Физика балета

Plie исполняется на пяти позициях; сначала оно делается на demi plie, или большое приседание.

При выполнение плие в балетных школах соблюдают следующие: распределение  тяжести тела не только равномерно на обе ноги, но и на обе ступни. [Приложение, Рисунок 8 стр. 32]. То есть, другими словами, соблюдают равновесие.

Выясним, что значит равновесие в  балете с точки зрения физики.

Система находится в положении механического равновесия, когда сумма всех сил, действующих на каждую её частицу, равна нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно оси вращения, проходящей через любую точку O, равна нулю.

 

 

 

 

 

 Такое определение ограничивает как поступательное движение тела, так и вращательное.

При равновесии тело находится в  покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета.

Однако такое определение неприменимо  в механике сплошной среды, где принимается гипотеза сплошности. К тому же данное определение ничего не говорит об одной из наиболее важных характеристик — его устойчивости.

Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

< 0: потенциальная энергия находится  в состоянии локального максимума, это означает, что положение равновесия неустойчиво. Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему.

= 0: в этой области энергия  не варьируется, а положение  равновесия является безразличным. Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении.

> 0: потенциальная энергия в  состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво. Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия.

Во время совершения плие, балерина или артист балета сжимает свои мышцы, то есть происходит деформация мышц.

Деформация – изменение размеров, формы и конфигурации тела в результате действия внешних или внутренних сил (от лат. deformatio – искажение).

Тела деформируются под действием  приложенных к ним сил, под  влиянием изменения температуры, влажности, химических реакций, облучения нейтронами (в данном случае мышцы деформируются  под действие силы).  Проще всего  понять деформацию под действием сил – часто их называют нагрузками: балка, закрепленная по концам на опорах и нагруженная в середине, изгибается – деформация изгиба; при просверливании отверстия сверло испытывает деформацию кручения; когда мяч накачивают воздухом, он сохраняет шаровую форму, но увеличивается в размерах. Земной шар деформируется, когда по его поверхностному слою идет приливная волна. Даже эти простые примеры показывают, что деформации тел могут быть различными.

Самым простым для понимания  и математического анализа является деформирование тела при малых деформациях.

Мышцы человека имеют разную форму, поэтому я буду рассматривать деформацию эллипсоид и параллелепипеда [см. Приложение, Рисунок 9 стр. 32].

Как это принято в механике, рассматривается  некоторая произвольно выбранная точка М тела.

Перед началом процесса деформирования мысленно выделяется малая окрестность  этой точки, имеющая простую форму, удобную для изучения, например, шар радиуса DR или куб со стороной Da, причем так, чтобы точка M оказалась центром этих тел.

Несмотря на то, что тела различной  формы под влиянием внешних нагрузок и других причин получают весьма разнообразные  деформации, оказывается, что малая  окрестность любой точки деформируется  по одному и тому же правилу (закону): если малая окрестность точки M имела форму шара, то после деформации она становится эллипсоидом; аналогично, куб становится косым параллелепипедом (обычно говорят, что шар переходит в эллипсоид, а куб – в косой параллелепипед). Именно это обстоятельство одинаково во всех точках: эллипсоиды в разных точках, конечно, получаются разными и по-разному повернутыми. То же касается и параллелепипедов.

Если в недеформированной сфере  мысленно выделить радиальное волокно, т.е. материальные частицы, расположенные  на некотором радиусе, и проследить за этим волокном в процессе деформирования, то обнаруживается, что это волокно все время остается прямым, но изменяет свою длину – удлиняется или укорачивается. Важную информацию можно получить следующим образом: в недеформированной сфере выделяются два волокна, угол между которыми – прямой. После деформации угол, вообще говоря, станет отличным от прямого. Изменение прямого угла называется сдвиговой деформацией или сдвигом. Суть этого явления удобнее рассмотреть на примере кубической окрестности, при деформации которой квадратная грань переходит в параллелограмм – этим объясняется название сдвиговой деформации.

Можно сказать, что деформация окрестности  точки M известна полностью, если для любого радиального волокна, выбранного до деформации, можно найти его новую длину, и для двух любых таких взаимно перпендикулярных волокон – угол между ними после деформации.

Отсюда следует вывод, что деформация окрестности известна, если известны удлинения всех волокон и все  возможные сдвиги, т.е. требуется бесконечно большое количество данных. На самом деле деформация частицы происходит очень упорядоченно – ведь шар переходит в эллипсоид (а не разлетается на кусочки и не превращается в нить, которая завязывается узлами). Эта упорядоченность выражается математически теоремой, суть которой состоит в том, что удлинения любого волокна и сдвиг для любой пары волокон можно вычислить (причем довольно просто), если известны удлинения трех взаимно перпендикулярных волокон и сдвиги – изменения углов между ними. И конечно, суть дела совершенно не зависит от того, какая форма выбрана для частицы – шаровая, кубическая или какая-нибудь еще.

Для более конкретного и более  строгого описания картины деформации вводится система координат (например, декартовых) OXYZ, выбирается в теле некоторая точка M и ее окрестность в виде куба с вершиной в точке M, ребра которого параллельны осям координат. Относительное удлинение ребра, параллельного оси OX, (В этом обозначении индекс повторен дважды: так принято обозначать элементы матриц).

Если рассматриваемое ребро  куба имело длину  , то после деформации его длина изменится на величину удлинения , при этом относительное удлинение, введенное выше, выразится как

 

 

 

 Аналогичный смысл имеют величины e_yy и e_zz.

Для сдвигов принимаются следующие  обозначения: изменение первоначально  прямого угла между ребрами куба, параллельными осями OX и OY, обозначается как (здесь коэффициент «2» вводится для удобства в дальнейшем, как если бы диаметр некой окружности обозначался 2r).

Таким образом, введено 6 величин, а  именно три деформации удлинения:

 

 

и три деформации сдвига:

 

Эти 6 величин называют компонентами деформации, при этом в это определение вкладывается тот смысл, что через них выражается любая деформация удлинения и сдвига в окрестности данной точки (часто говорят сокращенно – просто «деформация в точке»).

Компоненты деформации можно записать в виде симметричной матрицы 

 

 

 

Эта матрица называется тензором малых  деформаций, записанным в системе  координат OXYZ. В другой системе координат с тем же началом этот же тензор будет выражаться другой матрицей, с компонентами

 

 

Оси координат новой системы составляют с осями координат старой системы набор углов, косинусы которых удобно обозначить так, как это сделано в следующей таблице:

Тогда выражение компонент тензора  деформации в новых осях (т.е

,…, ,…) через компоненты тензора деформаций в старых осях, т.е. через ,…, ,…, имеют вид:

Эти формулы, по существу, являются определением тензора в следующем смысле: если некоторый объект описывается в системе OXYZ матрицей , а в другой системе OX´Y´Z´ – другой матрицей , то он называется тензором, если имеют место приведенные выше формулы, которые называются формулами преобразования компонент тензора второго ранга к новой системе координат. Здесь, для краткости, матрица обозначена символом , где индексы i, j соответствуют любому попарному сочетанию индексов x, y, z; существенно, что индексов обязательно два. Число индексов называется рангом тензора (или его валентностью). В этом смысле вектор оказывается тензором первого ранга (его компоненты имеют один индекс), а скаляр можно рассматривать как тензор нулевого ранга, не имеющий индексов; в любой системе координат скаляр имеет, очевидно, то же самое значение.

Важная и интересная особенность: можно просто проверить по формулам преобразования координат, что средняя (в смысле среднего арифметического) деформация удлинения одинакова  в любой системе координат, т.е.

 

Другими словами, все компоненты тензора e_ij изменились при переходе к новой системе, а их сумма имеет прежнее значение, которое имеет простой физический смысл: если до деформации частица имела объем V, а после деформации он изменился на величину DV, то

Комбинации компонент тензора, которые не изменяют своего значения при переходе к новой системе  координат, называются инвариантами этого  тензора. Таким образом,

 

есть инвариант. Инвариантом является не только средняя деформация удлинения, но и среднеквадратичная деформация , определяемая по формуле:

Если 

то деформация окрестности точки M происходит без изменения объема частицы. Если это справедливо для всех точек тела, то говорят, что оно несжимаемо. Это обстоятельство (а также то, что суммой матриц тензоров называется матрица-тензор, элементы которой суть суммы соответствующих элементов слагаемых) позволяет разделить тензор деформации на две части: объемную деформацию и остальную, при которой объем не изменяется. Эта вторая часть, таким образом, является чисто сдвиговой.

Первый тензор в правой части  равенства называется шаровым, второй – девиатором (от лат. deviatio – искажение), т.к. он связан с искажениями прямых углов – сдвигами. Название «шаровой» связано с тем, что матрица этого тензора в аналитической геометрии описывает сферическую поверхность.

Для того чтобы вычислить деформацию мышц, нужно знания высшей математики, поэтому у меня нет возможности этого сделать.

 

 3. Практическая часть

Вращение

Рассчитаем ускорение, момент инерции, момент импульса при вращении балерины. Нам известен угол поворота, он равен 80˚ и время одного поворота, оно равно 1 секунде.

По формуле, скорость [Основные движения в балете, Вращение стр. 10] равна:

 

 

 

Теперь рассчитаем ускорение

 

 

Масса балерины равна 48 кг., радиус (это будет нога балерины) равен 0,9 м. Рассчитаем момент инерции при вращении [Основные движения в балете, Вращение стр. 12]

            

 

 

Узнаем чему равен момент импульса. Мне известна масса, радиус и скорость. Таким образом, момент импульса равен: [Основные движения в балете, Вращение стр.13]

 

 

 

 

 

 

 

Прыжки

Рассчитаем силу и мощность прыжка артиста балета (так как они чаще выполняют этот элемент)

Для того, чтобы рассчитать силу мне  надо найти ускорение. Вычислив скорость[Основные движения в балете, Прыжки стр.18]   найдем ускорение.

 

 

 

 

 

 

Масса артиста балета равна 70 кг. Сила[Основные движения в балете, Прыжки стр. 17]  прыжка равна:

 

 

Мощность прыжка [Основные движения в балете, Прыжки стр.18] равна:

 

 

 

 

 Заключение

Танец- это твой пульс, биение твоего сердца, твое дыхание. Это  ритм твоей жизни. Это выражение  во времени и движении, в счастье, радости, грусти и зависти (Жак д’Амбуаз)

 

В своем реферате я рассмотрела  только основы классического балета, которые необходимо знать каждому  учащемуся балетной школы. Это помогло  мне решить ряд задач, которые  я поставила перед собой. Эта  тема мне увлекла настолько, что я хочу продолжить работу, так как не достигла поставленной цели.

 

 Список литературы

1. Ландау Л.Д., Китайгородский А.И. Физика для всех издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы Москва 1974 год
2. Дик Ю.И., Ильин В.А., Исаев Д.А. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы дрофа Москва 2005 год
3. Костровицкая В.С., Писарев А.А. Школа классического танца издательство «Искусство» Ленинград  1968 год
4. Барышникова Т. Азбука хореографии Айрис Пресс Москва 2000 год
5. Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Пономарев А.В. Факультативный курс физики. «Просвещение» Москва 1977 год

.

 

Приложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1,2. Балет в двадцатом веке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3. Метод изучения вращения (главное находиться в центре начерченной окружности)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 4.  Вращение в открытой позиции рук

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5. Вращение в закрытой позиции рук

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 6. Распределение сил во время полета

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 7. Состояние баллона