Распределение Максвелла

Федеральное агентство по образованию РФ

РГРТУ

 

Кафедра ОиЭФ

 

 

Лабораторная работа №1

«Распределение Максвелла»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: ст.гр. 625 

Рыбин С.В.  

Проверил:   

Буробин М.А. 

 

 

 

 

Рязань 2010

Цель работы: изучение распределения Максвелла на примере термоэлектронов, определение энергии заряженных частиц по максимальной высоте потенциального барьера и эффективной температуры распределения термоэлектронов.

 

Элементы теории и метод эксперимента.

Рассмотрим поведение частиц идеального газа в отсутствие внешних силовых полей. Частиц газа много, поэтому их средняя концентрация по объему одинакова. При рассмотрении вопроса о распределении молекул будем использовать пространство скоростей или импульсов .

 

Распределение для проекции импульса

У рассматриваемых частиц идеального газа встречаются частицы с самыми разнообразными значениями импульсов, поэтому с точки зрения теории вероятности надо определить вероятности тех или иных значений импульса. Импульсы молекул рассматриваются как непрерывные случайные величины. Их распределение характеризуется функцией плотности вероятности . Эта функция должна соответствовать предположениям:

1.    Пространство изотропно, т.е. все направления в пространстве равновероятны.

2.    Движения по трем  взаимно перпендикулярным осям  независимы. (Рассматриваем движения со скоростями меньше скорости света.)

Эти условия определяют функцию вероятности ( ) обнаружения частицы в пространстве импульсов с проекцией импульса в интервале от до вида:

 

     (1)

Поскольку , выражение принимает вид:          

                      (2)

Константа может быть найдена из условия нормировки:

           (3)

Тогда с учётом значения табличного интеграла (3), находят и распределение (2) принимает вид:

            (4)

Функция плотности вероятности

  -         (5)

чётная, её график приведён на рис.1.

Рис. 1. Распределение Максвелла для проекции импульса

.

Перепишем (4) с учётом , т.е. найдём вероятность обнаружения частицы в пространстве скоростей с проекцией скорости в интервале от до :

.         (6)

Аналогичный вид имеют выражения и .

 

Распределение для вектора скорости

При записи распределения частиц нас интересует вероятность того, что вектор скорости находится в объёме фазового пространства скоростей (рис.2)

Рис.2. Элементарный объём, соответствующий заданному вектору скорости, в пространстве скоростей.

 

С учётом ранее сделанных предположений, можно записать:

(7)

 

Распределение для модуля вектора скорости

Рассмотрим вероятность обнаружения частицы , удовлетворяющая условию равенству модуля вектора скорости . Нас интересует вероятность нахождения скорости в интервале от до . В пространстве скоростей этому случаю соответствует шаровой слой радиуса   и толщиной (рис.3).

Рис. 3. Элементарный объём, соответствующий заданному модулю вектора скорости, в пространстве скоростей.

 

Объём шарового слоя пространства скоростей равен

                                        (8)

С учётом вида функции плотности вероятности (7), получим:

    (9)

На рис.4 изображена функция плотности вероятности.

 

Рис. 4. Функция плотности вероятности распределения Максвелла для модуля вектора скорости.

 

Площадь под кривой равна единице согласно условию нормировки. Имея распределение (9), можно найти наиболее вероятную скорость, соответствующую максимуму распределения из условия равенства нулю первой производной от функции плотности вероятности:

 

, тогда    (10)

С помощью плотности вероятности можно рассчитать среднеарифметическую скорость частиц:

    (11)

и среднеквадратичную скорость частиц:

    (12)

 

Распределение по энергии

Используя соотношение (9) и выражение для энергии частиц идеального газа , можно произвести замену переменных , и получить:

  (13)

 

 

Рис.5. Распределение термоэлектронов вольфрамового термокатода по радиальной компоненте скорости при Т=1950 К;

1 – по Максвеллу, 2 – с учётом  коэффициента отражения энергоанализатора  по Ноттингему, 3 – экспериментальные  данные.

 

Измерение функции распределения электронов вольфрамового термокатода

 

Электроны, полученные в результате термоэлектронной эмиссии с поверхности металла, можно рассматривать как идеальный электронный газ. Опыт показывает, что распределение термоэлектронов по энергиям описывается распределением Максвелла (13). Энергетическая структура электронных потоков определяет важнейшие параметры радиоэлектронных приборов и электрофизических установок.

 В качестве объекта исследований  выберем вакуумную лампу с  вольфрамовым прямонакальным катодом. Исследования будем проводить  методом задерживающей разности потенциалов. Использование различных эмиттеров и различных методик исследования затрудняет сравнение результатов измерений. Кроме того, с распределением Максвелла, как правило, сравнивают так называемые приборные энергетические спектры. К наиболее интересным исследованиям относятся результаты измерения энергетических спектров термоэлектронов, эмитированных нитевидным вольфрамом. Основной вывод работ - в области низких энергий экспериментальные; результаты фактически совпадают с распределением Максвелла (13) (рис.5.). Расхождение имеется лишь в области высоких энергий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методика эксперимента и экспериментальная установка

В качестве объекта исследований можно использовать термоэлектроны вольфрамового катода вакуумного триода. На рис.6. изображена схематически экспериментальная установка. Используемый вакуумный триод обладает цилиндрической симметрией. Исследование энергетического спектра термоэлектронов производится методом задерживающей разности потенциалов (ЗРП). Для этого между катодом и сеткой подается ускоряющий потенциал , а между сеткой и анодом - задерживающий потенциал . Сущность метода состоит в определении энергии заряженных частиц, по максимальной высоте потенциального барьера, который они могут преодолеть, двигаясь в тормозящем электрическом поле. В рассматриваемом случае определяется распределение по проекциям скоростей направленных по радиусу триода (рис.6.).

 

Рис.6. Принципиальная схема экспериментальной установки.

 

Если , поток электронов попадает на анод (участок АВ’ на рис.7.), электроны

Рис.7. Кривая «задержки» энергоанализатора

1 – теоретическая, 2 – экспериментальная.

 

образуют ток IА в анодной цепи. Если , электронный поток не достигает анода (участок В"С на рис.7.), ток в анодной цепи равен нулю.

На рис.7. кривая задержки 1 соответствует монокинетическому потоку электронов (все электроны имеют одинаковые скорости), кривая задержки 2 соответствует току электронов с функцией распределения по энергиям f(E):

    (14)

где - площадь анода, - заряд электрона и - концентрация электронов из соотношения (1) можно получить:

    (15)

Рис. 8. Электрическая схема установки

 

 

 

 

 

Выполнение работы

Uзад	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
Ia	0.3	0.3	0.29	1.74	1.9	1.91	2.13	2.14	2.12
dIa/dUзад	0	0	0.02	2.9	0.32	0.02	0.44	0.02	0.02

 

4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.1	8.2
2.12	2.12	2.07	1.85	1.57	1.13	0.73	0.39	0.34	0.25
0	0	-0.1	-0.44	-0.44	-0.56	-0.88	-0.68	-0.5	-0.9

 

8.3	8.4	8.5	8.6	8.7	8.8	8.9	9	9.1	9.2
0.24	0.16	0.16	0.11	0.09	0.04	0.04	0.02	0.02	0.01
-0.1	-0.8	-0.8	-0.5	-0.2	-0.5	0	0	0	0

 

9.3	9.4	9.5
0.01	0.01	0.01
0	0	0

 

 

 

 

 

T=2*EMax/k=4.6*10^4 K –эффективная температура термоэлектронов