Ленгмюровские волны в плазме

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

 

 

 

РЕФЕРАТ ПО ФИЗИКЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема № 72

 

                       «Ленгмюровские волны в плазме»

 

 

                                                                 

                                                                   Студента 4 курса 3 группы 
                                                                      кафедры физической оптики

Горелика Ивана Геннадьевича

 

 

 

 

 

 

                                              Руководитель: 
                                                                        к. ф.-м. н., ст. преподаватель

                                           Леонов А.В. 

 

 

 

 

 

 

Минск 2012

 

                                           Содержание

 

 

 

         Ленгмюровские колебания и волны в плазме. Плазмоны                       3

 Ионные ленгмюровские волны                                                                     7

 Список используемой литературы                                                               9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ленгмюровские колебания  и волны в плазме. Плазмоны.

Рассмотрим закон дисперсии высокочастотных продольных плазменных волн с частотой  

                                                ,                                                 (1)

где – заряд электрона, m – масса электрона, - концентрация электронов. Эти волны известны как ленгмюровские волны и представляют собой важнейший тип возмущений, способных существовать и распространяться в плазме.

Закон дисперсии  продольных волн определяет уравнение

,

в которое следует  подставить продольную компоненту диэлектрической  проницаемости. Если плазму считать  холодной, то диэлектрическую проницаемость  следует определять по формуле             

,                               (2),

и мы приходим к  уравнению

Оно имеет два  решения, отличающиеся знаком. Положительный  корень равен

        (3)

Как мы видим, в  рассматриваемом случае частота  волны совпадает с ленгмюровской  частотой и не зависит от величины волнового числа. Фазовая скорость таких волн

                                   (4)

уменьшается с  увеличением волнового числа, а  групповая скорость оказывается  равной нулю:

      (5)

Таким образом, в холодной плазме ленгмюровские  волны не могут переносить энергию: фактически это обычные колебания  плотности заряда, возникающие вследствие нарушения квазинейтральности плазмы. Если же мы учтем теперь тепловое движение частиц плазмы, то ситуация изменится кардинально. Диэлектрическую проницаемость определяет теперь формула    (6)

 

 и дисперсионное уравнение для продольных волн становится таким:

или

   (7)

Это уравнение  несложно решить в общем виде. Но в интересующей нас сейчас высокочастотной  области следует учесть, что ионы плазмы можно считать неподвижными, а потому их вклад в диэлектрическую проницаемость будет пренебрежимо малым. Формально это отвечает пределу , и уравнение (7) упрощается:

Теперь его  уже не сложно решить, и мы, вновь выбирая положительный корень, получаем:

    (8)

Это соотношение  и определяет закон дисперсии  ленгмюровской волны в плазме с конечной температурой.

Любопытно отметить, что это соотношение по виду оказывается  вполне аналогичным известной формуле, определяющей связь энергии и импульса релятивистской частицы:

По этой причине  о законе дисперсии (7) говорят как о «частице-подобном», а ленгмюровские волны в этом плане являются «квазичастицами», которые принято называть плазмонами. [3]

Полезно отметить также, что закон дисперсии (7) можно записать в виде:

      (9)

Второе слагаемое  под корнем будет больше или порядка  единицы, когда длина волны меньше дебаевского радиуса. В этом случае ленгмюровская волна сильно поглощается  за счет механизма бесстолкновительного поглощения Ландау, так как оказывается  резонансной по отношению к электронам плазмы,

_{νф= νТе}

По этой причине  ленгмюровские волны могут существовать в плазме без существенного поглощения лишь в обратном пределе, когда их длина волны меньше дебаевского  радиуса. В этом случае в (9) второе слагаемое под корнем можно считать малым и разложить по этой малости:

Аналогия с  энергией частицы опять остается в силе, но теперь в нерелятивистском пределе, когда энергия связана с импульсом следующим образом:

В области частот ленгмюровских волн гидродинамическое описание, следствием которого фактически является закон (9), будет адекватным при выборе

Подставив это  значение в (9), получим окончательно

   (10)

Именно об этом соотношении и говорят обычно как о законе дисперсии ленгмюровских волн в плазме. Строго говоря, он справедлив лишь при выполнении сильного неравенства .

Однако качественно закон дисперсии (10) остается в силе и при выполнении более мягкого условия, когда длина волны составляет несколько слагаемое в скобках в формуле (10) принято называть тепловой поправкой.  Учет этой поправки приводит к тому, что групповая скорость ленгмюровской волны, в отличие от случая холодной плазмы, становится ненулевой (см. рис.1):

 (11)

фазовая же скорость приближенно определяется формулой

   (12)

При учете теплового  движения частиц ленгмюровские волны  получают возможность распространяться в плазме, перенося энергию.[2]

 

 

 

 

 

Ионные ленгмюровские  волны.

Возврвщаемся вновь к дисперсионному уравнению (7). Для рассмотренных выше ленгмюровских волн групповая и фазовая скорости удовлетворяют неравенству

Теперь рассмотрим возможность  распространения в плазме волн, фазовая  скорость которых значительно меньше тепловой скорости электронов:

Если это условие  выполнено, то в уравнении (7) в знаменателе второго слагаемого можно опустить и тогда это уравнение приводится к виду:

Теперь уже не сложно найти интересующее нас решение:

Учтем теперь, что по определению  соответствующих величин имеет  место соотношение:

Тогда полученный нами результат  можно записать в виде

         (13)

 

Для коротких волн, когда длина волны меньше электронного дебаевского радиуса, знаменатель во втором слагаемом примерно равен единице, и мы получаем:

  (14)

Частота этих волн оказывается  порядка ионной ленгмюровской частоты. По аналогии с (8), эти волны называют ионными ленгмюровскими волнами. Как правило, если температура ионов не мала, они сильно затухают в плазме, так как оказываются резонансными по отношению к ионам.[1,2]

 

Мы рассмотрели самые  простые дисперсионные уравнения  для ленгмюровских волн в плазме. Для удобства, наиболее важные из них сведены в таблицу 1.

 

 

 

Таблица 1

Тип волны	Закон дисперсии	Фазовая скорость	Групповая скорость	Примечание
Эл. ленгмюров-ская волна в холодной плазме			0
Эл. ленгмюров-ская волна  в  теплой плазме

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы:

1. Кингсеп А.С.  Введение в нелинейную физику  плазмы. М: Изд-во. МФТИ. 1996.

2. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат. 1973.

3. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М: Наука. 1976.