C
C
Q
E
E
gH
ωυ ω υ
ωυ
υ
υ ω
=
=
=
=
=
0
2
,
(1)
С
gH
υ
υ
=
=
Если форма отверстия прямоугольная, то b
z
=
= b = const, интегрировав (2), получаем:
где Н
1
, Н
2
— напоры на уровнях соответственно у верх
ней и у нижней кромок отверстия;
Н
ц
— напор над центром отверстия;
d — высота прямоугольника.
Формула (3) имеет более упрощенный вид:
В случае истечения через круглое отверстие преде
лами интегрирования в (2) служат Н
1
= Н
ц
– r; Н
2
= Н
ц
+
+ r; Z = Н
ц
– rcosυ; dz = ρsinυdυ; b
z
= 2rυsinυ.
Избегая математического излишества, приведем
конечную формулу:
Как видно из сравнений формул, особой разницы
в формулах для расхода нет, только при больших и ма
лых отверстиях коэффициенты расхода разные.
ц
2
.
(4)
Q
gH
μω
=
ц
2
,
Q
gH
μω
=
( )
3
3
2
2
2
1
2
2
,
(3)
3
Q
b
g H
H
μ
=
−
2) для касательных сил ΔT
Проекция касательных сил имеет вид:
–ρgωJdl.
(3)
2. Проекция сил тяжести ΔG на элемент Δl
3. Проекция сил инерции ΔM равна
2
,
(7)
H
C
t
g
l
υ
∂
∂
= −
×
∂
∂
2
1
.
(6)
2g
p
z
J
l
g
g
t
υ
υ
ρ
⎛
⎞
∂
∂
+
+
= −
×
−
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
d
d
z
g
l
g dl
dt
dt
l
υ
υ
ρ ξ
ρ ω
υ
∂
⎛
⎞
−
= −
+
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
d
.
(5)
z
g dl
g dl
l
ρ ω
ρ ω
∂
Θ= −
∂
sin
.
(4)
53б
54б
55б
М. А. Бабаев
Гидравлика
шпаргалка
Завредакцией: Пятибратова М. С.
Редактор: Алферова М. Ю.
ООО «Издательство «Эксмо»
127299, Москва, ул. Клары Цеткин, д. 18/5. Тел.: 4116886, 9563921
Home page: www.eksmo.ru Email: info@eksmo.ru
Формат 60 × 90 1/16.
Информация о работе Шпоргалка по "Гидравлике"