Физика колебаний и волн. Квантовая физика

Физика колебаний и волн. 
Квантовая физика.

 

 

 

      Лекция № 1

 

1. Общие представления о волновых процессах. Волновое движение.

2.  Упругие  и электромагнитные волны  и  их  характеристики.

 2.   Энергия, поток  энергии  в  упругой и электромагнитной волне.

 3.   Поляризация. Скорость электро-магнитных волн. Дисперсия.

 

 

 Виды и признаки колебаний

 

 

      В физике особенно выделяют колебания двух видов – механические и электромагнитные и их электромеханические комбинации, поскольку они чрезвычайно актуальны для жизнедеятельности человека.

      Для колебаний характерно превращение одного вида энергии в другую – кинетической в потенциальную, магнитной в электрическую и т.д.

      Колебательным движением (или просто колебанием) называются процессы, повторяющиеся во времени.

      Существуют общие закономерности этих явлений.

Распространение волн в упругой  среде

 

Колеблющиеся тело, помещенное в упругую среду, является источником колебаний, распространяющихся от него во все стороны.  

 

     Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником

 

     Генерация акустической волны

               громкоговорителем.

 

     Процесс распространения колебаний в пространстве

                                      называется волной.

При распространении волны, частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вместе с волной от частицы к частице, передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества.

 

 

 

Волны бывают поперечными (колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения), и продольными (сгущение и разряжение частиц среды происходят в направлении распространения).

 

  Процесс распространения 

продольной упругой волны

 

 В поперечной волне колеба-ния происходят в направлении, перпендикулярном направле-нию распространения волны

   Если взаимосвязь между частицами среды осуществляется силами упругости, возникающими вследствие деформации среды при передаче колебаний от одних частиц к другим, то волны называются упругими (звуковые, ультразвуковые, сейсмические и др. волны). Упругие поперечные волны возникают в среде, обладающей сопротивлением  сдвигу,   

       вследствие этого:

    в жидкой и газообразной средах возможно возникновение  только  продольных  волн;

    в твердой среде возможно возникновение  как продольных, так и поперечных  волн.

 

   Движение молекул в волне на поверхности жидкости

                      У поверхностных волн взаимосвязь между соседними молекулами при передаче колебаний осуществляется не силами упругости, а силами поверхностного натяжения и тяжести. В случае малой амплитуды волны каждая молекула движется по окружности, радиус которой убывает с расстоянием от поверхности. Нижние молекулы находятся в покое

 

Волна на поверхности жидкости – суперпозиция продольного и поперечного движения молекул

Наложение продольной и поперечной волн равной амплитуды, сдвинутых по фазе на π/2.

В результате каждая масса  совершает круговые движения.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны :

 

– скорость распространения  волны.

 

– период,

 

 – частота.

 

  В среде без дисперсии скорость распространения волны            есть  фазовая скорость или  скорость распространения поверхности постоянной фазы.

 

Волновая функция

Фазовая скорость

 

– это скорость распространения фазы волны.

 

– скорость распространения фазы есть

   скорость распространения волны.

 

    Для синусоидальной волны скорость переноса

энергии равна фазовой скорости.

 

12

•      Фронт волны – геометрическое место точек, до которых доходит возмущение в момент времени  t :  это та поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.               (В однородной среде направление распространения перпендикулярно фронту волны )

 

 

 

 

 

 

•    Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.
•   Число волновых поверхностей – бесконечно.
•    Фронт волны – один.
•    Волновые поверхности неподвижны,
•    Фронт волны все время перемещается

В зависимости от формы волновой поверхности различают

• плоские волны:  волновые
• поверхности – параллель-
• ные плоскости:

 

 

• сферические волны:  волновые
• поверхности – концентрические
• сферы.

 

Уравнение плоской волны

 

Найдем вид волновой функции,  в случае плоской волны предполагая, что колебания носят гармонический характер:

 

Чтобы пройти путь  x необходимо время:

 

– это уравнение плоской волны

(смещение частиц в волне).

 

Пусть 

Упругие волны

 

Функция                 представляет собой зависимость смещения  точек с различными значениями       .    от положения равновесия.

 

 - это расстояние от источника колебаний  , на котором находится, например,частица    .

 

Рисунок дает мгновенную картину распределения возмущений вдоль  направления распространения волны.

 

Расстояние       , на которое распространяется волна за время, равное периоду         колебаний частиц среды, называется длиной волны:

 

где     - скорость распространения волны.

Введем волновое число

 

или в векторной форме волновой вектор: 

 

Длина волны:

 

, то

 

 Фазовая  скорость:

 

 Тогда уравнение плоской волны запишется:

 

Скорость смещения частиц в упругой волне будет:

 Процесс распространения  продольной упругой волны

Уравнение сферической волны

 

Амплитуда колебаний

 

убывает по закону

 

Уравнение сферической волны:

 

или

 

Пусть начальная фаза

 

При поглощении средой энергии волны:

 

β – коэффициент затухания.

Волновое уравнение

 

        Распространение волн в однородной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных (скалярное волновое уравнение):

 

или

 

       Всякая функция, удовлетворяющая этому  уравнению, описывает некоторую волну, причем

       -фазовая скорость волны.

   Решением волнового уравнения

 

является уравнение  любой волны, например:

 

сферической:

 

или  плоской :

 

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение упрощается:

 

 

 

 где                                              -  оператор Лапласа.

 

 

 

 

                                                       

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 Упругие волны

 

Рассмотрим продольную плоскую  волну в твердой среде:

 

Деформация среды в плоскости х:

(взят символ частной  производной, 

т.к.     = s = s(x,t))

Нормальное напряжение

пропорционально деформации

(для малых деформаций):

где Е – модуль Юнга среды.

• В положениях максимального отклонения частиц от положения равновесия (∂s/∂x = 0) ε = 0,  σ = 0
• В местах прохождения частиц через положения равновесия                       ε, σ - максимальны       (с чередованием ±ε, т.е. растяжений и сжатий)

       Скорость продольной упругой волны связана с характеристиками среды следующим образом:

 

 

 

Скорость поперечной

                            волны

 

 

 где  ρ – плотность среды,

Е – модуль  Юнга.

 

 где  G – модуль сдвига.

 

Плотность энергии упругой волны (как поперечной, так и продольной) в каждый момент времени в разных точках пространства различна:

Интенсивностью   I   акустической (звуковой) волны (силой звука) называется среднее количество энергии переносимой  волной  за  единицу  времени  сквозь ед. площади, нормальной  к направлению распростр. волны:

 

- для плоской волны 

 

где  υ – скорость  звуковой волны, 

 

-  средняя объёмная плотность энергии

 

Сила звука - средняя плотность потока энергии в плоской волне.

    Величина   I  представляющая  собой плотность потока  энергии акустических волн, имеет  определённое направ-

ление, совпадающее  с  направлением  движения  волны, и называется  вектором  Умова:

 

 

Связь  вектора  Умова с интенсивностью I :

 

где        -  вектор скорости распространения волны.

Возможность существования электромагнитных волн предсказывал еще Майкл Фарадей в 1832 г., обобщая известные к тому времени данные по изучению электричества и магнетизма.

Теоретически обосновал это предположение Дж. Максвелл. С этим обоснованием мы познакомились в прошлом семестре.

 

Электромагнитные волны

                                    Самым  большим  научным

                             достижением Максвелла является созданная им в 1860 – 1865 теория электромагнитного поля, которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений (уравнения Максвелла), выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений.

 

Максвелл Джеймс Клерк           (1831 – 1879) –  английский физик, член Эдинбургского (1855) и Лондонского (1861) королевских обществ с 1871 г.

Работы посвящены электро-динамике, молекулярной физике, общей статистике, оптике, механике, теории упругости.

Герц Генрих Рудольф (1857 – 1894) – немецкий физик. Окончил Берлинский университет (1880 г.) и был ассистентом у Г. Гельмгольца. В 1885 – 89 гг. – профессор Высшей технической школы в Карлсруэ. Основные работы относятся к электродинамике, одним из основоположников которой он является, и механике.

 

 

В 1888г. экспериментально доказал существование электромагнитных волн, распространяющихся в свободном пространстве, предсказанных теорией Максвелла. Экспериментируя с электромагнитными волнами, наблюдал их отражение, преломление, интерференцию, поляризацию. Установил, что скорость распространения электромагнитных волн равна скорости света. В 1887 наблюдал внешний фотоэффект. Исследования Герца посвящены также катодным лучам, теории удара упругих тел и т. п.

Вибратор Герца имел несколько модификаций.

Вибратор

 

Резонатор

 

   Вибратор Герца                                             и   приемник.

Электромагнитные волны  распространяются в пространстве, удаляясь от вибратора во все стороны.

    1. В любой точке векторы напряженности электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения  , т.е. образуют правовинтовую систему:

 

 2. Поля изменяют свое направление в простра-нстве: в одних точках вектор        направлен к плоскости страницы , в других – от нее;   аналогично ведет себя и вектор      .

 

3. Электрическое и магнитное поля находятся в фазе, т.е. они достигают максимума и обращаются в нуль в одних и тех же точках.

•       ЭМВ  представляют собой поперечные волны и аналогичны другим типам волн.
•        Однако в ЭМВ происходят колебания полей, а не вещества, как в случае волн на воде или в натянутом шнуре.

 

• Движущийся с ускорением электрический заряд испускает электромагнитные волны.