Задачи по "Прикладная механика"

Задача 1

Стальной стержень переменного  сечения находится по действием  продольной силы P и собственного веса.

Найти наибольшее напряжение в сечении круглого бруса и  определить величину перемещения сечения I – I.

Рис. 1

F = 6∙10–4 м2 a = 9 м b = 5 м c = 6 м P = 60 кН E = 2∙105 МН/м2 p = 7,7 Мг/м3

Решение:

Найдем воздействия собственного веса на каждом участке:

 

 

 

 

Найдем силу в каждом участке:

 

 

 

Найдем напряжение на каждом участке:

 

 

 

 

Найдем величину перемещения  сечения I – I:

 

 

 

 

Ответ:

Наибольшее напряжение на участке а – 101 966,7 кН/м².

Величина перемещения  сечения I – I – 46∙10^-4 м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента. Левый  конец вала жестко закреплен в  опоре, а правый конец – свободен и его торец имеет угловые  перемещения относительно левого конца. Требуется:

1. построить эпюру крутящих моментов по длине вала;
2. при заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d₁ и d₂ вала из расчета на прочность, полученные значения округлить;
3. построить эпюру действительных напряжений кручения по длине вала;
4. построить эпюру углов закручивания, приняв G ≈ 0,4Е.

Рис. 2

a = b = c = 1,4 м T1 = 5,5 кН∙м T2 = 2,5 кН∙м T3 = 1,5 кН∙м T4 = 0,5 кН∙м τ = 40 МПа

 

 

Решение:

1. Находим крутящие моменты на каждом участке вала, пользуясь методом сечений.

Вал имеет левый конец  жестко заделанный, а правый – свободный. Поэтому в данном случае удобнее  рассматривать равновесие правых отсеченный частей, мысленно перемещаясь по валу от его свободного конца по направлению к заделке.

 

 

 

 

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов (рис.2, б).

2. Определяем диаметры вала d₁ и d₂ из расчета на прочность:

 

 

 

3. Определяем полярные моменты сопротивления:

 

 

 

Определяем действительные напряжения кручения по длине вала:

 

 

 

 

 

По полученным данным строим эпюру действительных напряжений кручения (рис.2, в).

4. Определяем полярные моменты инерции:

 

 

 

Определяем углы закручивания:

 

 

 

 

 

 

По полученным данным строим эпюру углов закручивания (рис.2, г).

 

 

 

 

 

Задача 3

Для заданной схемы балки  требуется написать выражения Q и M для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и M, найти M_max  и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при [σ] = 160 МПа.

Рис. 3

a = 2,8 м b = 4,0 м c = 2,2 м l = 12 м M = 9 кН∙м F = 15 кН q = 18 кН/м

Решение:

1. Определяем опорные  реакции:

 

 

 

 

 

 

Проверка:

 

 

Следовательно опорные реакции найдены верно.

2. Строим эпюру М:

Участок а:

 

– уравнение квадратной параболы.

 

 

 

Участок b:

 

– уравнение наклонной прямой.

 

 

 

В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачек, равный величине этого момента.

Участок с:

 

– уравнение наклонной  прямой.

 

 

 

В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила, эпюра М имеет перелом, острие которого обращено в сторону действия силы.

3. Строим эпюру Q:

Участок а:

 

– уравнение наклонной  прямой.

 

 

 

Участок b:

 

– уравнение прямой, параллельной оси абсцисс.

 

 

Участок с:

 

– уравнение прямой, параллельной оси абсцисс.

 

 

В сечении балки, где приложена  сосредоточенная сила, эпюра Q имеет скачек, равный величине приложенной силы и совпадающей с ней по направлению.

4. Подбираем стальную  балку двутаврового поперечного  сечения:

Опасным является опорное  сечение А, где изгибающий момент достигает наибольшего абсолютного значения:

 

Определим необходимую величину момента сопротивления сечения:

 

Из сортамента прокатной  стали по ГОСТ 8239-89 выберем балку двутаврового поперечного сечения с , номер двутавра 30, у которого .

 

Задача 4

На рисунке показана схема  зубчатой передачи. Входное колесо 1 в данный момент имеет угловую  скорость ω₁ и постоянное угловое ускорение ε₁, направленное по движению или против движения. Определить:

1. передаточное отношение между входным и выходным звеньями и его знак (если их оси вращения параллельны);
2. угловую скорость и угловое ускорение выходного звена, их направления показать на схеме передачи;
3. время, в течение которого угловая скорость увеличится в два раза (если движение ускоренное), или уменьшится до нуля (если движение замедленное);
4. общий коэффициент полезного действия передачи.

 

 

Рис. 4

z1 = 21 z2 = 28 z2ʹ = 17 z3 = 30 z4 = 31 z5 = 32 z5ʹ = 31 z6 = 32 z6ʹ = 30 z7 = 40 ω1 = 320 рад/с ε1 = 80 рад/с2

Решение:

1. Определяем передаточное отношение:

 

 

 

 

 

 

2. Определяем угловую скорость и угловое ускорение:

 

 

3. Определяем время, в течение которого угловая скорость увеличится в два раза, т.к. ε > 0 – движение ускоренное:

 

4. Определяем общий коэффициент полезного действия передачи:

 

Здесь η_ц = 0,97 – КПД цилиндрической пары (I II и IV);

η_пл = 0,5 – КПД планетарной передачи с внешними зацеплениями (III).