Физическая сущность основных понятий механики

Можно дать и другую формулировку закона инерции: 
–   В любой момент своего движения материальный объект стремится двигаться с имеющейся у него на данный момент скоростью (энергией) независимо от выбранной системы отсчета, и только внешние воздействия препятствуют такому движению.

Ярким подтверждением справедливости дифференциальной трактовки закона инерции является движение тел по окружности, не связанных жестко с центром вращения, как, например, при движении планет вокруг Солнца (в главе III будет показано, что движение планет вокруг Солнца можно считать вращательным движением). В популярной литературе это движение часто объясняется так: за счет притяжения Солнца планеты падают на него, но наличие у них скорости в касательном направлении смещает планету в сторону, в результате чего и получается движение по окружности (приближенно). С точки же зрения закона инерции круговой характер движения планет следует объяснять таким образом: в любой момент своего движения планета стремится двигаться по направлению имеющейся у нее на данный момент скорости, но под действием притяжения Солнца в каждый момент движения происходит изменение этой скорости (при круговом вращательном движении меняется только направление скорости), в результате чего траектория движения искривляется и становится окружностью при постоянной действующей силе. Здесь следует подчеркнуть, что основное движение планет это движение по инерции, а сила притяжения со стороны Солнца только искривляет траекторию этого движения.

Таким образом, если бы не было инерции у тел, то их движение всегда происходило бы только по направлению  действующих на них сил. 
Трактовка закона инерции в дифференциальной форме ставит также вопрос и о причинах его существования, то есть о его физической сущности. То, что тела при отсутствии на них силового воздействия должны двигаться с постоянной скоростью, нам понятно, так как при наличии сил появляется ускорение. Но движение по инерции пусть и мгновенное при постоянном силовом воздействии требует осмысления. Здесь, очевидно, следует сравнивать кинетические энергии, связанные с инерционным движением и силовым воздействием. Поскольку любое тело при движении имеет какую-то скорость, то оно имеет и определенную кинетическую энергию. Силовое воздействие тоже связано с затратами энергии. Из опыта нам известно, что чем больше будет сила, приложенная к движущемуся телу, тем сильнее изменится характер его движения. Это значит, что чем больше будет подведенная к телу энергия по сравнению с энергией его движения, тем больше будет ее влияние на характер движения тела. Поэтому можно утверждать, что инерция движущегося тела определяется его кинетической энергией. Именно соотношение кинетической энергии тела и энергии силового воздействия определяет закон движения тела.

Найдем затраты  энергии на искривление траектории при вращательном движении тел. К  телу, движущемуся по окружности (рис.1), подводится энергия в радиальном направлении, в результате чего изменяется направление его скорости, но не ее величина. Можно ли в этом случае сказать, что происходит изменение кинетической энергии тела? Если иметь в виду только ее величину, то нет. Если же учитывать направленность кинетической энергии, то да. Этот пример является еще одним подтверждением направленности кинетической энергии, ее векторной сущности при движении тел и их взаимодействии, потому что для изменения направления движения необходимо приложить силу, то есть подвести добавочную энергию в определенном направлении. Величина радиальной (центростремительной) силы определяется величиной изменения кинетической энергии тела , отнесенной к величине его радиального перемещения при угле поворота . Изменение кинетической энергии тела будет равно подведенной к нему энергии : 
,                                                                              (1) 
где m – масса тела, - изменение окружной скорости тела при угле поворота от начального положения. 
В соответствии с рис.1,б имеем: 
,                                                                           (2) 
где V – окружная скорость тела. 
Центростремительная сила определяется отношением при , где в соответствии с рис.1,а будет равно: 
(3) 
Тогда: 
(4) 
Затраты кинетической энергии определим, представив выражение (1) с учетом выражения (2) в виде: 

(5) 
Последовательно увеличивая значение угла в 2, 3,…n раз, придем к формуле: 
,                                                      (6) 
где за один полный оборот число шагов n будет равно: 
(7) 
В соответствии с формулой (6) затраты кинетической энергии при вращательном движении графически представлены на рис.2. Поскольку энергия все время потребляется, то максимальное значение энергии , соответствующее половине оборота, следует удвоить, чтобы найти затраты энергии за полный оборот. 
Тогда, имея в виду, что для половины оборота , получим: 
(8) 
Таким образом, чтобы заставить тело двигаться по окружности, к нему надо подвести энергию в 8 раз большую, чем его собственная энергия движения. 
Интересно также отметить следующий результат, вытекающий из полученного нами соотношения. Поскольку затраты энергии можно определить через работу центростремительной силы: 
,  (9) 
где S – перемещение точки приложения силы, соответствующее направлению ее действия. 
Используя выражения (8) и (4), получим: 
(10) 
Отсюда следует, что перемещение S представляет собой два диаметра окружности радиуса r, а работа центростремительной силы будет определяться кратчайшим расстоянием между наиболее удаленными точками окружности при движении тела сперва в одну (удаление), а затем другую (приближение) стороны от его начального положения. 
Таким образом, инерцию тела можно определить как его стремление сохранить свою кинетическую энергию при внешнем воздействии. Характер движения тела будет зависеть от соотношения его собственной кинетической энергии и энергии, к нему подведенной. При этом характер движения будет зависеть не только от величины подведенной энергии, но и от направления ее подведения. 
Если к телу не подводится никакой энергии, то его энергия не изменяется и оно движется с постоянной по величине и направлению скоростью. Однако, здесь следует иметь в виду, что так можно говорить, если рассматривать тело как единое целое. Если же иметь в виду и частички, из которых состоит тело (электроны и ядра), то для них такое утверждение будет неверно, так как они движутся с переменными скоростями и ускорениями. Очевидно, о постоянстве скорости можно говорить только для центра масс тела. А в целом о теле можно сказать только, что оно движется с постоянной энергией, так как энергия его частичек тоже не меняется. При таком определении инерции не исключается возможность и вращательного движения тела по инерции с постоянной угловой скоростью, или даже сочетание его прямолинейного движения с постоянной скоростью и вращения вокруг центра масс с постоянной угловой скоростью. 
Что касается затрат энергии на вращение частичек тела, то противоположно расположенные частички взаимно воздействуют друг на друга (без внешнего воздействия), в связи с чем затрат энергии не происходит. 
В свете всего сказанного выше закон инерции Ньютона можно считать интегральным законом, справедливым для конечных промежутков времени. Этот закон можно обобщить и на случай вращательного движения, сформулировав его следующим образом: 
–  Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного или равномерного вращательного движения пока в результате взаимодействий не изменится его кинетическая энергия. 
Таким образом, мы расширили существующее понятие интегрального закона инерции, обобщив его и на равномерное вращательное движение и связав его с постоянством кинетической энергии тела. Причем сделали мы это в классической традиции, связав его с постоянством скорости движения тел. Скорость движения будет постоянной как при отсутствии действия на тело каких-либо сил, так и при действии на него уравновешенной системы сил. Это обстоятельство учитывается в ряде современных формулировок закона инерции. Приведем наиболее развернутую характеристику закона инерции, данную в физической энциклопедии [9, с.144]: “Инертность (инерция) (от лат. iners, род. падеж inertis – бездеятельный) в механике – свойство материальных тел, проявляющееся в том, что тело сохраняет неизменным состояние своего движения или покоя по отношению к т. н. Инерциальной системе отсчета, когда внешние воздействия на тело (силы) отсутствуют или взаимно уравновешиваются. Если же на тело действует неуравновешенная система сил, то свойство инертности сказывается в том, что изменение состояния покоя или движения тела, то есть изменение скоростей его точек, происходит постепенно, а не мгновенно; при этом движение изменяется тем медленнее, чем больше инертность тела. Мерой инертности тела является его масса”. 
Не будем подробно анализировать эту формулировку, обратим внимание только на утверждение о соответствии закону инерции движения тела под действием уравновешенной системы сил. Такое утверждение вызывает сомнения. Действительно, можно ли назвать движением по инерции движение автомобиля с работающим двигателем, хотя он и движется с постоянной скоростью? Ведь при таком движении происходят затраты энергии, внешней по отношению к автомобилю. Это обстоятельство заставляет задуматься при рассмотрении закона инерции с энергетических позиций. Сомнительно, чтобы движение по инерции было связано с затратами внешней энергии. Рассмотрим с этой точки зрения еще несколько примеров. Вернемся снова к движению планет по их орбитам. Предположим для упрощения, что орбиты будут круговыми. Тогда на планеты силы тяготения будут действовать только в радиальном направлении, в касательном же направлении никаких сил не будет и, значит, не будет затрат энергии. В этом случае возникает желание назвать движение в касательном направлении движением по инерции. Но тогда получается, что движение одного и того же тела (планеты) будет одновременно и по инерции в касательном направлении, при котором величина скорости будет постоянной и не инерционным в радиальном направлении, так как при этом будет изменяться направление скорости и будет затрачиваться внешняя энергия (энергия Солнца). Очевидно, что два указанных направления должны быть взаимно перпендикулярными, так как только тогда взаимодействия в этих направлениях не будут влиять друг на друга. 
Рассмотрим теперь движение автомобиля с отключенным двигателем, то есть движение накатом, когда на машину действует только сила сопротивления. Машина при этом тормозится, а скорость ее уменьшается. Движение машины в этом случае происходит за счет ее собственной кинетической энергии без использования внешней энергии. Возникает вопрос: можно ли такое движение назвать движением по инерции? Если исходить из классической формулировки закона инерции, то нет. Если же попытаться понять сущность такого движения, то кроме собственной инерции у тела ничего нет, что заставляло бы его двигаться. Значит, именно инерция тела, связанная с его запасом кинетической энергии, заставляет тело продолжать движение до тех пор, пока не будет исчерпан весь ее запас. Если же это так, то такое движение тоже следует считать движением по инерции. 
       В связи со всем изложенным закон инерции в интегральной форме можно сформулировать следующим образом: 
–   Если в каком-либо направлении движение тела происходит без затрат внешней энергии или за счет собственной кинетической энергии, такое движение будет движением по инерции. 
Под данное определение будут подходить прямолинейное и вращательное движения, совместное вращательное и прямолинейное движения без затрат внешней энергии и при торможении, вращение планет вокруг Солнца и т. п. 
       Автор выносит на обсуждение  такое понимание сущности закона инерции. 
И, наконец, следует подчеркнуть важное следствие, имеющее место при использовании закона инерции в дифференциальной форме: в случае реальности сил инерции все системы отсчета – инерциальные и неинерциальные – можно считать равноправными, так как в любой из них будут выполняться все законы механики.

Второй  и третий законы Ньютона.

Второй  закон сформулирован И. Ньютоном следующим образом [6, с.233]: “Изменение количества движения пропорционально  приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует”.

Чтобы представить этот закон в математическом виде, Ньютону пришлось ввести понятие  массы, характеризующей количество материи, содержащейся в теле.

Если  следовать приведенному определению, то второй закон Ньютона должен иметь  следующее математическое выражение: 
,                                                                                    (1) 
где - изменение количества движения mV, k – коэффициент пропорциональности, F- приложенная к телу сила. Вполне очевидно, что данная формулировка не соответствует общепринятой формулировке второго закона, устанавливающего связь между силой и ускорением: 
,                                                    (2) 
так как время нельзя считать коэффициентом пропорциональности, поскольку оно изменяется и, следовательно, не является постоянной величиной. 
Предполагается, что форму (2) второму закону Ньютона впервые придал Д.Бернулли [10,с.89]. 
В таком же виде выше нами было получено соотношение между мгновенным воздействием и изменением скорости при взаимодействии материальных объектов (см. главу I):

     (3) 
где - фактор мгновенного воздействия, представляющий силу F, действующую на рассматриваемый материальный объект, - мгновенное изменение скорости в функции времени (ускорение). 
Следует отметить, что соотношение (3) нельзя считать строгим доказательством второго закона Ньютона, это скорее результат, вытекающий из здравого смысла, поэтому его можно рассматривать просто в качестве гипотезы. 
Ньютон нигде не дает доказательства второго закона, он его просто постулирует. Можно даже сказать, что он просто угадан Ньютоном и то неточно. И после Ньютона никто не смог вывести этот закон из каких-то более общих предпосылок. Таким образом, второй закон Ньютона следует считать одной из аксиом или гипотез, лежащих в основе механики. И тем не менее открытие этого закона является величайшим достижением человеческого ума, позволившим механике стать настоящей наукой и давшим ей основу для дальнейшего развития. 
Мы показали, что второй закон Ньютона характеризует мгновенное локальное взаимодействие тел и устанавливает связь между силой и ускорением, возникающим при взаимодействии в данной точке пространства. Понятие мгновенного взаимодействия не устанавливает физической сущности силы, то есть не является ее определением. Поэтому нельзя говорить, что сила это произведение массы тела на его ускорение. Это соотношение определяет величину силы, но не ее физическую сущность. Физическая сущность силы может быть понята из соотношений, полученных нами в первой главе: (4) 
,            (5) 
где первое выражение может трактоваться как силовая характеристика поля кинетической энергии для сплошной среды, а второе – выражение силы для дискретного тела, энергия которого изменяется при движении в пространстве. Именно изменение энергии в пространстве, а точнее скорость ее изменения по пространственной координате, и характеризует физическую сущность силы. Чем быстрее будет изменяться энергия, тем больше будет сила, и наоборот. Это объясняется тем, что именно кинетическая энергия является тем свойством движущейся материи, которым обмениваются при взаимодействии материальные объекты. 
Выражения (4) и (5) имеют более широкую область применения, чем второй закон Ньютона в форме (2). Это объясняется тем, что мгновенное взаимодействие материальных объектов можно рассматривать не только в виде дискретных тел, но и в виде сплошных сред, что приводит к полевой форме взаимодействия. Поэтому второй закон Ньютона можно считать частным случаем выражений (4) и (5). 
Однако, следует обратить внимание на следующее важное обстоятельство. При выводе соотношения (3) мы считали, что изменение скорости от внешнего воздействия будет одинаково и происходит одновременно для всех точек тела. Такое предположение для реальных тел не всегда будет точно выполняться, так как все материальные объекты деформируются из-за конечной скорости распространения воздействия. Исключение могут составлять только воздействия, осуществляющиеся одновременно по всему объему тела, как, например, при действии сил тяготения. Поэтому второй закон Ньютона будет в определенной степени приближенным при использовании его для исследования движения реальных тел. Ниже будет показано, как можно учесть влияние деформации тел на характер их движения. 
Следует иметь в виду также и то, что выражение силы через кинетическую энергию будет справедливо только для энергии, связанной с упругой деформацией тел. Энергия же, затраченная на структурные преобразования и нагрев тел, учитываться не должна. Это будут так называемые потери энергии, изменяющие энергию составляющих тело частиц, но не механическую энергию движения тела в целом. 
Переходим теперь к рассмотрению третьего закона Ньютона, который гласит [6, с.233]: “Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе – взаимодействия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны”. 
Этот закон находится как бы в стороне от двух первых законов Ньютона и не связан с ними. Если закон инерции можно вывести из второго закона Ньютона, устранив внешнее воздействие на тело, то есть приняв силу равной нулю, то третий закон существует как бы сам по себе. Ньютон пришел к необходимости этого закона по следующим причинам (цитируем [6, с.234]): “Третий закон динамики был подтвержден опытами Рена и Мариотта над ударами шаров. Сам Ньютон повторил эти опыты с большей точностью, введя поправку на сопротивление воздуха. Он нашел, что “третий закон по отношению к удару и отражению подтверждается теорией, вполне согласующейся с опытом”. 
Подтверждается третий закон и для взаимодействий на расстоянии. Если бы эти взаимодействия не были бы равны, то поместив между взаимно притягивающимися телами препятствие, мешающее их сближению, можно было бы обнаружить, как это препятствие уступает действию большей силы. “Я производил подобный опыт с магнитом и железом; если их поместить каждый в отдельный сосуд и пустить плавать на спокойной воде так, чтобы сосуды взаимно касались, то ни тот, ни другой не приходят в движение, но вследствие равенства взаимного притяжения сосуды испытывают равные давления и остаются в равновесии”. Точно так же, если бы взаимные притяжения частей Земли не уравновешивались, то Земля ушла бы ускоренным движением в бесконечность”. 
И, тем не менее, этот закон Ньютона можно считать только полуэмпирическим, так как он не имеет строгого теоретического доказательства, и поэтому его следует рассматривать только в качестве гипотезы или аксиомы. 
Однако между двумя гипотезами, лежащими в основе второго и третьего закона Ньютона, существует достаточно тесная связь, которую мы сейчас и попытаемся установить. Для этого сперва используем второй закон в форме  

(3): 
Так как характеризует величину мгновенного воздействия на тело, то есть воздействия на тело при данном его положении в пространстве, то, суммируя все мгновенные воздействия при перемещении тела в пространстве, получим следующее соотношение (см. формулу (1.5.8)): 
,                               (6) 
где - проекция силы F на направление движения тела, V и - скорости движения тела в конце и в начале движения, - изменение кинетической энергии тела на перемещении s. . 
Выражение (6) говорит о том, что работа внешних сил затрачивается на изменение кинетической энергии движущегося тела. Из выражения (6) вытекает также необходимость понятия самой кинетической энергии. 
Теперь рассмотрим сам факт мгновенного взаимодействия с другой стороны. Если на данный материальный объект со стороны других дискретных материальных объектов или материальной среды существует какое-то воздействие в данном месте пространства, то будет вполне логичным предположить, что такое же воздействие будет и со стороны данного тела на контактирующие с ним материальные объекты, так как при взаимодействии материальных объектов обязательно должен быть непосредственный контакт между ними. Это утверждение, кстати, будет относиться ко всем видам взаимодействий, существующим в природе. И если даже тела взаимодействуют друг с другом на каком-то расстоянии, то это значит, что взаимодействие происходит с помощью промежуточной среды, когда воздействие передается от частицы к частице. Правомерность такого утверждения будет нами доказана в последующих главах. 
Следует отметить, что, когда мы говорим о равенстве мгновенных взаимодействий, то имеем в виду полные мгновенные взаимодействия F, отнесенные к взаимодействующим объектам в целом, а не к единице их массы. 
Если считать такое предположение верным, то для внешних по отношению к данному телу материальных объектов будет справедливо выражение (6), представленное в следующем виде: 
,                                         (7) 
где изменение скоростей и энергий будет иметь противоположное значение по сравнению с данным объектом, что и характеризуется знаком минус. 
Так как силы , характеризующие мгновенное воздействие, для обоих объектов будут по величине одинаковыми, то их работы на одном и том же перемещении, определяемые интегралами в левой части выражения (7), также будут одинаковыми, а это значит, что будут равны и правые части, то есть: 
(8) 
Отсюда следует, что какую энергию приобретет тело при внешнем воздействии на него, точно такую же энергию потеряют действующие на него материальные объекты, а это и есть не что иное, как закон сохранения энергии. 
Таким образом, закон сохранения энергии получается как следствие закона равенства действия и противодействия, то есть третьего закона Ньютона, рассматриваемого совместно со вторым его законом. И если учесть то обстоятельство, что все взаимодействия, как мы покажем это ниже, имеют механическую природу, то можно считать, что второй и третий законы Ньютона являются основными законами природы. 
Хотя эти законы и не имеют строгого обоснования, то с точки зрения здравого смысла и их практического использования они вполне достоверны. Действительно, если вдуматься в процесс взаимодействия материальных объектов, то сам факт взаимодействия за счет непосредственного контакта между материальными объектами в одном и том же месте пространства не должен вызывать сомнения. Взаимное действие материальных объектов при их непосредственном контакте вряд ли может быть различным, поскольку оно осуществляется в одном и том же месте пространства в одно и то же время. Несомненно также, что мгновенные взаимодействия будут являться причиной всех материальных процессов и явлений, происходящих в природе. Этот факт лежит в основе принципа причинности и детерминизма. На наш взгляд, такое объяснение будет вполне естественным и логичным.

Ниже  будет показано, что закон сохранения энергии лежит в основе многих законов механики. Поскольку мы его  получили из двух законов Ньютона, то тем самым мы исключили одну гипотезу, каковой до настоящего времени являлся  закон сохранения энергии, то есть число недоказанных гипотез стало меньше. Тем самым мы привели основания механики к более строгому виду.

Однако, на рассматриваемую ситуацию можно  взглянуть и с другой точки  зрения. Мы предполагали, что при  взаимодействии материальных объектов должны выполняться две гипотезы в форме второго и третьего законов Ньютона, из которых вытекает закон сохранения кинетической энергии, причем в гипотезе о втором законе Ньютона, характеризуемой выражением (3), использование массы является чисто эмпирическим фактом и, кроме того, эта характеристика взаимодействия не может быть отнесена к тем случаям, когда отсутствует движение в направлении взаимодействия материальных объектов. Для таких случаев следует использовать условие взаимодействия в форме выражений (4) или (5), по отношению к которым условие (3) можно считать частным случаем. Выражения (4) и (5) представляют собой скорость изменения кинетической энергии по пространственной координате, они могут быть получены, как будет показано в следующем параграфе, из закона сохранения кинетической энергии при взаимодействии материальных объектов. Тогда в качестве основной характеристики взаимодействия в качестве гипотезы можно использовать закон сохранения кинетической энергии, при этом исключается гипотеза о равенстве действия и противодействия, а второй закон Ньютона будет являться просто математической формулой, устанавливающей связь между силой и скоростью изменения кинетической энергии. В итоге, вместо двух гипотез, положенных нами в основу законов механики, останется всего одна, причем масса тел органично входит в выражение кинетической энергии. Такое использование закона сохранения кинетической энергии в качестве основной и единственной гипотезы представляется нам целесообразным. Это свойство закона сохранения кинетической энергии отображено в таблице иерархии основных понятий, законов и принципов механики. 
При рассмотрении третьего закона Ньютона следует обратить внимание на одно важное обстоятельство, связанное с наличием сил инерции. До сих пор под равенством действия и противодействия понималось равенство сил, с которыми взаимодействующие тела действуют друг на друга. Но ведь при взаимодействии возникают и силы инерции, которые, как мы показали, тоже являются реальными силами. Сила инерции является реакцией со стороны тела на внешнее воздействие. Она в точности равна действующей на тело внешней силе и направлена ей навстречу. Отсюда следует, что сила инерции будет уравновешивать движущую силу, то есть система действующих на тело сил с учетом силы инерции будет уравновешена. Таким образом, мы получили доказательство принципа Даламбера в его современной формулировке, сущность которого будет подробно рассмотрена в §7. 
Третий закон Ньютона имеет и еще одно важное следствие, на которое до сих пор не обращали внимания. Так, если тело движется, преодолевая какое-либо сопротивление среды или силы трения, то на него будет действовать, уравновешиваясь попарно, уже четыре силы: движущая сила и сила инерции (упругая сила деформации) с одной стороны и сила инерции и сила сопротивления с другой стороны, причем силы инерции в обоих случаях будут направлены в разные стороны (рис.1), навстречу действующим на тело внешним силам. То же самое будет происходить и в случае неподвижного тела, когда действие внешней силы уравновешивается реакцией опоры (рис.2). Таким образом, в этих случаях движущая сила и сила сопротивления будут уравновешиваться не непосредственно друг другом, а через посредство силы инерции, являющейся упругой силой деформации. И вообще, следует обратить внимание на то, что силы, действующие на тело, включая и силы инерции, должны существовать попарно, образуя уравновешенную систему, независимо от состояния тела или характера его движения. Поэтому утверждение о том, что центростремительная сила может существовать без центробежной силы инерции, которое некоторые ученые используют для объяснения фиктивности сил инерции, и с этой точки зрения неверно. Сила может уравновешиваться только силой, и ничем больше.