Задачи по "Теоретической механике"

Теоретическая механика

Задача Д

Механическая  состоит из грузов 1 и 2, перемещающихся поступательно, при этом коэффициент  трения скольжения груза 1 о плоскость  – f₁, а груз 2 перемещается без скольжения, массы грузов m₁ и m₂; ступенчатого шкива с радиусами ступеней R₃=0,2м и r₃=0,1м, масса шкива m₃. Масса шкива равномерно распределена по его объему.

Тела  соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы.

Под действием силы F=f(S), зависящей от перемещения S точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. Определить значения скорости груза 2 в тот момент, когда точка приложения силы F переместится на величину S₁

Дано: номер условий – 8; m₁=6 кг; m₂=7 кг; m₃=5 кг; f₁=0,15; F=3+2S; S₁=1,4м

Определить: V₂

Решение:

1. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии системы – конечную форму записи

В начальный момент времени система  находилась в состоянии покоя  Т₀=0. Уравнение принимает вид

2. Определим Т₁ (Т – кинетическая энергия системы в момент времени, соответствующий перемещению груза 1 на расстояние S₁)

T₁ – кинетическая энергия груза, перемещающегося поступательно

Выразим V₁ через скорость груза 2

T₂ – кинетическая энергия груза 2, перемещающегося поступательно

Т₃ – кинетическая энергия шкива 3, вращающегося вокруг неподвижной оси вращения

J₀ – момент инерции шкива

Выразим угловую скорость через скорость груза 2

Окончательно  имеем

3. Определим сумму работ всех внешних  сил, действующих в системе на перемещениях, соответствующих S₁. Выразим все перемещения через S_1. Покажем на схеме все внешние силы системы - - силы тяжести элементов; - сила трения груза 1; - нормальные реакции опорных поверхностей, - движущая сила.

Работа  силы тяжести 

- ускорение свободного падения

Работа  силы тяжести 

Работа  силы тяжести  , т.к. точка приложения этой силы неподвижна

Работа  силы

Работа  силы трения

Работы  реакций  , так как эти силы перпендикулярны перемещениям

Окончательно 

Общая работа получилась со знаком «минус», это означает, что вектор скорости направлен в противоположную  сторону.

4. Найдем скорость груза 2, в момент времени, соответствующий перемещению S₁

Задача С

На  горизонтальную балку действует  сосредоточенная сила Р, пара сил с моментом М, равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q. Определить реакции связей А и В, пренебрегая весом балки.

Дано: P=2кН; М=6кНм; q=4кН/м; α=60°; β=30°; l=8м; а₁=2м; а₂=3м

Определить: R_А; R_В

Решение:

5. Объект равновесия – балка АВ. На неё действует плоская система сил. Выбираем плоскую систему отсчета, прямоугольную систему координат ХАУ.
6. На балку действуют: сосредоточенная сила Р, пара сил с моментом М, распределённая нагрузка на участке а₁. Заменим распределённую нагрузку равнодействующей сосредоточенной силой, приложенной в середине участка а_1.

7. На балку наложены связи: в точке А шарнирно-неподвижная опора, в точке В – шарнирно-подвижная. Отбрасываем связи и заменяем их реактивными силами. Реакция шарнирно-неподвижной опоры в точке А (R_Ax и R_Ay) лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, раскладываем её на составляющие по координатным осям.

Реакция опоры в точке В (R_B) направлена по нормали к опорной поверхности силы, направленной под углом к осям координат, её разложим на составляющие силы, параллельные осям

8. Для плоской системы сил можно  составить 3 независимых уравнения  равновесия – в задаче 3 неизвестных  силы R_Ax; R_Ay; R_B, следовательно, задача статически определима.
9. Уравнения равновесия

из (3)

из (1)

из (2)

Направление вектора R_A определим по направлению косинусов.

Ответ: R_A=28,8 кН; R_B=31,4 кН

Задача К

Механизм  состоит из ступенчатых колес, связанных  ременной передачей и груза, прикрепленного к концу нити, намотанной на одно из колес.

По  заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза  S=f(t) определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки М в момент t=2с.

Дано: номер условий – 8; R₁=0,15м; R₂=0,1м; R₃=0,45м; R₄=0,4м

Определить:

Решение:

10. Скорость точки В нити равна

11. Угловая скорость ступенчатого колеса 2:

12. Скорость точки А

13. Угловая скорость колеса 3

14. Угловое ускорение колеса 3

15. Скорость точки М

При t=2с

16. Нормальное ускорение точки  М

При t=2c

17. Тангенциальное ускорение точки  М

При t=2с

18. Полное ускорение точки М