Шпаргалка по "Физике"

14. Основное уравнение динамики твердого тела.

Тело произвольной формы с закрепленной в подшипниках осью О’O’(ось z на рисунке) мысленно разобьем на малые элементы(точки) массой Δmi. Все эти элементы при вращении тела около неподвижной оси z будут двигаться по окружностям, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к оси. Обозначим радиусы этих окружностей через ri. Предположим, что на каждый элемент тела действует внешняя сила F->i и сила внутреннего происхождения f->i (* Фактически внешние силы могут действовать не на все элементы тела, но тогда для некоторых элементов F->i=0 и движение этих элементов вызывается действием только внутренних сил f->i(упругого происхождения). Внутренние силы действуют на каждый элемент тела). Так как движение элементов тела проходит по плоским окружностям с тангенциальным ускорением aτi, то значение имеют не сами силы F->i и f->i , а только их составляющие F-> τi и f-> τi , направленные по касательным к этим окружностям. Запишем для элемента i-го номера II закон Ньютона( в проекции на касательную окружности): F τi+f τi=Δmiaτi. Умножая обе части этого равенства на радиус ri окружности, описываемой элементом массы, и вводя вместо тангенциального угловое ускорение β, одинаковое для всех элементов(aτi=β ri), получим: ri F τi+ ri f τi=βΔmi r2i. Но ri F τi=Мzi есть вращательный момент внешней силы, а ri f τi= Мвнутzi – момент внутренней силы. Суммируя вращающие моменты, приложенные ко всем элементарным массам, состваляющим тело, и учитывая, что сумма моментов внутренних сил равна 0, получим: Мz=βΣ Δmi r2i , где Мz=Σ Мzi – суммарный момент внешних сил, приложенных к телу. Произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния от оси вращения Δmi r2i  называют моментом инерции материальной точки относительно этой оси и обозначают через Izi: Izi= Δmi r2i  . Для данного тела и заданной оси вращения сумма Σ Δmi r2i  =Σ Izi=Iz есть величина постоянная: ее называют моментом инерции тела относительно заданной оси z. Таким образом, моментом инерции тела относительно некоторой оси называют сумму моментов инерции(относительно той же оси) всех материальных точек, составляющих тело. В системе СИ единицей момента времени является кг·м2. Используя понятие момента инерции, можно дать выражению следующий вид: Мz=β Iz. Его можно записать в векторной форме. Поскольку Iz-величина положительная, то векторы Мz и β будут коллинеарными: М->z=β-> Iz. Эти соотношения называют основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела около неподвижной оси. Соотношение М->z=β-> Iz ввиду своего сходства с уравнением F->=ma-> называют также вторым законом Ньютона для вращательного движения. Этот закон формулируется так: произведение момента инерции тела на его угловое ускорение относительно некоторой оси равно результирующему моменту относительно той же оси всех внешних сил, приложенных к телу.

15. Физический и математический  маятники.

Математический маятник-это система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на тонкой невесомой и нерастяжимой нити. Математический маятник совершает гармонические колебания.

Пунктирная линия обозначает положение равновесия колебательной системы, и, будучи вынужденным из положения равновесия, материальная точка будет совершать колебательные движения. Движение материальной точки осуществляется по дуге, и закон движения точки определяет лишь тангенциальное составляющее. Определим действие силы тангенциального составляющего:

Тангенциальное составляющее определится вектором F->, F-> перпендикулярно R-> ,

F= -mgsinα – знак минус указывает на то, что смещение и сила, как векторные величины, направлены в противоположную сторону(другими словами, сила возвращает систему в положение равновесия).

Выразим угол α: α=S/l, где S – дуговая координата, sinα=α при αà0. Учтем замечание по поводу угла α и перепишем силу в следующем виде: F= -mg/l ·S= -kS, где k-коэффицент трансформации. Таким образом, при малых углах отклонения тпнгенциальная сила пропорциональна отклонению и напрвлена в сторону противоположную отклонению направления. За отклонение при колебательном движении отвечает F упругая. F-> направлена противоположно S-> . Период: T=2π l/g, α~5º(угол в пределах 5 градусов). * Из анализа последних соотношений видим, что T зависит от l и g и не зависит от α.

Натяжение нити: |R->|=> mV2/l=R-mgcosα – уравнение движения проекции на нормаль траектории. Поскольку угол α  мал, то cosα=> 1, и тогда уравнение имеет вид:

mV2/l=R-mg=>R= mV2/l+mg=m(V2/l+g). Из формулы видим, что R=max, при условии, что V=max,а V=max наблюдается, когда проходит через точку О, т.е. ту точку, которая соответствует условию равновесия.

Физический маятник-это твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения. *Исключается ось, проходящая через центр масс, поскольку колебание оси определяет колебательное движение.

Движение центра масс будет определять движение твердого тела |M->|=|F->||l->|-момент силы. M= -mglα ; T=2π I/mgl(для твердого тела), где I-момент инерции. T=2π I/ml/g ; I/ml=l* ; T= T=2π l*/g. Полученные соотношения совпадают по форме с Т математического маятника. l*- длина физического маятника, которая учитывает I, m, l ,отсчитывая от центра масс до оси вращения.

16. Скорость и ускорение точки  при гармонических колебаниях.

Гармонические колебания-это колебания, при которых дуговая координата движения точки изменяется по времени по синусоидальному или косинусоидальному закону.

S=S0sins(ωt+φ) ; S= S0cos(ωt+φ)

Кинематика гармонических колебаний. Согласно определению гармонических колебаний, дуговая координата измеряется по закону S=S0sins(ωt+φ), здесь S0 – амплитуда, (ωt+φ)-фаза, φ-начальная фаза, t-время, ω-циклическая частота, ω=2π/T [Гц].

Характеристики кинематики гармоничного движения-скорость и ускорение. Различают прямолинейные гармоничные колебания, крутильные колебания(связаны с твердым телом). Пусть смещение колебательной точки осуществляется по синусоидальному закону: х=А sins(ωt+φ) (1)<=*декартовая система координат(x,y,z). V определим взятием производной от координаты: V=dx/dt=Aωcos(ωt+φ) (2); Aω=V0; V= V0 cos(ωt+φ)

Из соотношения уравнений (1) и (2) видим, что в тот момент, когда смещение точки равно 0(когда sin=0), V ,будет наибольшей, т.к. в этот момент cos=1, и наоборот.

В точке 0 V будет max; в точке xo и -xo V=0. Из анализа видим, что V опережает по фазе смещение на π/2.

Ускорение определим продеффиринцированным взятием: a=dV/dt=Aω(-ω)sin(ωt+φ) (3) ; Aω(-ω)= -a o = -Aω2 . Сопоставив (3) и (1) делаем вывод, что «а» опережает по фазе смещение на π(колебание в противофазе).

17. Работа и мощность в механике.

Работа- это физическая величина, являющаяся скалярной количественной мерой действия силы или сил на тело или систему, зависящая от численной величины, направления силы (сил) и от перемещения точки (точек), тела или системы.

A=F·S=F·Δl cosα, где F-действующая на тело сила, постоянная по величине и направлению; Δl-путь, пройденный телом по прямой, α-постоянный угол, образованный вектором F с перемещением Δl. .

В системе СИ за единицу работу принимается джоуль(Дж); 1Дж есть работа, соврешаемая на пути в 1 м постоянной силой в 1 Н, действующей в направлении перемещения.

Мощность- физическая величина, равная в общем случае скорости изменения, преобразования, передачи или потребления энергии системы. Если за время Δt машина соврешит работу ΔА, то по определению средняя мощность Рср равна: Рср= ΔА/ Δt, а мгновенная мощность Р будет =lim ΔА/ Δt=dA/dt. В системе СИ за единицу измерения мощности принимается ватт(Вт); 1 Вт есть такая мощность, при которой за 1 с совершается работа в 1 Дж(1 Вт=1 Дж/с). Используются также кратные единицы мощности: гектоватт(гВт), киловатт(кВт), мегаватт(МВт):1гВт=102Вт,1кВт=103Вт,1МВт=106Вт. В некоторых случаях еще применяют старую единицу мощности-лошадинную силу(л.с.): 1 л.с.=735Вт.

Мощность, как и работу, можно посчитать через силу, с которой устройство действует на данное тело: Р=F->V-> . Таким образом, механическая мощность, развиваемая какой-либо машиной, равна скалярному произведению силы на скорость перемещения тела, к которому приложеа сила. Если направление силы совпадает с направлением скорости, то Р=FV.

18. Упругие свойства твердых  тел. Виды упругих деформаций. Закон  Гука. Значение сил упругости  в технике.

Все твердые тела способны под действием внешних сил деформироваться, т.е. изменять свою форму или объем. Тела, в которых после прекращения действия на них внешних сил деформация полностью исчезает и первоначальная форма тела и его объем полностью восстанавливаются, называют абсолютно упругими, а саму деформацию-упругой. Тела, которые после прекращения действия внешних сил не восстанавливают свою первоначальную форму(и объем), называют неупругими или пластичными; соответственно их деформацию называют неупругой, пластичной. В случае, когда после устранения внешних сил деформация полностью сохраняется, тело называют абсолютно неупругим. Свойство тел восстанавливать форму и объем после прекращения действия внешних сил называют упругостью. Различают объемную упругость и упругость формы. Объемная упругость-универсальное свойство всех тел, включая жидкости и газы. *Объемная упругость газов в отличие от объемной упругости других тел односторонняя; она противодействует сжатию, но не противодействует расширению. Упругость формы-свойство многих твердых тел, и прежде всего кристаллических. В природе, конечно, нет абсолютно упругих и абсолютно неупругих тел. Все тела в той или иной степени являются неупругими. Но многие твердые тела(например, металлические) при малых и медленно протекающих деформациях ведут себя как абсолютно упругие; остаточные деформации в них настолько малы, что ими вполне можно пренебречь. С другой стороны, имеются такие тела(воск,сырая глина,вар,свинец), которые уже при малых деформациях ведут себя как абсолютно неупругие: они почти полностью сохраняют деформации после устранения внешних сил. Внутренние силы, возникающие при деформациях упругих и неупругих тел, существенно различаются между собой. В упругих телах они определяются величиной и видом деформации и при устранении внешних сил возращают телу его первоначальную форму и объем. В неупругих телах внутренние силы зависят от скорости изменения деформации и при устранении сил исчезают, не возращая телу первоначальной формы. Внутренние силы, возникающие в упругих телах при небольших деформациях, называют упругими. Внутренние силы в неупругих телах относятся к силам иного вида, называемым силам вязкости или силами внутреннего трения.

Виды упругих деформаций: сжатие(1), растяжение(2), изгиб(3), сдвиг(4), кручение(5)

*Не все перечисленные  виды деформации являются независимыми. Так, изгиб можно свести к деформации  растяжения и сжатия.

Роберт Гук-выдающийся английский физик, обнаружил(1660 год), что величина и направление сил упругости зависит от величины деформации. Гук установил закон в основе которого лежит два положения: 1) при любой деформации сила упругости пропорциональна величине деформации; 2) малые деформации тела пропорциональны приложенным силам. Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:   Здесь F-сила, которой растягивают (сжимают) стержень, Δl-абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а k-коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L) явно, записав коэффициент упругости как Величина E называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

При температурном расширении или сжатии твердых тел развиваются огромные силы: это можно использовать в соответствующих технологических процессах. Например, это свойство использовано в электрическом домкрате для растяжения арматуры при изготовлении напряженного железобетона. В результате охлаждения или сокращения линейных размеров стержня развивается тянущее усилие порядка сотен тонн, которое растягивает холодную арматуру до необходимой величины. Так как в этом домкрате работают молекулярные силы, он практически не может сломаться.

19. Закон всемирного тяготения. Тяжелая и инертная масса.

Всемирное тяготение состоит в том, что всем телам природы присуще свойство притягивать друг друга. Закон всемирного тяготения формулируется так: « Сила взаимного притяжения друх материальных точек прямо пропорциональна произведению масс взаимодействующих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними »: f=γ·m1m2/r2 , где γ-коэффицент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения входящих в формулу величин. Закон всемирного тяготения был сформулирован Исааком Ньютоном в 1686г. В труде «Математические начала натуральной философии».

Массу тела можно определить, используя II закон Ньютона mин=F/a. Определяемая таким путем масса получила название инертной массы. Инертная масса является мерой инертности тела. Массу того же тела можно определить, используя закон всемирного тяготения, путем измерения силы тяготения к другому телу, например к Земле: mграв=FRз2/γM. Определяемая таким способом масса носит название гравитационной массы. Гравитационная масса является количественной мерой присущему всем телам свойству гравитации. Опыты показали, что инертные массы всех тел в пределах достигнутой точности измерений пропорциональны их гравитационным массам.

20. Первая, вторая и третья космические  скорости. Достижения науки и  техники в области освоения  и исследования космического  пространства.

Первая космическая скорость (круговая скорость) — минимальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы вывести его на геоцентрическую орбиту. Иными словами, первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите. В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли будет действовать только одна сила — сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения — то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно — вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения — перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять свое направление. Поэтому в инерциальной системе отсчета такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».Часто для удобства вычисления первой космической скорости переходят к рассмотрению этого движения в неинерциальной системе отсчета — относительно Земли. В этом случае объект на орбите будет находиться в состоянии покоя, так как на него будут действовать уже две силы: центробежная сила и сила тяготения. Соответственно, для вычисления первой космической скорости необходимо рассмотреть равенство этих сил.Точнее, на тело действует одна сила - сила тяготения, она же - центростремительная. Центробежная сила действует на Землю. Центростремительная сила, вычисляемая из условия вращательного движения равна силе тяготения. Отсюда, приравниванием этих формул, вычисляется скорость , ,где m — масса объекта, M — масса планеты, G — гравитационная постоянная, V1— первая космическая скорость, R — радиус планеты. Подставляя численные значения (для Земли M = 5,97·1024 кг, R = 6 371 км), найдем 7,9 км/с. Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения. Поскольку ,то .

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость освобождения, скорость убегания) — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания замкнутой орбиты вокруг него. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно более не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует). Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Солнца. Для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с. Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие при старте скорость, в точности равную второй космической, движутся по дуге параболы относительно небесного тела. Однако, если энергии телу придано чуть больше, его траектория перестает быть параболой и становится гиперболой; если чуть меньше, то она превращается в эллипс. В общем случае все они являются коническими сечениями.