Электростатика

 

 

 

Эти уравнения более общи, чем уравнения (5) и (7). Они относятся к случаю каких угодно изотропных изолирующих сред. Функция V, являющаяся общим интегралом уравнения (14) и удовлетворяющая вместе с этим уравнению (15) для всякой поверхности, которая отделяет собой две диэлектрические среды с диэлектрическими коэффициентами K₁ и K₂, а также условию V = пост. для каждого, находящегося в рассматриваемом электрическом поле проводника, представляет собой потенциал в точке (x, у, z). Из выражения (13) также следует, что кажущееся взаимодействие двух зарядов q и q₁, находящихся в двух точках, расположенных в однородной изотропной диэлектрической среде на расстоянии r друг от друга, может быть представлено формулой

 

 

т. е. это взаимодействие обратно пропорционально квадрату расстояния, как это должно быть согласно закону Кулона.

 

Из уравнения (15) мы получаем для проводника:

 

 

 

 

Формулы эти более общие, чем вышеприведенные (9), (10) и (12).

 

представляет собой выражение потока электрической индукции через элемент dS. Проведя через все точки контура элемента dS линии, совпадающие с направлениями F в этих точках, мы получаем (для изотропной диэлектрической среды) трубку индукции. Для всех сечений такой трубки индукции, не заключающей внутри себя электричества, должно быть, как это следует из уравнения (14),

 

KFCos ε dS = пост.

 

Не трудно доказать, что если в какой-либо системе тел электрические заряды находятся в равновесии, когда плотности электричества соответственно суть σ₁ и ρ₁ или σ₂ и ρ₂, то заряды будут в равновесии и тогда, когда плотности будут σ = σ₁ + σ₂ и ρ = ρ₁ + ρ₂  (принцип сложения зарядов, находящихся в равновесии). Равным образом легко доказать, что при данных условиях может быть только одно распределение электричества в телах, составляющих собой какую-либо систему.

 

Весьма важным оказывается свойство проводящей замкнутой поверхности, находящейся в соединении с землёй. Такая замкнутая поверхность является экраном, защитой для всего пространства, заключённого внутри неё, от влияния каких угодно электрических зарядов, расположенных с внешней стороны поверхности. Вследствие этого электрометры и другие измерительные электрические приборы окружаются обыкновенно металлическими футлярами, соединяемыми с землёй. Опыты показывают, что для таких электрических экранов нет надобности употреблять сплошной металл, вполне достаточно эти экраны устраивать из металлических сеток или даже металлических решёток.

 

Система наэлектризованных тел обладает энергией, т. е. обладает способностью совершить определённую работу при полной потере своего электрического состояния. B электростатике выводится следующее выражение для энергии системы наэлектризованных тел:

 

 

В этой формуле Q и V обозначают соответственно какое-либо количество электричества в данной системе и потенциал в том месте, где находится это количество; знак ∑ указывает, что надо взять сумму произведений VQ для всех количеств Q данной системы. Если система тел представляет собой систему проводников, то для каждого такого проводника потенциал имеет одну и ту же величину во всех точках этого проводника, а потому в данном случае выражение для энергии получает вид:

 

 

Здесь 1, 2.. n суть значки разных проводников, входящих в состав системы. Это выражение может быть заменено другими, а именно, электрическая энергия системы проводящих тел может быть представлена или в зависимости от зарядов этих тел, или же в зависимости от потенциалов их, т. е. для этой энергии могут быть применены выражения:

 

 

 

В этих выражениях различные коэффициенты α и β зависят от параметров, определяющих собой положения проводящих тел в данной системе, а также формы и размеры их. При этом коэффициенты β с двумя одинаковыми значками, как то β₁₁, β₂₂, β₃₃ и т. д. представляют собой электроемкости (см. Электроёмкость) тел, отмеченных этими значками, коэффициенты β с двумя различными значками, как то β₁₂, β₂₃, β₂₄, и т. д., представляют собой коэффициенты взаимной индукции двух тел, значки которых стоят у данного коэффициента.

 

Имея выражение электрической энергии, мы получаем выражение для силы, какую испытывает какое-либо тело, значок которого i, и от действия которой параметр s_i, служащий для определения положения этого тела, получает приращение. Выражение этой силы будет

 

 

или

 

 

Электрическая энергия может быть представлена ещё иначе, а именно, через

 

 

В этой формуле интегрирование распространяется по всему беспредельному пространству, F обозначает величину электрической силы, испытываемой единицей положительного электричества в точке (x, у, z), т. е. напряжение электрического поля в этой точке, а K обозначает диэлектрический коэффициент в этой же точке. При таком выражении электрической энергии системы проводящих тел эту энергию можно рассматривать распределенной только в изолирующих средах, причём на долю элемента dxdyds диэлектрика приходится энергий . Выражение (26) вполне соответствует взглядам на электрические процессы, которые были развиваемы Фарадеем и Максвеллом.

 

 

4. Формула Грина

 

Чрезвычайно важной формулой в электростатике является формула Грина, а именно:

 

 

В этой формуле оба тройные интеграла распространяются на весь объём какого-либо пространства А, двойные — на все поверхности, ограничивающие это пространство, ∆V и ∆U обозначают суммы вторых производных от функций V и U по x, у, z; n — нормаль к элементу dS ограничивающей поверхности, направленную внутрь пространства A.

 

 

5. Примеры

 

5.1. Пример 1

 

Как частный случай формулы Грина получается формула, выражающая вышеприведенную теорему Гаусса. В Энциклопедическом Словаре не уместно касаться вопросов о законах распределения электричества на различных телах. Эти вопросы представляют собой весьма трудные задачи математической физики и для решения такой задачи употребляются различные способы. Приведем здесь только для одного тела, а именно, для эллипсоида с полуосями а, b, с, выражение поверхностной плотности электричества σ в точке (x, у, z). Мы находим:

 

 

Здесь Q обозначает все количество электричества, находящееся на поверхности этого эллипсоида. Потенциал такого эллипсоида в какой-нибудь точке его поверхности, когда вокруг эллипсоида находится однородная изотропная изолирующая среда с диэлектрическим коэффициентом K, выражается через

 

 

Электроёмкость эллипсоида получится из формулы

 

 

 

5.2. Пример 2

 

Пользуясь уравнением (14), полагая только в нём ρ = 0 и K = пост., и формулой (17), мы можем найти выражение для электроёмкости плоского конденсатора с охранным кольцом и охранной коробкой, изолирующей слой в котором имеет диэлектрический коэффициент K. Это выражение имеет вид

 

 

Здесь S обозначает величину собирательной поверхности конденсатора, D — толщину изолирующего слоя его. Для конденсатора без охранного кольца и охранной коробки формула (28) будет давать только приближенное выражение электроёмкости. Для электроемкости такого конденсатора дана формула Кирхгофом. И даже для конденсатора с охранными кольцом и коробкой формула (29) не представляет вполне строгого выражения электроемкости. Максвелл указал ту поправку, какую надо сделать в этой формуле, чтобы получить более строгий результат.

 

Энергия плоского конденсатора (с охранными кольцом и коробкой) выражается через

 

 

Здесь V₁ и V₂ суть потенциалы проводящих поверхностей конденсатора.

 

 

5.3. Пример 3

 

Для сферического конденсатора получается выражение электроемкости:

 

 

в котором R₁ и R₂ обозначают соответственно радиусы внутренней и внешней проводящей поверхности конденсатора. При помощи выражения для электрической энергии (формула 22) нетрудно устанавливается теория абсолютного и квадрантного электрометров (см. Электрометры).

 

6. Диэлектрическая проницаемость

 

Нахождение величины диэлектрического коэффициента K какого-либо вещества, коэффициента, входящего почти во все формулы, с которыми приходится иметь дело в электростатике, может быть произведено весьма различными способами. Наиболее употребительные способы суть нижеследующие.

 

1) Сравнение электроёмкостей двух конденсаторов, имеющих одинаковые размеры и форму, но у которых у одного изолирующим слоем является слой воздуха, у другого — слой испытуемого диэлектрика.

 

2) Сравнение притяжений между поверхностями конденсатора, когда этим поверхностям сообщается определённая разность потенциалов, но в одном случае между ними находится воздух (сила притяжения = F₀), в другом случае — испытуемый жидкий изолятор (сила притяжения = F). Диэлектрический коэффициент находится по формуле:

 

 

3) Наблюдения электрических волн (см. Электрические колебания), распространяющихся вдоль проволок. По теория Максвелла скорость распространения электрических волн вдоль проволок выражается формулой

 

 

в которой K обозначает диэлектрический коэффициент среды, окружающей собой проволоку, μ обозначает магнитную проницаемость этой среды. Можно положить для огромного большинства тел μ = 1, а потому получается

 

 

Обыкновенно сравнивают длины стоячих электрических волн, возникающих в частях одной и той же проволоки, находящихся в воздухе и в испытуемом диэлектрике (жидком). Определив эти длины λ₀ и λ, получают K = λ₀²/ λ 2. По теории Максвелла следует, что при возбуждении электрического поля в каком-либо изолирующем веществе внутри этого вещества возникают особые деформации. Вдоль трубок индукции изолирующая среда является поляризованной. В ней возникают электрические смещения, которые можно уподобить перемещениям положительного электричества по направлению осей этих трубок, причём через каждое поперечное сечение трубки проходит количество электричества, равное

 

 

Теория Максвелла даёт возможность найти выражения тех внутренних сил (сил натяжения и давления), которые являются в диэлектриках при возбуждении в них электрического поля. Этот вопрос был впервые рассмотрен самим Максвеллом, а позже и более обстоятельно Гельмгольцем ^[4]. Дальнейшее развитие теории этого вопроса и тесно соединённой с этим теории электрострикции (т. е. теории, рассматривающей явления, зависящие от возникновения особых напряжений в диэлектриках при возбуждении в них электрического поля) принадлежит работам Лорберга, Кирхгофа, П. Дюгема, Н. Н. Шиллера и некоторых др.

 

 

6.1. Граничные условия

 

Закончим краткое изложение наиболее существенного из отдела электрострикции рассмотрением вопроса о преломлении трубок индукции. Представим себе в электрическом поле два диэлектрика, отделяющихся друг от друга какой-нибудь поверхностью S, с диэлектрическими коэффициентами К₁ и К₂.

 

Пусть в точках Р₁ и Р₂, расположенных бесконечно близко к поверхности S по ту и по другую её сторону, величины потенциалов выражаются через V₁ и V₂, а величины сил, испытываемых помещенной в этих точках единицей положительного электричества чрез F₁ и F₂. Тогда для точки Р, лежащей на самой поверхности S, должно быть V₁ = V₂,

 

 

если ds представляет бесконечно малое перемещение по линии пересечения касательной плоскости к поверхности S в точке Р с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в этой точке и через направление электрической силы в ней. С другой стороны, должно быть

 

 

Обозначим через ε₂ угол, составляемый силой F2 с нормалью n2 (внутрь второго диэлектрика), и через ε₁ угол, составляемый силой F₁ с той же нормалью n₂ Тогда, пользуясь формулами (31) и (30), найдем

 

 

Итак, на поверхности, отделяющей друг от друга два диэлектрика, электрическая сила претерпевает изменение в своём направлении подобно световому лучу, входящему из одной среды в другую. Это следствие теории оправдывается на опыте.

 

 

Литература

 

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II).

• Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983.

• Тоннела М.-А. Основы электромагнетизма и теории относительности. Пер. с фр. М.: Иностранная литература, 1962. 488 с.

• Боргман, «Основания учения об электрических и магнитных явлениях»;