Расчет стержневых систем на прочность и жесткость
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 31 Марта 2013 в 21:33, курсовая работа
Описание работы
1. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ–
СЖАТИИ
1.1. Выбор материала и допускаемых напряжений
1.1.1. Расчет физико–механических характеристик материала
Содержание работы
1. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ–СЖАТИИ ........2
1.1. Выбор материала и допускаемых напряжений.....................................................2
1.1.1. Расчет физико–механических характеристик материала...............................2
1.1.2. Расчет допускаемых напряжений ....................................................................2
1.2. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня.......................3
1.2.1. Построение эпюры продольных сил.................................................................3
1.2.2. Построение эпюры напряжений........................................................................4
1.2.3. Расчет на прочность. Подбор сечения..............................................................4
1.3. Расчет на жесткость стержня постоянного сечения.............................................5
1.3.1. Построение эпюр продольных сил и перемещений........................................5
1.3.2. Расчет на жесткость............................................................................................7
1.4. Расчет на прочность статически неопределимой
стержневой системы на растяжение–сжатие.........................................................8
1.4.1. Уравнения равновесия .......................................................................................8
1.4.2. Уравнения совместности деформаций.............................................................8
1.4.3. Физические уравнения.......................................................................................9
1.4.4. Расчет усилий в стержнях..................................................................................9
1.4.5. Расчет на прочность ...........................................................................................9
1.5. Расчет монтажных напряжений в статически
неопределимой стержневой системе и оценка прочности ...............................10
1.5.1. Уравнения равновесия .....................................................................................10
1.5.2. Уравнения совместности деформаций...........................................................10
1.5.3. Физические уравнения.....................................................................................10
1.5.4. Расчет усилий в стержнях................................................................................11
1.5.5. Расчет на прочность .........................................................................................11
2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ..................................12
2.1. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня.....................12
2.1.1. Построение эпюры крутящих моментов........................................................12
2.1.2. Построение эпюры напряжений......................................................................13
2.1.3. Расчет на прочность. Подбор сечения............................................................14
2.2. Расчет на жесткость стержня постоянного сечения...........................................15
2.2.1. Построение эпюры углов закручивания.........................................................15
2.2.2. Расчет на жесткость..........................................................................................16
3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛОК И РАМ......................................17
3.1. Проектировочный расчет чугунной балки..........................................................17
3.1.1. Расчет геометрических характеристик поперечного сечения......................17
3.1.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов.........................................18
3.1.3. Расчет на прочность..........................................................................................19
3.2. Проверочный расчет балки из прокатных профилей .......................................20
3.2.1. Расчет геометрических характеристик поперечного сечения......................20
3.2.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов.........................................20
3.2.3. Расчет на прочность..........................................................................................21
3.3. Расчет на жесткость балки из прокатных профилей.........................................22
3.4. Проектировочный расчет на прочность плоской рамы ...................................24
3.4.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов.........................................24
3.4.2. Расчет на прочность..........................................................................................25
4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..........................................
Файлы: 1 файл
Уфимский государственный авиационный
технический университет
Кафедра сопротивления материалов
КУРСОВАЯ РАБОТА
по сопротивлению материалов
Тема: Расчет стержневых систем на прочность
и жесткость
Должность /
группа
Ф.И.О.
Дата
Подпись
Выполнил
Проверил
Принял
г. Уфа.
2006 г.
СОДЕРЖАНИЕ
1. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ–СЖАТИИ ........2
1.1. Выбор материала и допускаемых напряжений.....................................................2
1.1.1. Расчет физико–механических характеристик материала...............................2
1.1.2. Расчет допускаемых напряжений ....................................................................2
1.2. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня.......................3
1.2.1. Построение эпюры продольных сил.................................................................3
1.2.2. Построение эпюры напряжений........................................................................4
1.2.3. Расчет на прочность. Подбор сечения..............................................................4
1.3. Расчет на жесткость стержня постоянного сечения.............................................5
1.3.1. Построение эпюр продольных сил и перемещений........................................5
1.3.2. Расчет на жесткость............................................................................................7
1.4. Расчет на прочность статически неопределимой
стержневой системы на растяжение–сжатие.........................................................8
1.4.1. Уравнения равновесия .......................................................................................8
1.4.2. Уравнения совместности деформаций.............................................................8
1.4.3. Физические уравнения.......................................................................................9
1.4.4. Расчет усилий в стержнях..................................................................................9
1.4.5. Расчет на прочность ...........................................................................................9
1.5. Расчет монтажных напряжений в статически
неопределимой стержневой системе и оценка прочности ...............................10
1.5.1. Уравнения равновесия .....................................................................................10
1.5.2. Уравнения совместности деформаций...........................................................10
1.5.3. Физические уравнения.....................................................................................10
1.5.4. Расчет усилий в стержнях................................................................................11
1.5.5. Расчет на прочность .........................................................................................11
2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ..................................12
2.1. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня.....................12
2.1.1. Построение эпюры крутящих моментов........................................................12
2.1.2. Построение эпюры напряжений......................................................................13
2.1.3. Расчет на прочность. Подбор сечения............................................................14
2.2. Расчет на жесткость стержня постоянного сечения...........................................15
2.2.1. Построение эпюры углов закручивания.........................................................15
2.2.2. Расчет на жесткость..........................................................................................16
3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛОК И РАМ......................................17
3.1. Проектировочный расчет чугунной балки..........................................................17
3.1.1. Расчет геометрических характеристик поперечного сечения......................17
3.1.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов.........................................18
3.1.3. Расчет на прочность..........................................................................................19
3.2. Проверочный расчет балки из прокатных профилей .......................................20
3.2.1. Расчет геометрических характеристик поперечного сечения......................20
3.2.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов.........................................20
3.2.3. Расчет на прочность..........................................................................................21
3.3. Расчет на жесткость балки из прокатных профилей.........................................22
3.4. Проектировочный расчет на прочность плоской рамы ...................................24
3.4.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов.........................................24
3.4.2. Расчет на прочность..........................................................................................25
4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................................................................................26
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
1
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
1
1. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ–
СЖАТИИ
1.1. Выбор материала и допускаемых напряжений
1.1.1. Расчет физико–механических характеристик материала
Диаграмма растяжения титанового сплава ВТ3 изображена на рис. 1.1. Образец
длиной
0
80мм
l =
и диаметром
0
8мм
d =
разрушился с образованием шейки
1
6,7мм
d =
, что свидетельствует о том, что материал пластичный.
Площадь поперечного сечения
образца до испытаний:
2
2
2
0
0
8
50,24мм ;
4
4
d
A
π
π⋅
=
=
=
после разрушения:
2
2
2
1
1
6,7
35,2мм .
4
4
d
A
π
π⋅
=
=
=
Относительное остаточное уд-
линение
0
0
12,2
100%
100% 15%.
80
l
l
Δ
δ =
⋅
=
⋅
=
Относительное остаточное су-
жение
0
1
0
100%
50,24 35,20
100% 29,9%.
50,24
A
A
A
−
Ψ =
⋅
=
−
=
⋅
=
Определим основные характеристики прочности.
Предел пропорциональности
3
nц
пц
0
44 10
875МПа.
50,24
F
A
⋅
σ =
=
=
Условный предел текучести
3
0,2
0,2
0
46 10
916МПа.
50,24
F
A
⋅
σ =
=
=
Предел прочности (временное сопротивление σ
в
)
3
max
пч
0
55 10
1095МПа.
50,24
F
A
⋅
σ =
=
=
1.1.2. Расчет допускаемых напряжений
Допускаемое напряжение
[ ]
σ
выбираем, как некоторую долю предельного на-
пряжения
пред
σ
, то есть
[ ]
пред
,
n
σ
σ =
где n – коэффициент запаса прочности.
Рекомендуемые значения
1,5 2,5.
n =
÷
Примем
1,5,
n =
тогда
[ ]
пред
0,2
916
611МПа.
1,5
n
n
σ
σ
σ =
=
=
=
Рис. 1.1
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
2
1.2. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня
Для ступенчатого стержня представленного на
рис. 1.2 необходимо построить эпюру продольных сил, по-
строить эпюру напряжений, отнесенную к площади A
0
, най-
ти A
0
из условия прочности.
1.2.1. Построение эпюры продольных сил
Составим уравнение равновесия системы (рис. 1.3, а):
1
3
1
(
)
0,
z
A
F
R
q l
l
F
=
−
+
−
=
∑
откуда
(
)
(
)
1
3
1
22 0,3 0, 4
20 35, 4 кН.
A
R
q l
l
F
=
+
+
=
+
+
=
Разобьем стержень на 3 участка AB, BC и CD, прове-
дем на каждом из них произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3 с
координатами z
1
, z
2
, z
3
(рис. 1.3, а).
Участок АВ (0≤z
1
≤l
3
=0,4м) (рис. 1.4, а). Из равновесия
оставленной верхней части следует, что
N(z
1
)=R
A
=35,4 кН.
На участке ВС (0≤z
2
≤l
2
=0,4м) (рис. 1.4, б). Из условия равновесия получим
N(z
2
) =R
A
– q·z
2
Значение N(z
2
) в начале участка, точка В, и в конце участка, точка С N(z
2
=0) = R
A
= 35,4
кН; и N(z
2
=l
3
) = R
A
– q·l
2
= 35,4 – 22·0,4 = 26,6 кН.
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
3
Рис. 1.2
а
б
в
г
Рис. 1.3
а
б
в
Рис. 1.4
На участке CD (0≤z
3
≤l
1
=0,3м) (рис. 1.4, в). Отбросим верхнюю часть, ее действие
заменим продольной силой N(z
3
). Из уравнения равновесия следует
N(z
3
) = F
1
+ qz
3
.
Функция N(z
3
) представляет линейную зависимость. Значение N(z
3
) в начале (точка
D) и в конце (точка С) участка N(z
3
=0)=F
1
=20кН, и N(z
3
=l
1
) = F
1
+ q·l
1
= 20 + 22·0,3 = 26,6
кН.
По полученным данным строим эпюру N (рис. 1.3, б). Эпюра показывает, что на
всех участках стержня – растяжение. Скачок в сечении А равен реакции R
A
= 35,4 кН, в
сечении D – силе F
1
= 20 кН, приложенной в этом сечении.
1.2.2. Построение эпюры напряжений
Нормальные напряжения σ(z) распределяются равномерно по сечению:
( )
( )
,
( )
N z
z
A z
σ
=
где N(z) – продольная сила, А(z) – площадь поперечного сечения.
Для определения положения опасного сечения стержня, в котором возникают мак-
симальные напряжен, определим напряжения в долях 1/А
0
.
Участок АВ (0 ≤ z
1
≤ l
1
=0,4м), нормальные напряжения
1
1
0
0
0
( )
35,4
23,6
( )
.
1,5
1,5
N z
z
A
A
A
σ
=
=
=
На участке ВС (0 ≤ z
2
≤ l
2
=0,4м):
2
0
0
2
2
2
0
0
2
2
0
0
35,4 0
88,5
0 :
;
0, 4
( )
( )
35,4 22 0,4
66,5
0, 4
0,4
:
.
0, 4
A
z
A
A
N z
R
qz
z
A
A
z
l
A
A
−
⎧
=
=
⎪
−
⎪
σ
=
=
=
⎨
−
⋅
⎪
=
=
⎪
⎩
.
Участок CD (0≤z
3
≤l
1
=0,3м):
3
0
0
3
1
3
3
0
0
3
1
0
0
20 0
20
0 :
;
( )
( )
20 22 0,3
26,6
:
.
z
A
A
N z
F
qz
z
A
A
z
l
A
A
+
⎧
=
=
⎪
+
⎪
σ
=
=
=
⎨
+
⋅
⎪
=
=
⎪
⎩
.
По полученным данным построим ЭσA
0
(рис. 1.3, в).
1.2.3. Расчет на прочность. Подбор сечения
По эпюре напряжений видно, что опасным является сечение В
max
0
88,5
.
A
σ
=
Условие прочности при растяжении (сжатии) имеет вид:
[ ]
max
max
( )
,
( )
N z
A z
σ
=
≤ σ
где [σ] – допускаемое напряжение, которое определено выше для материала ВТ3 и равно
.
[σ] =611 МПа.
Тогда условие прочности примет вид
[ ]
0
8 8 , 5
,
А
≤ σ
откуда А
0
:
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
4
[ ]
3
2
0
88, 5
88, 5 10
145 мм .
611
A
⋅
≥
=
=
σ
При этом А
1
=1,5А
0
=1,5⋅145=217,5мм
2
; А
2
=0,4А
0
=0,4⋅145=58мм
2
; А
3
=А
0
=145мм
2
.
Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении А
0
.
Участок АВ:
3
0
23,6 23,6 10
163МПа.
145
А
⋅
σ =
=
=
Участок ВС:
3
2
0
3
2
3
0
88.5 88.5 10
(
0)
610МПа;
144
66,5 66,5 10
(
)
459МПа.
145
z
A
z
l
A
⎧
⋅
σ
=
=
=
=
⎪
⎪
⎨
⋅
⎪
σ
=
=
=
=
⎪
⎩
Участок CD:
3
3
0
3
3
1
0
26,6 26,6 10
(
0)
183МПа;
145
20 20 10
(
)
138МПа.
145
z
A
z
l
A
⎧
⋅
σ
=
=
=
=
⎪
⎪
⎨
⋅
⎪
σ
=
=
=
=
⎪
⎩
По полученным данным строим эпюру действующих в стержне нормальных на-
пряжений (рис. 1.3, г).
1.3. Расчет на жесткость стержня постоянного сечения
Для стержня из стали 40Х, площадью сечения А=6см
2
, представленного на рис.1.5,
необходимо построить эпюры продольных сил и осевых перемещений, выполнить расчет
на жесткость.
1.3.1. Построение эпюр продольных сил и перемещений
Построение эпюры продольных сил. Направим вдоль оси стержня ось z (рис. 1.5).
Составим уравнение равновесия системы:
1
1
1
2
0,
z
A
F
R
ql
F
F
=
−
−
+
=
∑
Рис.1.5.
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
5
откуда
1
1
1
2
22 0, 4 2 20 20 28,8кН.
A
R
ql
F
F
=
+
−
=
=
⋅
+ ⋅
−
=
Разобьем стержень на 3 участка DA, AB и ВС, проведем на каждом из них произ-
вольные сечения 1-1, 2-2, 3-3 с заданными координатами этих сечений z
1
, z
2
, z
3
.
На участке AB (0≤z
1
≤l
2
=0,4м) Отбросим правую часть, ее действие заменим про-
дольной силой N(z
1
):
1
1
( )
22 0,4 28,8
20кН.
A
N z
ql R
=
−
=
⋅
−
= −
Участок BC (0≤z
2
≤l
1
=0,3м):
2
1
1
( )
2
22 0,4 28,8 40 20кН.
A
N z
ql R
F
=
−
+
=
⋅
−
+
=
Участок DA (0≤z
3
≤l
3
=0,4м):
3
3
( )
.
N z
qz
=
Значение функции N(z
3
) в сечение D и в сечение A участка –
3
(
0) 0;
N z = =
и
3
3
3
(
)
22 0,4 8,8кН.
N z
l
ql
=
=
=
⋅
=
По полученным данным строим эпюру ЭN (рис. 1.5).
Построение эпюры перемещений. Запишем уравнения для перемещений w(z) сече-
ний, считая площади сечений известными:
w(z) = w
0
+ Δl(z),
где w
0
– перемещение в начале участка, определяемое начальными условиями; Δl(z) – уд-
линение участка (абсолютная деформация участка стержня).
Если продольная сила N(z) зависит от координат сечения z, то:
( )
( )
l
N z dz
l z
EA
Δ
=
∫
Для стали 40Х Е = 2·10
5
МПа. В расчетах примем жесткость сечения при растяже-
нии-сжатии ЕА = 2·10
5
⋅6⋅10
2
= 12⋅10
7
н = 12⋅10
4
кН.
Рассмотрим участок DA (0≤z
3
≤l
3
=0,4м). Перемещения произвольного сечения z
3
w(z
3
) = w
D
-
3
1
2
3
3
3
3
3
0
0
( )
2
z
z
D
D
N z dz
qz
qz
w
dz
w
EA
EA
EA
=
−
=
−
∫
∫
,
Функция w(z
3
) – квадратичная парабола. Так как в сечении А заделка, то есть
2
2
3
1
3
1
4
22 0.4 10
(
)
0,015мм 0.
2
2 12 10
D
D
D
ql
w z
l
w
w
w
EA
⋅
⋅
=
=
−
=
−
=
−
=
⋅ ⋅
Тогда w
D
=0,015 мм.
Так в пределах участка DA продольная сила N(z
3
) не меняет знака, то парабола в
пределах участка не имеет экстремума. Функция w(z
3
) выпуклая, так как
3
( ) 0.
w z
′′
<
Участок AB (0≤z
1
≤l
2
=0,4м). Перемещения произвольного сечения z
1
w(z
1
) = w
A
+
1
1
1 1
( )
N z z
F z
EA
EA
= −
.
Функция w(z
1
) – линейная. При z
1
= 0 w(z
1
=0) = 0; при z
1
= l
2
= 0,4м w
B
(z
2
=0,4м) =
=
3
1 2
4
20 0,4 10
0,067мм.
12 10
Fl
EA
⋅
⋅
−
= −
= −
⋅
Участок BC (0≤z
2
≤l
1
=0,3м). Перемещения произвольного сечения z
2
w(z
2
) = w
B
+
2
2
1 2
( )
B
N z z
F z
w
EA
EA
=
+
Функция w(z
2
) – линейная. При z
2
=0 w(z
2
=0)=w
B
=–0,067мм; при z
1
=l
3
=0,3м, w
C
(z
2
=0,3м) =
=
3
1 2
4
20 0,3 10
0,067
0,017мм.
12 10
B
Fl
w
EA
⋅
⋅
+
= −
+
= −
⋅
По полученным данным строим эпюру перемещений Эw (рис. 1.5).
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
6
1.3.2. Расчет на жесткость
Условие жесткости при растяжении–сжатии
ΔL ≤ [l],
где ΔL –удлинение стержня, [l] – допускаемое удлинение. В данном случае условие жест-
кости должно выполняться для участков AB и BD:
ΔL
AC
≤ [l]
AC
, ΔL
DA
≤ [l]
DA
Величина [l] =0,001L принимается в долях от суммарной длины L,
[ ]
(
)
3
2
3
0,001
0,001 (0,4 0,3) 0,7 10 м 0,7мм,
AC
l
l
l
−
=
+
=
⋅
+
=
⋅
=
[ ]
3
1
0,001
0,001 0,4 0,4 10 м 0,4мм.
DA
l
l
−
=
=
⋅
=
⋅
=
Запишем условие жесткости
[ ]
[ ]
0,015мм<
0,4мм;
0,067мм<
0,7мм.
DA
DA
AC
DA
L
l
L
l
Δ
=
=
Δ
=
=
Условие жесткости выполняется.
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
7
1.4. Расчет на прочность статически неопределимой стержневой системы при
растяжении – сжатии
Стержневая система, состоящая из жестко-
го стержня ВС и двух упругих стержней DC и КС,
нагружена силой F=60кН (рис.1.6). Определить
коэффициент запаса прочности стержневой сис-
темы, если α=45º, β=15º, l
1
=0,8м, l
2
=0,6м,
А=200мм
2
, k=0,8, материал – сталь 40Х с преде-
лом текучести
Т
σ =650МПа.
При известной площади сечения выполня-
ется проверочный расчет на прочность по напря-
жениям. Величина фактического коэффициента
запаса
пред
max
n
σ
=
σ
, где
пред
σ
– предельное значение
напряжения для заданного материала.
max
σ
– мак-
симальное рабочее напряжение, возникающее в заданной стержневой системе, от прило-
женных нагрузок. Сталь 40Х пластичный материал, тогда
пред
Τ
σ
= σ , следовательно
T
max
.
n
σ
=
σ
1.4.1. Уравнения равновесия.
Составим уравнения статического равнове-
сия (рис.1.7):
(
)
cos
cos
0;
BN
DC
KC
R
N
N
−
β−
α +β =
(1)
(
)
sin
sin
0;
BQ
DC
KC
R
N
N
+
β+
α +β =
(2)
(
)
1
1
1
sin
sin 2
sin
0.
sin 2
B
DC
KC
l
mom
N
a
l
N
Fl
a
⎛
⎞
Σ
=
β+
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
+
α+β −
=
⎜
⎟
⎝
⎠
(3)
Для дальнейшего решения применяем
уравнение (3), так как реакции опоры В для оценки прочности не нужны. Преобразуем (3),
подставляя значения углов и длин, получим
0,259
0,866
0,383 .
DC
KC
N
N
F
+
=
(4)
Полученное уравнение содержит две неизвестные продольные силы N
DC
и N
KC
. Со-
ставляем дополнительное уравнение, которое вытекает из условия совместности переме-
щений.
1.4.2.
Уравнения
совместности
деформаций
Составим уравнения совместности дефор-
маций (рис.1.8): С
1
С
2
=Δl
DC
; C
1
C
3
=Δl
KC
; Из
ΔCC
1
C
2
имеем CC
1
=
1 2
sin
С С
β
; из ΔCC
1
C
3
получим
CC
1
=
(
)
1 3
sin
С С
α+β
, приравняем отрезки
Рис.1.6.
Рис.1.7.
Рис.1.8.
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
8
1 2
sin
С С
β
=
(
)
1 3
sin
C C
α +β
или
(
)
sin
sin
DC
KC
l
l
Δ
Δ
=
β
α+β
,
подставив данные углы, получим
0,299
DC
KC
l
l
Δ
=
Δ
(5)
- уравнение совместности перемещений.
1.4.3. Физические уравнения
Составим физические уравнения. По закону Гука
;
DC DC
DC
DC
DC
l
l
Ν
Δ
=
Ε Α
.
KC KC
KC
KC
KC
l
l
Ν
Δ
=
Ε Α
Подставляя в уравнение совместности перемещений, с учетом длин стержней, со-
отношений площадей и материала, получим
(
)
1
2
0,299
cos
2
DC
KC
N l
N l
EA
EkA
=
α −β
,
умножим на ЕА и подставим данные
(
)
0,8
0,6
0,299
,
0,8
cos 22,5 15
DC
KC
N
N
=
−
D
D
после вычислений получим
0,278
.
DC
KC
N
N
=
(6)
1.4.4. Расчет усилий в стержнях
Статическое уравнение (4) и дополнительное преобразованное уравнение (6) со-
вместности перемещений дают систему разрешающих уравнений:
0,259
0,866
0,383 ;
0,278
.
DC
KC
DC
KC
N
N
F
N
N
+
=
⎧
⎨
=
⎩
Из решения системы уравнений получим N
KC
=0,408F; N
DC
= 0,114F.
1.4.5. Расчет на прочность
Напряжения в стержнях
3
0,408
0,51
0,51 60 10
153МПа;
0,8
200
KC
KC
N
F
F
kA
A
A
⋅ ⋅
σ =
=
=
=
=
3
0,114
0,114 60 10
34,2МПа.
200
DC
DC
N
F
A
A
⋅ ⋅
σ =
=
=
=
Видно, что максимальные напряжения возникают в стержне КС:
max
153МПа.
KC
σ
= σ =
Условие прочности имеет вид
[ ]
T
max
;
n
σ
σ
≤ σ =
где n – коэффициент запаса прочности. Для сталей
1,5 2,5,
n =
÷
примем
2.
n =
Тогда допускаемые напряжения
[ ]
650
325МПа.
2
σ =
=
Условие прочности для заданной стержневой системы выполняется:
[ ]
max
153МПа
325МПа.
σ
=
< σ =
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
9
1.5. РАСЧЕТ МОНТАЖНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ И ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ
При сборке стержневой системы (рис.1.9) обнаружено
несоответствие длин стержней (зазор равен Δ). Сборка была
произведена путем принудительного совмещения шарниров.
Определить напряжения в стержнях после сборки (монтаж-
ные напряжения) и оценить прочность при следующих дан-
ных: l
1
=0,8м; l
2
=1,2м; k=0,6; Δ=0,8мм; стержни стальные
Е = 2·10
5
МПа; σ
T
= 650 МПа; α=30
º
; β=45
°
.
1.5.1. Уравнения равновесия.
Для узла B (рис.1.10):
sin
sin
;
cos
cos
2
cos
2
cos30
3
.
x
BD
BC
BC
BD
y
BK
BC
BD
BK
BC
BC
BC
F
N
N
N
N
F
N
N
N
N
N
N
N
Σ = −
α +
α = 0;
=
Σ =
−
α −
α = 0;
=
α =
=
Для узла K (рис.1.11):
sin
sin
;
cos
cos
2
cos
2
cos45
2
.
x
PK
KL
PK
KL
y
BK
KL
PK
BK
KL
KL
KL
F
N
N
N
N
F
N
N
N
N
N
N
N
Σ =
β−
β = 0;
=
Σ = −
+
β+
β = 0;
=
β =
=
Получили два уравнения
3
;
BK
BC
N
N
=
(1)
2
.
BK
KL
N
N
=
(2)
1.5.2. Уравнения совместности деформаций.
Стержневая
система
получает
некоторые
деформации
(рис.1.12), которые взаимосвязаны друг с другом: KK
1
=Δ; K
1
K
3
=Δl
KL
;
KK
3
=KK
1
─K
1
K
3
=Δ─Δl
KL
;
BB
2
=Δl
BC
;
Δl
BK
=KK
2
─BB
1
;
2
1
,
sin
sin
BC
l
BB
BB
Δ
=
=
α
α
получаем уравнение совместности деформаций:
.
cos
sin
BC
KL
BK
l
l
l
Δ
Δ−Δ
Δ
=
−
β
α
(3)
1.5.3. Физические уравнения
По закону Гука, удлинения стержней равны:
2
,
BK BK
BK
BK
BK
BK
N l
N l
l
E A
EA
Δ
=
=
1
,
KL KL
KL
KL
KL
KL
N l
N l
l
E A
EA
Δ
=
=
1
.
cos
BC BC
BC
BC
BC
BC
N l
N kl
l
E A
EkA
Δ
=
=
α
Подставляя значения перемещений в уравнение 3, получим:
1
1
2
,
cos
cos
KL
BC
BK
N l
N l
N l
EA
EA
EA
Δ−
=
−
β
α
Рис.1.9.
Рис.1.10.
Рис.1.11.
Рис.1.12.
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
10
откуда в результате преобразований и подстановки числовых данных получим:
1,2
1,13
1,39
1,41
.
BK
KL
BC
N
N
N
EA
+
+
=
Δ
(4)
1.5.4. Расчет усилий в стержнях.
Решаем совместно систему уравнений 1, 2 и 4:
3
;
2
;
1,2
1,13
1,39
1,41
.
BK
BC
BK
KL
BK
KL
BC
N
N
N
N
N
N
N
EA
⎧
=
⎪
⎪
=
⎨
⎪
+
+
=
Δ
⎪
⎩
Находим силы действующие в стержнях. Стержень BC:
5
3
1,41
1,41 2 10
0,8
46,42 .
4,86
4,86 10
BC
A
A
N
A
Ε Δ
⋅ ⋅
⋅
=
=
=
⋅
Стержень BK:
1,23 2
80,74 .
BK
BC
N
N
A
=
=
Стержень KL:
1,23
57,10 .
KL
BC
N
N
A
=
=
1.5.5. Расчет на прочность.
Определим напряжения в стержнях. Для стержнях ВС:
46,42
77,37МПа.
0,6
BC
BC
N
A
kA
A
σ =
=
=
Для стержнях BK:
80,74
80,74МПа.
BK
A
A
σ =
=
Для стержнях KL:
57,10
57,10МПа.
KL
A
A
σ =
=
Максимальные напряжения возникают в стержне ВК
max
80,74МПа.
σ
=
Условие прочности имеет вид
[ ]
T
max
;
n
σ
σ
≤ σ =
где n – коэффициент запаса прочности. Для сталей
1,5 2,5,
n =
÷
примем
2.
n =
Тогда
допускаемые напряжения
[ ]
650
325МПа.
2
σ =
=
Условие прочности для заданной стержневой системы выполняется:
[ ]
max
80,74МПа
325МПа.
σ
=
< σ =
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
11
2. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ
2.1. Проектировочный расчет на прочность ступенчатого стержня
Для ступенчатого стержня,
представленного на рис. 2.1, не-
обходимо построить эпюру крутящих
моментов, эпюру условных касатель-
ных напряжений как функцию пара-
метра сечения d, из условия прочно-
сти найти искомое значение d, в рас-
четах использовать материал, пред-
ставленный кривой деформирования,
в соответствии с вариантом задания.
2.1.1. Построение эпюры кру-
тящих моментов
Направим вдоль оси стержня
ось z (рис. 2.2, а). Запишем условие
равновесия стержня AD в виде
1
1
2
2
4
3
0;
0.
n
z i
i
mom T
T T tl T T
=
=
− − − + =
∑
Из условия равновесия нахо-
дим значение T
4
:
4
1
2
2
3
25 0 24 1 14 15кНм.
T T T tl T
= − − + =
=
− − ⋅ + =
Для определения внутренних
силовых факторов, воспользуемся
методом сечений. Разобьем стержень
на 3 участка AB, BC и CD, проведем
на каждом из них произвольные се-
чения 1-1, 2-2, 3-3 и зададим коорди-
наты этих сечений z
1
, z
2
, z
3
.
Рассмотрим
участок
АВ
(0≤z
1
≤l
1
=0,4м):
( )
( )
1
1
1
0;
.
x
mom T z
T z
T
Σ
=
= −
На участке АВ (рис. 2.3, а) кру-
тящий момент
( )
1
1
25кНм.
T z
T
= − = −
Рассмотрим
участок
BС
2
2
(0
1,0м)
z
l
≤ ≤ =
(рис. 2.3, б):
( )
( )
2
2
1
2
2
0;
0.
x
mom T z
T z
T T tz
Σ
=
= − + +
=
Рассчитаем значение крутяще-
го момента в точках В и С. В точке В:
(
)
2
0
25 0 24 0
25кНм.
T z =
= − + +
⋅ = −
В точке C:
(
)
2
2
25 0 24 1
1кНм.
T z
l=
= − + +
⋅ = −
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
12
Рассмотрим участок DC
3
3
(0
0,5м)
z l
≤ ≤ =
(рис. 2.3, в):
( )
( )
3
3
3
0;
.
x
mom T z
T z
T
Σ
=
=
В пределах всего участка крутящий момент
( )
3
3
14кНм.
T z
T
=
=
По полученным данным построим эпюру крутящих моментов (рис. 2.2).
2.1.2.Построение эпюры напряжений
Наибольшие напряжения при кручении возникают на внешних волокнах и опреде-
ляются как
( )
( )
p
T z
W z
τ =
,
где
max
p
p
I
W
r
=
– полярный момент сопротивления, I
p
– полярный момент инерции сечения,
r
max
– максимальный радиус. Определим геометрические характеристики сечений.
Участок AB
(
) (
)
(
)
1
4
4
4
1,2
0,4
0,201 ;
32
p
I
d
d
d
π
=
−
=
1
4
3
0,201
0,335 .
0,6
p
d
W
d
d
=
=
Участок BC
(
) (
)
(
)
2
4
4
4
1,6
0,4
0,641 ;
32
p
I
d
d
d
π
=
−
=
2
4
3
0,641
0,801 .
0,8
p
d
W
d
d
=
=
Участок CD
3
4
4
0,098 ;
32
p
I
d
d
π
=
=
3
3
3
0,196 .
16
P
d
W
d
π
=
=
Определим опасное сечение стержня, в котором возникают максимальные напря-
жения, в долях 1/d
3
.
Участок АВ
1
1
(0
)
z l
≤ ≤ :
(
)
(
)
( )
1
1
1
1
1
1
3
3
25
74,63
0
.
0,335
p
T z
z
z
l
W
d
d
−
−
τ
=
= τ
=
=
=
=
Участок BC
2
2
(0
)
z
l
≤ ≤
:
2
2
2
3
3
(
0)
25
31,21
(
0)
;
0,801
p
T z
z
W
d
d
=
−
−
τ
= =
=
=
2
2
2
2
2
3
3
(
)
1
1,25
(
)
.
0,801
p
T z
l
z
l
W
d
d
=
−
−
τ
=
=
=
=
Участок CD
3
3
(0
)
z
l
≤ ≤
:
(
) (
)
3
3
3
3
3
3
3
14
71,43
0
.
0,196
p
T
z
z
l
W
d
d
τ
= = τ
=
=
=
=
По полученным данным строим Эτd
3
(рис. 2.2).
а
б
в
Рис. 2.3
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
13
1.2.3. Расчет на прочность. Подбор сечения
Из эпюры Эτd
3
видно, что опасными являются сечение на участке AВ, где действу-
ют наибольшие напряжения
3
max
74,63
.
d
τ
=
Условие прочности при кручении имеет вид:
( )
( )
[ ]
max
max
,
T z
W z
τ
=
≤ τ
где [τ] – допускаемое касательное напряжение.
Примем для материала ВТ3
[ ]
[ ]
0,5
0,5 611 305МПа.
τ =
σ =
⋅
≈
Тогда условие прочности примет вид
[ ]
3
3
74,63 10
d
⋅
≤ τ
Из условия прочности находим оптимальное значение диаметра:
[ ]
3
3
3
3
74,63 10
74,63 10
305МПа
62,55мм.
305
d
d
⋅
⋅
≤ τ =
⇒ ≥
=
Примем (из ряда Ra40 по ГОСТ 6636-86) d=63 мм.
Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении d.
Участок АВ:
6
3
74,63 10
298МПа.
63
−
⋅
τ =
= −
Участок ВС:
( )
(
)
(
)
6
2
3
2
6
2
2
3
31,21 10
0
125МПа;
63
1,25 10
50МПа.
63
z
z
z
l
⎧
−
⋅
τ
=
=
= −
⎪
⎪
τ
=
⎨
−
⋅
⎪
τ
=
=
= −
⎪
⎩
.
Участок CD:
( )
6
3
3
71,43 10
286МПа.
63
z
⋅
τ
=
=
По полученным данным строим эпюру действующих на валу касательных напря-
жений Эτ (рис. 2.2).
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
14
Рис. 2.5
2.2. Расчет на жесткость стержня постоянного сечения.
Для стержня постоянного се-
чения (рис. 2.4), необходимо постро-
ить эпюру углов закручивания и из
условия жесткости найти искомое
значение диаметра стержня d. Мате-
риал стержня – сталь, G=80ГПа.
2.2.1. Построение эпюры уг-
лов закручивания.
Разобьем стержень на участки
АВ, ВС и СD (рис. 2.5). В пределах
каждого участка возьмем произволь-
ные сечения z
1
, z
2
и z
3
соответственно.
На участке АВ
(
)
1
1
0
0,5м
z
l
≤ ≤ =
:
1
1
1
2
1
1
( ) 0: ( )
2
18
2 15 10 18
20(кНм).
T z
T z
tz
T T
z
z
Σ
=
=
−
+ =
− ⋅ + =
−
На участке ВС
(
)
2
2
0
0,2м
z
l
≤
≤ =
:
2
1
2
( ) 0: ( )
2
2 15 10
20(кНм).
T z
T z
T T
Σ
=
= −
+ = − ⋅ + = −
На участке СD
(
)
3
3
0
0,6м
z
l
≤
≤ =
:
3
2
( ) 0: ( )
10(кНм).
T z
T z
T
Σ
=
= =
Находим углы закручивания в долях 1
p
GI . На участке АВ:
( )
1
2
1
1
1
1
1
0
18
20
18
20
2
l
p
p
p
z
z
z
z
dz
GI
GI
GI
0
−
ϕ
=
=
−
+ ϕ =
∫
Рис. 2.4
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
15
(
)
(
)
(
)
1
2
3
1
1
0
;
18 0,5
20 0,5
7,75 10
рад/м .
2
p
p
p
z
z l
GI
GI
GI
0
0
0
⎧ϕ
= = ϕ
⎪
=
⋅
⋅
⋅
⎨
ϕ
=
=
−
+ϕ = −
+ϕ
⎪
⎩
Так как
(
)
1
1
0
z
l
ϕ
=
=
, ввиду наличия заделки в точке А, то
3
7,75 10
.
B
p
GI
0
⋅
ϕ = ϕ =
Окончательно получаем, в точке А
0;
A
ϕ =
и в точке B
3
7,75 10
.
B
p
GI
⋅
ϕ =
Функцией угла закручивания на участке АВ является парабола, вторая производная
от которой положительна, следовательно, парабола вогнутая.
На участке ВС:
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
3
2
2
2
0
0
;
20
20
20 10 0,2
4 10
рад/м .
C
l
C
B
C
C
p
p
p
p
z
dz
z
z
z
l
GI
GI
GI
GI
⎧ϕ
= = ϕ
−
−
⎪
ϕ
=
=
+ϕ =
− ⋅
⋅
⋅
⎨
ϕ
=
= ϕ =
+ϕ = −
+ϕ
⎪
⎩
∫
Находим угол поворота в точке С
3
3
3
3
4 10
7,75 10
4 10
11,75 10
.
C
B
p
p
p
p
GI
GI
GI
GI
⋅
⋅
⋅
⋅
ϕ = ϕ +
=
+
=
На участке CD:
( )
(
)
(
)
(
)
3
3
3
3
3
3
3
3
3
0
0
;
10
10
10 10 0,6
6 10
рад/м .
D
l
D
C
D
D
p
p
p
p
z
dz
z
z
z
l
GI
GI
GI
GI
⎧ϕ
= = ϕ
⎪
ϕ
=
=
+ϕ =
⋅
⋅
⋅
⎨
ϕ
=
= ϕ =
+ϕ =
+ϕ
⎪
⎩
∫
Находим угол поворота в точке D
3
3
3
3
6 10
11,75 10
6 10
5,75 10
.
D
C
p
p
p
p
GI
GI
GI
GI
⋅
⋅
⋅
⋅
ϕ = ϕ −
=
−
=
По полученным значениям строим эпюру углов закручивания Эϕ в долях от GI
p
(рис. 2.5).
2.2.1. Расчет на жесткость.
По условию жесткости, максимальный угол поворота не должен превышать допус-
каемый
[ ]
0,001рад/м
θ =
, т.е.
[ ]
max
.
ϕ
≤ θ
Из эпюры углов поворота, построенной в долях
от GI
p
, видно, что максимальный угол поворота находится в сечении С
3
max
11,75 10
.
p
GI
⋅
ϕ
=
Полярный момент сечения
4
,
32
p
d
I
π
=
откуда найдем диаметр стержня:
[ ]
3
3
4
4
9
11,75 10 32
11,75 10 32
196,6мм.
80 10 0,001
d
G
⋅
⋅
⋅
⋅
≥
=
=
π θ
π⋅ ⋅
⋅
Примем (из ряда Ra40 по ГОСТ 6636-86) d=200 мм.
Окончательно рассчитывая углы поворота в каждом сечении, получаем
0;
A
ϕ =
3
0,62 10 рад/м;
B
−
ϕ =
⋅
3
0,94 10 рад/м;
C
−
ϕ =
⋅
и
3
0,46 10 рад/м.
D
−
ϕ =
⋅
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
16
3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ БАЛОК И РАМ
3.1. Проектировочный расчет чугунной балки
3.1.1. Расчет геометрических характеристик поперечного сечения
Для заданной формы поперечного сечения балки (рис. 3.1, а) необходимо
определить положение центра тяжести сечения, положения главных центральных осей и
вычислить значения главных моментов инерции сечения в долях величины а.
а)
б)
Рис. 3.1
Свяжем с сечением систему координат X, Y (рис. 3.1, б). Разобьем фигуру на
составляющие: треугольник 1, прямоугольник 2 и два полукруга 3, 4. Определим для них
в выбранной системе координат положение центров тяжести С
1
, С
2
, С
3
, С
4
и значения их
площадей А
1
, А
2
, А
3
и А
4
.
Для треугольника 1:
1
0;
C
x =
1
5
2 5
9
20,67 ;
3
C
a
y
a
a
а
= ⋅ +
+
=
2
1
12 5
30 .
2
a a
A
a
⋅
=
=
Для прямоугольника 2:
2
0;
C
x =
2
2 5
9
9,5 ;
2
C
a
a
y
а
⋅ +
=
=
(
)
2
2
12
2 5
9
228 .
A
a
a
a
a
=
⋅ ⋅
+
=
Для полукругов 3 и 4:
3
12
4 9
4,09 ;
2
3 2
C
a
a
x
a
⎛
⎞
= −
− ⋅
= −
⎜
⎟
π
⎝
⎠
3
9
5
9,5 ;
2
C
a
y
a
а
=
+
=
( )
2
2
2
3
9
31,8 ;
8
8
a
d
A
a
π⋅
π
=
=
=
4
3
4,09 ;
C
C
x
x
a
= −
=
4
3
9,5 ;
C
C
y
y
а
=
=
2
4
3
31,8 .
A
A
a
=
=
Определим положение центра тяжести фигуры
1
1
,
n
Ci
i
i
C
n
i
i
x A
x
A
=
=
⋅
=
∑
∑
1
1
n
Ci
i
i
C
n
i
i
y A
y
A
=
=
⋅
=
∑
∑
.
В нашем случае суммирование ведется по четырем составляющим (n=4), тогда
(
)
(
)
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
2
2
2
2
1
2
3
4
0 0 4,09
31,8
4,09
31,8
0;
30
228
31,8
31,8
C
C
C
C
C
a
a
a
a
x A x
A x
A x
A
x
A A A A
a
a
a
a
+ −
−
+
−
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅
=
=
=
+ + +
+
−
−
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
17
(
)
2
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
2
2
2
1
2
3
4
20,67 30
9,5 228
2 9,5
31,8
11,22 .
30
228
2 31,8
C
C
C
C
C
a
a
a
a
a
a
y A y
A y
A y
A
y
a
A A A A
a
a
a
⋅
+
⋅
+ ⋅
−
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅
=
=
=
+ + +
+
− ⋅
Проведем через центр тяжести фигуры
(
)
,
C
C
C x y
оси x и y, которые являются
центральными, главными осями инерции. Вычислим осевой момент инерции составного
сечения
(
)
4
( )
2
1
i
xc
xci
i
i
n
I
I
a A
=
=
+ ⋅
∑
,
где
( )i
xci
I
– осевые моменты инерции составляющих фигур относительно своих
центральных осей x
ci
,
i
C
Ci
a
y
y
=
−
– расстояние между осями x
ci
и x. В данном случае
1
1
20,67 11,22
9,45 ;
C
C
a
y
y
a
a
a
=
=
=
−
=
2
2
11,22
9,5
1,72 ;
C
C
a
y
y
a
a
a
=
−
=
−
=
3
4
2
1,72 .
a
a
a
a
=
=
=
Вычислим значения осевых моментов инерции
(1)
1
xc
I ,
(2)
2
xc
I ,
(3)
3
xc
I и
(4)
4
xc
I :
3
(1)
4
1
12 (5 )
41,7 ;
36
xc
a a
I
a
⋅
=
=
3
(2)
4
2
12 (2 5
9 )
6859 ;
12
xc
a
a
a
I
a
⋅ ⋅ +
=
=
4
4
(3)
(4)
4
3
4
(9 )
161 .
128
128
xc
xc
d
a
I
I
a
π
π⋅
=
=
=
=
Таким образом, осевой момент инерции относительно главной центральной оси x:
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
41,7
(9,45 ) 30
6859
(1,72 ) 228
2 161
(1,72 ) 31,8
9541 .
xC
I
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⎡
⎤ ⎡
⎤
=
+
⋅
+
+
⋅
−
⎣
⎦ ⎣
⎦
⎡
⎤
− ⋅
+
⋅
=
⎣
⎦
3.1.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов.
Исходные данные для расчета чугунной балки показаны на рис. 3.2.
Разобьем стержень на участки AC, CD, BD и определим реакции в заделке R
B
и M
B
:
2
2
0:
0;
20 22 0,4 20 48,8кН;
y
B
B
F
R
P ql P
R
P ql P
Σ =
− −
− =
= +
+ =
=
+ ⋅
+
=
(
)
(
)
(
)
2
2
3
2
3
3
2
2
3
2
3
3
mom ( ) 0:
0;
2
2
16 20 0,4 0,5
0,4
22 0,4 0,5
20 0,5 18,16кНм.
2
B
i
B
B
F
l
M P l l
ql l
Pl M
l
M
M P l l
ql l
Pl
Σ
=
⎛
⎞
− +
+
+
+
+
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
= − +
+
+
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
= − +
+
+
⎛
⎞
+ ⋅
+
+ ⋅
=
⎜
⎟
⎝
⎠
Для построения эпюр внутренних
силовых
факторов,
возьмем
произвольные сечения z
1
, z
2
, z
3
в
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
18
Рис. 3.2
пределах выбранных участков.
На участке AB
(
)
1
1
0 z
l
≤ ≤
(рис. 3.3, а):
1
1
( ) 0;
( )
16кНм.
Q z
M z
M
=
=
=
На участке CD
(
)
2
2
0 z
l
≤
≤
(рис. 3.3, б):
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
0)
20кН;
( )
(
)
20 22 0,4
28,8кН;
(
0)
16кНм;
( )
0,4
2
(
)
16 20 0,4 22
6,24кНм.
2
2
Q z
P
Q z
P qz
Q z
l
P ql
M z
M
z
M z
M Pz qz
l
M z
l
M Pl q
= = − = −
⎧
= − −
=
⎨
=
= − −
= − − ⋅
= −
⎩
= =
=
⎧
⎪
=
−
−
=
⎨
=
=
−
−
= − ⋅
−
=
⎪
⎩
Функцией момента на данном участке является парабола, вторая производная от
которой отрицательна, следовательно, функция выпуклая.
На участке DB
(
)
3
3
0 z
l
≤
≤
(рис. 3.3, в):
3
3
3
3
3
3
3
( )
48,8кН;
(
0)
18,16кНм;
( )
(
)
18,16 48,8 0,5 6,24кНм.
B
B
B
B
B
B
Q z
R
M z
M
M z
M
R z
M z
l
M
R l
= −
= −
=
= −
= −
⎧
= −
+
=
⎨
=
= −
+
= −
+
⋅
=
⎩
По полученным значениям строим эпюры перерезывающих сил ЭQ и изгибающих
моментов ЭM (рис. 3.2).
3.1.3. Расчет на прочность.
Материал балки чугун, допускаемые напряжения для чугуна
[ ]
30...80МПа,
σ =
примем
[ ]
75МПа.
σ =
Условие прочности имеет вид
[ ]
max
max
max
,
xC
M
y
I
σ
=
≤ σ
где
max
σ
– максимальные напряжения возникающие в балке,
max
M
– максимальный
изгибающий момент,
max
y
– максимально удаленная точка по оси y от нейтральной линии
балки.
Высота сечения балки 24a, положение нейтральной оси относительно низа сечения
11,22
C
y
a
=
, следовательно, расстояние до максимально удаленной точки:
max
24 11,22
12,78 .
y
a
a
a
=
−
=
Максимальный изгибающий момент находится в сечении B –
max
18,16кНм.
M
=
Исходя из условия прочности, найдем параметр а:
[ ]
3
max
3
3
6
12,78
12,78 18,16 10
6,87мм.
9541
9541 75 10
M
a
⋅
⋅
=
=
=
σ
⋅ ⋅
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
19
а)
б)
в)
Рис. 3.3
3.2. Проверочный расчет балки из прокатных профилей.
3.2.1. Расчет геометрических характеристик сечения.
Исходные данные для расчета балки из прокатных профилей показаны на рис. 3.4.
Сечение балки изображено на рис. 3.5.
Рис. 3.4
Рассчитаем геометрические характеристики сечения. Осевой
момент инерции для профиля №8
4
89,4см
x
I =
(по ГОСТ 8240-89),
тогда для составного сечения
4
2
2 89,4см 178,8см .
x
x
I
I
Σ
=
= ⋅
=
Осевой момент сопротивления
3
22,4см
x
W =
(по ГОСТ 8240-
89), тогда для составного сечения
3
2
2 22,4 44,8см .
x
x
W
W
Σ
=
= ⋅
=
3.2.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов.
Найдем реакции в опорах А и В (рис. 3.4):
(
)
(
)
(
)
3
1
1
2
3
1
2
3
2
3
3
0:
0;
2
2
0,3
0,4
22 0,3
0,4 0,4
20 0,4 0,4
22 0,4
16
2
2
4,1кН.
0,3 0,4 0,4
B
A
A
l
l
M
R l l
l
ql
l
l
P l
l
ql
M
R
⎛
⎞
Σ
=
+ +
−
+ +
+
+
+
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⋅
+
+
−
+
−
⋅
+
⎜
⎟
⎝
⎠
=
=
+
+
Рис. 3.5
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
20
(
)
3
1
1
1
3
2
1
1
2
3
0:
0;
2
2
0,3
0,4
22 0,3
20 0,3 22 0,4
0,4 0,3 16
2
2
26,3кН.
0,3 0,4 0,4
A
B
B
l
l
M
ql
Pl ql
l
l
R l l
l
M
R
⎛
⎞
Σ
=
−
−
+ +
+
+ +
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
− ⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
=
=
+
+
Построим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов. Возьмем
произвольное сечение на первом участке АС (
1
1
0 z l
≤ ≤ ). Запишем уравнения для
перерезывающей силы и изгибающего момента в произвольном сечении в пределах этого
участка и рассчитаем их значения в характерных точках:
1
1
1
1
1
1
1
1
при
0: 4,1 0
4,1кН;
( )
при
0,3: 4,1 22 0,3 2,5кН.
при
0: 0кНм;
( )
0,3
2
при
0,3: 4,1 0,3 22 0,3
0,24кНм.
2
y
A
x
A
z
Q z
R
qz
z
z
z
M z
R z qz
z
=
−
+ = −
⎧
= − +
=
⎨
=
−
+ ⋅
=
⎩
=
⎧
⎪
= −
+
=
⎨
=
−
⋅
+ ⋅
= −
⎪
⎩
На данном участке перерезывающая сила меняет свой знак, поэтому функция
изгибающего момента, представляющая собой параболу, имеет экстремум в сечении
/
4,1/22 0,18м.
A
z R q
=
=
=
Величина изгибающего момента в данном сечении
0,18
4,1 0,18 22 0,18
0,38кНм.
2
M = − ⋅
+ ⋅
= −
Возьмем произвольное сечение на участке CD (
2
2
0 z
l
≤ ≤ ). На данном участке:
(
)
(
)
(
)
1
1
1
2
1
2
2
2
2
( )
4,1 22 0,3 20
17,5кН.
( )
2
0,3
при
0: 4,1 0,3 0 22 0,1
0
0
0,24кНм;
2
0,3
при
0,4: 4,1 0,3 0,4 22 0,1
0,4
20 0,4
7,24кНм.
2
y
A
x
A
Q z
R
ql P
l
M z
R l z
ql
z
Pz
z
z
= − +
− = − + ⋅
−
= −
⎛
⎞
= −
+
+
+
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
⎧
⎛
⎞
=
−
+ + ⋅
+ − = −
⎜
⎟
⎪
⎪
⎝
⎠
=
⎨
⎛
⎞
⎪
=
−
+
+ ⋅
+
− ⋅
= −
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎩
Для участка BD (
3
3
0 z
l
≤ ≤ ), уравнения имеют следующий вид:
3
3
3
3
3
3
3
3
при
0: 26,3 0
26,3кН;
( )
при
0,4: 26,3 22 0,4
17,5кН.
при
0: 16кНм;
( )
0,4
2
при
0,4: 26,3 0,4 22 0,4
16
7,24кНм.
2
y
B
x
B
z
Q z
R
qz
z
z
z
M z
R z qz
M
z
=
−
+ = −
⎧
= − +
=
⎨
=
−
+ ⋅
= −
⎩
=
−
⎧
⎪
=
−
−
=
⎨
=
⋅
− ⋅
− = −
⎪
⎩
По полученным значениям построим эпюры перерезывающих сил и изгибающих
моментов (рис. 3.4).
3.2.3. Расчет на прочность.
Материал швеллера Ст3. Допускаемые напряжения
[ ]
200МПа.
σ =
Рассчитаем
максимальные напряжения возникающие в балке, они находятся в сечении, где
изгибающий момент достигает наибольшего значения
max
16кНм
M
=
:
max
max
3
16кНм
357,14МПа.
44,8см
x
M
W
Σ
σ
=
=
=
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
21
Условие прочности имеет вид
[ ]
max
.
σ
≤ σ
Условие прочности не выполняется
[ ]
max
357,14МПа
200МПа.
σ
=
> σ =
Необходимо взять профиль больших размеров. Для
этого, исходя из условия прочности, определим необходимое минимальное значение
осевого момента сопротивления
3
max
max
16кНм
80см
200МПа
x
M
W
Σ
≥
=
=
σ
Выберем швеллер – ближайший из ряда швеллер №12,
3
50,6см
x
W =
,
тогда
3
2
2 50,6 101,2см .
x
x
W
W
Σ
=
= ⋅
=
Откуда
максимальные
напряжения
[ ]
max
3
16кНм
158,10МПа
200МПа
101,2 см
σ
=
=
< σ =
– условие прочности выполнено.
3.3. Расчет на жесткость балки из прокатных профилей.
Рис. 3.6
Исходные данные и расчетная схема балки из прокатных профилей представлена
на рис. 3.6. Возьмем произвольное сечение z, как показано на рисунке. При этом продлим
распределенную нагрузку на участке AC до конца балки, а ее действие на участке CB,
компенсируем аналогичной распределенной нагрузкой противоположного знака
(выделены на рисунке серым цветом). Составим уравнение упругой линии балки:
(
)
(
)
(
)
3
4
4
3
4
1
1
1
2
0
1
( )
.
3!
4!
3!
4!
4!
x
A
x
z l
z l
z l l
z
z
EI y z
y
z
R
q
P
q
q
EI
Σ
0
Σ
⎡
⎤
−
−
− −
= +θ +
−
+
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Начальными условиями будут прогиб в точке А –
0
0
A
y
y
=
= , а также прогиб в
точке B –
0.
B
y =
Чтобы определить начальный угол поворота
0
θ подставим в уравнение
1
2
3
z l l l
= + + , соответствующее
0
B
y = , откуда
0,063рад.
0
θ =
После подстановки всех
известных значений, уравнение упругой линии балки примет вид
(
)
(
)
(
)
3
4
4
3
4
( ) 0,063
1
0,683
0,917
3,333
0,3
0,917
0,3
0,917
0,7
.
2432
x
EI y z
z
z
z
z
z
z
Σ
=
+
⎡
⎤
+
−
+
−
−
−
−
−
−
⎣
⎦
Вычислим прогибы и углы поворота в сечениях A, C, D и B. В сечении D, прогиб
(
)
(
)
3
4
3
4
0,063 0,7
1
0,683 0,7 0,917 0,7 3,333 0,7 0,3
0,917 0,7 0,3
0,001м.
2432
x
D
EI y
Σ
=
⋅
+
⎡
⎤
+
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
−
⋅
−
=
⎣
⎦
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
22
Угол поворота
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
2
3
1
1
0
2
3
2
3
1
( )
2!
3!
2!
3!
1
0,063
2,05 0,7 3,667 0,7 10 0,7 0,3
3,667 0,7 0,3
0,002рад.
2432
x
D
A
x
z l
z l
z
z
EI Q z
R
q
P
q
EI
Σ
Σ
⎡
⎤
−
−
= θ +
−
+
−
−
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
=
+
−
⋅
+
⋅
−
−
−
−
= −
⎣
⎦
Аналогично рассчитываем перемещения и углы поворота в сечениях A, C и B, он
будут равны соответственно
0;
0,063рад;
A
A
y = θ =
0,001м;
0,059рад;
C
C
y =
θ =
и
0;
B
y =
0,188рад.
B
θ = −
Допускаемые перемещения и углы поворота в опорах определяются из условия
жесткости
[ ]
(
) (
)
(
)
[ ]
4
4
4
1,0 10
1,0 10
0,3 0,4 0,4 1,1 10 м;
0,001 0,005рад.
f
l
−
−
−
Σ
=
⋅
=
⋅
⋅
+
+
= ⋅
θ =
÷
Условие жесткости по перемещениям в сечениях C и D и по углам поворота на
опорах A и B не выполняется. Необходимо произвести мероприятия по увеличению
жесткости конструкции.
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
23
3.4. Проектировочный расчет на прочность плоской рамы
3.4.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов.
Исходные данные для расчета плоской рамы
представлены на рис. 3.7. Расчетная схема плоской
рамы также представлена на рис. 3.7. Определим
реакции, возникающие в заделке:
1
1
2
2
1
1
1
0:
0;
0:
0;
22 0,3 6,6кН;
0,3
0:
0;
22
0,99кНм.
2
2
2
Ax
Ay
Ay
x
A
A
X
R
Y
R
ql
R
ql
l
l
M
M
ql
M
q
Σ =
=
Σ =
−
=
=
=
⋅
=
Σ
=
−
=
=
=
⋅
=
Для построения эпюр внутренних силовых
факторов рассмотрим три произвольных сечения на
участках AB, BC и CD (рис. 3.8).
На участке АВ (
1
1
0 z l
≤ ≤ ) (рис. 3.8, а):
1
1
1
1
0: ( )
0;
0: ( )
6,6кН;
0:
( )
.
z
Ax
y
Ay
x
x
A
Ay
X
N z
R
Y
Q z
R
M
M z
M
R z
Σ =
=
=
Σ =
=
=
Σ
=
= −
+
Вычисляя значение момента в точках А и В,
получим
1
(
0)
0,99кНм
x
A
M z
M
= = −
= −
и
1
1
1
(
)
0,99 6,6 0,3 0,99кНм.
x
A
Ay
M z l
M
R l
=
= −
+
= −
+
⋅
=
На участке ВС
1
1
0
cos45
l
z
⎛
⎞
≤ ≤
⎜
⎟
⎝
⎠
(рис. 3.8, б):
(
)
2
2
2
1
2
0: ( )
cos45
cos45
0 6,6cos45 4,67кН;
0: ( )
cos45
cos45
0 6,6cos45
4,67кН;
0:
( )
cos45 .
z
Ax
Ay
y
Ax
Ay
x
x
A
Ay
X
N z
R
R
Y
Q z
R
R
M
M z
M
R l z
Σ =
= −
+
=
= +
=
Σ =
= −
−
=
= −
= −
Σ
=
= −
+
−
В точке В и С значение момента
(
)
(
)
2
1
2
(
0)
cos45
0,99 6,6 0,3 0
0,99кНм;
x
A
Ay
M z
M
R l z
= = −
+
−
=
= −
+
− =
(
)
1
1
2
1
(
)
cos45
cos45
cos45
0,99 6,6 0,3 0,3
0,99кНм;
x
A
Ay
l
l
M z
M
R
l
⎛
⎞
=
= −
+
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
= −
+
−
= −
На участке DC (
3
1
0 z
l
≤ ≤ ) (рис. 3.8, в):
3
3
3
3
3
3
0: ( ) 0;
0: ( )
;
0:
( )
.
2
z
y
x
x
X
N z
Y
Q z
qz
z
M
M z
qz
Σ =
=
Σ =
=
Σ
=
= −
В точке D и С значение перерезывающей силы и момента соответственно
3
(
0) 0;
y
Q z = =
3
(
0) 0;
x
M z = =
и
3
1
1
(
)
6,6кН;
y
Q z
l
ql
=
=
=
1
3
1
1
0,3
(
)
22 0,3
6,6кНм.
2
2
x
l
M z
l
ql
=
= −
= − ⋅
=
Рис. 3.7
а)
б)
в)
Рис. 3.8
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
24
По полученным значениям построим эпюры продольной силы, перерезывающей
силы и изгибающего момента (рис. 3.9).
Рис. 3.9
3.4.2. Расчет на прочность.
Рассчитаем диаметр стержней, исходя из условия прочности, при этом
max
0,99кНм
M
=
, материал стержня Ст3, допускаемые напряжения
[ ]
200МПа
σ =
, тогда
диаметр стержня:
[ ]
max
3
3
32
32 0,99
36,9мм.
200
M
d
⋅
≥
=
=
π σ
π⋅
Принимаем диаметр стержней по ряду Ra20, согласно ГОСТ 6636-86 d = 40 мм.
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
25
4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров А.В. Сопротивление материалов. –М.: Высшая школа, 2002.
2. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1986.
3. Гафаров Р.Х., Жернаков В.С. Что нужно знать о сопротивлении материалов? –
М.: Машиностроение, 2001.
4. Костенко Н.А. Сопротивление материалов. –М.: Высшая школа, 2004.
5. Писаренко Г.С. и др. Сопротивление материалов. – Киев: Вища школа, 1986.
6. Писаренко Г.С. и др. Справочник по сопротивлению материалов. – Киев:
Наукова думка, 1988.
7. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 2003.
Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
26
Информация о работе Расчет стержневых систем на прочность и жесткость