Расчет частотных и переходных характеристик линейных цепей

1.           

 

2.             

 

Из второго уравнения выразим  i1:

 Запишем первое уравнение:

 

Продифференцируем уравнение относительно t.

 

 

Общее решение относительно тока i2 имеет вид:

Общее решение относительно напряжения имеет вид:

Найдем i2(∞) из схемы замещения при t ∞,когда ω=0.Получим i2(∞)=0

 

Найдем А1 и А2 из схемы замещения при t 0

1. i2(0)= A1+A2=0
2. U2(0)=L1*p1*A1+L1*p2*A2 –R1(A1+A2)=E

    

  

Найдем p1 и p2 – корни характеристического уравнения:

p1= -1016

p2= -49484

 

A1=0.00002                          A2=-0,00002

 

Построим график переходной характеристики:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем постоянные времени  τ1 и τ2 по формуле τ=-1/р,

τ1=1/p1, τ2=1/p2;

 

Определим время установления с точностью 5%.

tуст.= c

Видно, что  , определенное графически, практически совпадает с , определенным расчетами.

 

          2)Операторный метод:

 

Рассчитаем переходную характеристику для заданной цепи. ПХ цепи определяется как отношение отклика цепи к величине ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях.

Рассчитаем ПХ операторным методом. Для этого задаем на вход цепи единичный скачок напряжения

          U1(t)÷1(t)

           1(t)÷1/p

           p-оператор Лапласа

           p=j*ω

Частотным методом определим  комплексное значение коэффициента передаточной цепи K(jω).

Произведем замену p=j*ω и перейдем к изображению передаточной характеристики K(p).

 

Найдем изображение  переходной характеристики.

B(p)=0

После преобразований получим:

p1=-1016

p2=-49484

 

 

 

 

H(p)÷h(t)

 

 

 

 

Построим график переходной характеристики:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем постоянные времени  τ1 и τ2 по формуле τ=-1/р,

τ1=1/p1, τ2=1/p2;

tуст.= c 

 

 

 

 

Вывод

 

Данная цепь является фильтром высоких частот (ФВЧ). Фильтр, пропускает высокие частоты входного сигнала, при этом подавляет частоты сигнала меньше, чем частоту среза(ω гр.). Фильтры высоких частот используются в простых бестрансформаторных конденсаторных преобразователях напряжения для понижения напряжения переменного тока.

         Анализ ПХ показывает, что она состоит из двух экспонент: «быстрой», с постоянной времени τ2=-1/р2, и «медленной», с постоянной времени τ1=-1/р1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  литературы

 

1. Каяцкас А.А. Основы радиоэлектроники. М.: Высшая школа, 1988.

2. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи. Спб: Издательство «Лань», 2008.

3. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа, 2000.

4. Шебес М.Р. задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высшая школа, 1982.

5. Погодин Д.В. Расчет частотных и переходных характеристик электрических цепей. Казань: издательство Казан. гос. техн. ун-та, 2003.