Магнитное поле в вакууме. Закон электромагнитной индукции. Ток смещения максвелла. Электромагнитные волны

 

4. Медный диск радиусом a = 10 см вращается в однородном магнитном поле, делая n = 100 оборотов в секунду. Индукция магнитного поля B = 1 Тл. Две щетки, одна на оси, другая на окружности, соединяют диск с внешней цепью, в которую включены резистор с сопротивлением R = 10 Ом и амперметр, сопротивлением которого можно пренебречь. Что показывает амперметр? [J » » 0.314 А]

 

5. Для демонстрации ребенку магнитного поля, создаваемого электрическим током, был построен игрушечный соленоид длиной l = 2 см имеющий N = 10 витков (намотанных на бумажный цилиндр диаметром 3.5 см). Соленоид питается от двух батареек с E = 4.5 В с внутренним сопротивлением r = 2 Ом каждая. Оценить время установления постоянного тока в соленоиде после замыкания цепи. [t = L/(R+r) » L/r » 3 мкГн/2 Ом = 1.5 мкс]

 

6. Оценить энергию соленоида предыдущей задачи в режиме установившегося в нем тока. [WL= LJ2/2 » 7.6´10-6 Дж]

 

7. Рассмотреть случай «мгновенного» отключения RL–цепочки от сети (возникновение разрыва в ней). Считать, что до этого RL–цепочка была подключена к «батарейке» с ЭДС E и что к моменту разрыва в ней уже установился ток J = E/R. [Наличие разрыва означает, что последовательно к резистору с сопротивлением R будет подключено чрезвычайно большое сопротивление воздушного промежутка между точками разрыва. Обозначим это сопротивление через R¥ >> R. Общее сопротивление цепи теперь будет определяться именно этим сопротивлением. Затухание тока теперь будет происходить по закону аналогичному на J(t) = J0 exp(– t/t), где t  = L/R (см. теоретическую часть), но с другой постоянной времени t’ = L/ R¥ << t : J(t) =  E/R exp(– t/t’). В результате  в цепи возникнет ЭДС самоиндукции (говорят еще – «противо – эдс.») Es = – L dJ/dt = L E/R (1/t’)exp(– t/t’) = (R¥/R) E exp(– t/t’), в начальные моменты времени значительно превосходящая E. Это может привести к возникновению дугового разряда в месте разрыва и оплавлению электродов выключателя, если именно им осуществлен разрыв цепи.]

 

8. Индуктивность большого электромагнита составляет L = 10 Гн. Ток в катушке достигает значений J = 100 А. Если попытаться прервать ток с помощью большого выключателя, то какой величины «протво – эдс» возникнет? Считать, что время выключения порядка 1 с (на самом деле оно значительно меньше). Оценить также энергию электромагнита. [|Es| = LDJ/Dt = 10 Гн´100 А/1 с = 1000 В. В действительности Dt будет гораздо меньше, а «протво – эдс» будет значительно больше. Энергия электромагнита L J2/2 = 50 000 Дж.]

 

 

4. Энергия магнитного поля

 

Энергия катушки индуктивности с коэффициентом самоиндукции L, по которой протекает электрический ток силой J, дается формулой WL = LJ2/2 . Запишем эту формулу иначе, учтя явные выражения для индуктивности L = m0 (N2 S/l) и индукции внутри нее B = m0 (N/l)J:

,   (5.4.1)

где V = Sl – объем внутренней части соленоида. Магнитное поле соленоида сосредоточено практически только внутри этого объема. С другой стороны, согласно (5.4.1) энергия катушки индуктивности пропорциональна этому объему. Это позволяет трактовать формулу (5.4.1) следующим образом: энергия катушки индуктивности есть энергия магнитного поля в ней. (Разумеется, для такой трактовки у физиков имеются значительно более веские основания.) Полная энергия магнитного поля есть

,     (5.4.2)

где

wm = B2/2m0 = m0 H2/2    (5.4.3)

есть объемная плотность магнитной энергии.

 

Задачи.

1. Оценить энергию магнитного поля Земли (порядка 50 мкТл) в 1 м3. [»10-3 Дж/м3]
2. Оценить энергию магнитного поля с индукцией B = 1 Тл в 1 см3. [» 0.4Дж/cм3]

 

 

5. Ток смещения Максвелла

 

Задачи.

1. (*) Воздушному конденсатору емкостью C с круглыми обкладками радиусом r0 сообщен заряд Q. Затем его пластины замкнули снаружи проводником с сопротивлением R, и конденсатор начал разряжается. Определить магнитное поле внутри конденсатора. [H(r,t) = – (Q/2SRC) exp(– t/RC) r]
2. (*) Конденсатор с круглыми обкладками разряжается за счет тока утечки в диэлектрической прослойке конденсатора. Определить магнитное поле внутри конденсатора. [0]

 

 

6. Свет как электромагнитная волна. Плоская электромагнитная волна. Шкала электромагнитных волн.

 

В бегущей в вакууме электромагнитной волне векторы и (или ) перпендикулярны друг другу, а вместе с вектором, указывающем направление распространения волны, образуют правую тройку. Это означает, что если в некоторый момент времени вектор электрического поля направлен, например, вдоль положительного направления оси X, а вектор магнитного поля – вдоль положительного направления оси Y, то волна распространяется вдоль положительного направления оси Z. Векторы и (и ) изменяются со временем синфазно.

В плоской электромагнитной волне, распространяющейся вдоль оси Z, зависимости полей от координаты z и времени даются формулами:

     (5.6.1)

и

,     (5.6.2)

где k – так называемый волновой вектор (или волновое число), связанный с длиной волны соотношением

k = 2p/l.      (5.6.3)

Круговая частота w связанна с обычной частотой n соотношением

w = 2pn.      (5.6.4)

Частота n дает число колебаний любого из векторов или (или ) в волне в единицу времени, т.е. – за одну секунду. Она связана с периодом колебаний формулой

n = 1/T.      (5.6.5)

Длина волны

l = с T,      (5.6.6)

где с – скорость света. В вакууме она равна

3´108 м/с, или 300 000 км/с.   (5.6.7)

Величины векторов и в электромагнитной волне не независимы; в вакууме они связаны соотношением

.      (5.6.8)

Электромагнитная волна как комбинация электрического и магнитного полей обладает энергией. Последняя складывается из энергии электрического и магнитного. Объемная плотность энергии

. (5.6.9)

Бегущая электромагнитная волна переносит энергию. Плотность потока энергии в волне дается формулами

.    (5.6.10)

С бегущей электромагнитной волной связан также перенос импульса, поэтому ЭМ волна оказывает давление на преграды. Если волна, падающая перпендикулярно на преграду, целиком поглощается ею, то давление, оказываемое волной на преграду, будет равно w, плотности энергии в волне. При полном отражении от преграды, давление будет в 2 раза больше.

Световые волны – это электромагнитные волны с длинами волн от примерно 0.4 мкм (фиолетовый свет) до примерно 0.8 мкм (красный свет).

 

Задачи.

1. Зеленый свет характеризуется длиной волны l = 0.55 мкм. Какое время длится одно колебание магнитного вектора в волне? Сколько колебаний в секунду совершает электрический вектор в волне? [T = 1.67´10-15 с, n = 6´1014 Гц]

 

2. Для систем с сотовой связью выделено несколько диапазонов на дециметровых волнах. На каких примерно частотах работают ваши мобильные телефоны? [Если принять l = 10 см ¸ 1 м, то n = (3´108 ¸3´109 )Гц, т.е. от 300 МГц до 3 ГГц; при этом меньшая частота 300 МГц соответствует большей длине волны 1 м]

 

3. Солнечной постоянной называют количество энергии, поступающее от Солнца на 1 м2 земной поверхности, перпендикулярно ей, за 1 с. Она приблизительно равна S = 1.35 кВт/м2. Оценить среднеквадратичные значения: а) напряженности электрического поля, б) напряженности магнитного поля, в) индукции магнитного поля в световой волне и г) объемную плотность энергии в волне.

Решение. а) » 710 В/м, б) » 1.9 А/м, в) » 2.4´10-6 Тл, г) w = S/c = = 4.5´10-6 Дж/м3.

 

4. Оценить среднеквадратичные значения: а) напряженности электрического поля, б) напряженности магнитного поля, в) индукции магнитного поля и г) объемную плотность энергии в световой волне, идущей от 100-ваттной лампочки на расстоянии 3 м от нее в видимом диапазоне. КПД лампочки (доля общей мощности лампочки переходящей в видимое излучение) считать равным 2.5%. Лампочку считать точечным источником света, излучающим равномерно по всем направления. [Sвидим. » 0.02 Вт/м2, а) E » 3 В/м, б) H » 0.008 А/м, в) B » 10-8 Тл, г) w » 10-10 Дж/м3]

 

5. Какое давление оказывает солнечный свет на зеркальце при нормальном падении на него света? Сравнить это давление с атмосферным (при нормальных условиях). Солнечную постоянную принять равной 1.35 кВт/м2. [P = 2w = 2S/c = 0.9´10-5 Па; атмосферное давление равно примерно 10+5 Па, т.е. на 10 порядков больше]