Проектирование линейного рекурсивного цифрового фильтра

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

«Ижевский государственный  технический университет»

Кафедра «Конструирование Радиоэлектронной Аппаратуры» 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «ОРиС»

на тему: «Проектирование линейного рекурсивного цифрового фильтра»

Вариант 24

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

   

 

 

  

Выполнил:

студент группы 7-75-2 Гребенев Д.С.

 

 

 

Проверил:

профессор Ушаков П.А.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

  

 

 

 

Ижевск 2010

 

Техническое задание:

Спроектировать линейный рекурсивный фильтр при требованиях  и характеристике затухания, приведённых в таблице 1.

Таблица 1

№Вар.	Тип фильтра	fд (кГц)	Полоса пропускания			Полоса заграждения
			fгп1 (кГц)	fгп2 (кГц)		fгп1 (кГц)	fгп1 (кГц)	a0 (дБ)
24	ПФ	12	0,6	1,0	0,5	0,3	2,0	35

f_гп – граничная частота пропускания.

f_гз – граничная частота заграждения.

Δа – допустимый уровень пульсации в полосе пропускания.

а₀ – необходимое минимальное затухание в полосе заграждения.

 

2. Проектирование аналогового  фильтра.

Аналоговый фильтр-прототип представляет собой ФНЧ с частотой среза равной 1 рад/c .

Выберем аппроксимацию по эллиптическому фильтру, т.к. он объединяет в себе

свойства фильтров Чебышева первого  и второго рода, поскольку АЧХ  эллиптического

фильтра имеет пульсации заданной величины, как в полосе пропускания, так в полосе

заграждения. За счет этого удается  обеспечить максимально возможную, при

фиксированном порядке фильтра, крутизну ската АЧХ, т.е. проходной зоны между

полосами пропускания и задерживания.[1]

Требуемую последовательность действий оформим в виде следующих функций

MatLab

>> Wp=2*pi*[0.6e3 1e3];

>> Ws=2*pi*[0.3e3 2e3];

>> Rp=0.5;

>> Rs=35;

>> [n,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');

>> [n,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')

n =

     3

Wn =

  1.0e+003 *

    3.7699    6.2832

n-минимальный порядок фильтра;

Производим расчёт фильтра-прототипа  с заданными параметрами АЧХ:

[z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs)

z =

        0 - 2.5934i

        0 + 2.5934i

p =

  -0.2799 - 1.0340i

  -0.2799 + 1.0340i

  -0.6749         

k =

    0.1151

Построение полюсов фильтра, результаты построения приведены на рис.1.

>> figure;

>> subplot(2,1,1);

>> plot(z,'o');

>> grid;

>> plot(p,'x');

Рис.1 Нули и полюса ФНЧ

 

Из рис.1 видно, что все  полюса системы находятся в приделах левой полуплоскости

комплексной плоскости, а  значит система устойчива.

Построим графики АЧХ  и ФЧХ фильтра-прототипа (рис.2).

axis equal

w=0:0.01:3;

[b,a]= zp2tf(z,p,k);

h=freqs(b,a,w);

figure

plot(w,abs(h)),grid

figure

plot(w,unwrap(angle(h))),grid

 

 
Рис2.АЧХ и ФЧХ ФНЧ

2.2. Переход от ФНЧ к  полосовому фильтру.

Произведем переход от фильтра-прототипа к требуемому типу с заданными частотами

среза.

>> [z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs);

f1=0.6;

f2=1;

w0=2*pi*sqrt(f1*f2);

Bw=2*pi*(f2-f1);

[b1,a1]=lp2bp(b,a,w0,Bw);

f=0:0.1:5;

h=freqs(b1,a1,2*pi*f);

plot(f,abs(h))

axis tight

figure

plot(f,unwrap(angle(h))),grid

Рис.3 АЧХ и ФЧХ преобразованного фильтра

Полюса системы находятся  в левой полуплоскости комплексной  плоскости, значит дискретный фильтр полученный из устойчивого аналогового тоже будет устойчив.

 

Синтез рекурсивного фильтра.

С помощью метода билинейного z-преобразования спроектируем дискретный фильтр по частотной характеристике аналогового прототипа.

 

Синтез и анализ фильтра  в среде FDATool пакета Signal Processing.

 

В пакете Signal Processing имеется графическая среда FDATool (Filter Desing & Analysis Tool) решающая ряд практически важных  задач, связанных с проектированием цифровых фильтров. Данная графическая среда позволяет весьма точно моделировать разнообразные структуры цифровых фильтров в режиме нелинейных преобразований, связанных с эффектами квантования и возможность оценивать параметры фильтров.

 

Зададим параметры проектируемого фильтра.

 

Рис. 7 Окно утилиты Filter Design & Analysis Tool

 

 

Получился ПФ фильтр 3-го порядка.

Рис. 8. АЧХ фильтра без  учета эффекта квантования

 

Рис. 9. ФЧХ фильтра без  учета эффекта квантования

 

Рис. 10. Нули и полюса передаточной функции фильтра без учета  эффекта квантования

 

Рис. 11. Коэффициенты передачи функции фильтра без учета  эффекта квантования

Для учета эффекта квантования (при форматах представления данных и способах округления приняты по умолчанию)  нажмем кнопку Turn quantization on. При этом к исходному графику АЧХ добавляется второй график – с учетом учета эффекта квантования.

Рис. 12. АЧХ с учетом и  без учета эффекта квантования

Выведем графики ФЧХ фильтра  с учетом и без учета эффекта  квантования.

Рис. 13. ФЧХ с учетом и  без учета эффекта квантования

 

Выведем графики нулей  и полюсов передаточной функции  фильтра с учетом эффекта квантования.

Рис. 14. Нули и полюса передаточной функции фильтра с учетом и  без учета эффекта квантования ( 0, □ – нули передаточной функции неквантованного и квантованного фильтра соответственно; 

, + – полюса  передаточной функции неквантованного и квантованного фильтра соответственно)

 

Рис. 15. Коэффициенты передаточной функции с учетом эффекта квантования

 

 

 

АЧХ в полосе заграждения  и в полосе пропускания характеристики фильтра с учетом квантования  существенно отличаются от исходных. Коэффициент знаменателя передаточной функции первой секции, коэффициент  знаменателя и коэффициент числителя  передаточной функции второй секции превышают по модулю единицу, в то время как установленный формат для квантователя Coefficient равен [16 15]. Это означает, что единственный бит, не предназначенный для хранения дробной части числа является знаковым, то есть квантование числа, модуль которого больше или равен единице, приведет к переполнению. Из-за эффекта переполнения, отмеченные выше коэффициенты квантованного фильтра, отличаются от соответствующих коэффициентов фильтра-прототипа, что отмечено в начале строки, знаком ''+'' (переполнением в сторону плюс бесконечности) или  ''-'' (переполнением в сторону  минус).

Следовательно, необходимо подобрать параметры квантования  таким образом, чтобы АЧХ фильтра  с учетом квантования обеспечивала требования технического задания.

Промасштабируем коэффициенты так, чтобы они по модулю не превышали  единицу. Это необходимо для повышения  точности расчетов при реализации фильтра. Для этого применим функцию Scale transfer function<=1.

Выведем АЧХ, ФЧХ, коэффициенты передаточных функций, график расположение нулей и полюсов на комплексной  плоскости  квантованного фильтра  с учетом масштабирования.

 

Рис. 16. АЧХ квантованного  фильтра с учетом масштабирования

 

Рис. 17. ФЧХ квантованного  фильтра с учетом масштабирования

 

 

Рис. 18. Нули и полюса квантованного  фильтра с учетом масштабирования

 

Рис. 19. Коэффициенты передаточной функции квантованного фильтра  с учетом масштабирования

 

Видим, что АЧХ и ФЧХ  передаточных функций квантованного  фильтра и фильтра прототипа  полностью совпадают. Так же спроектированный фильтр является стабильным, так как  нули и полюса функции передачи находятся  не  за пределами единичной окружности.

 

Квантование проводилось  для параметров, установленных по умолчанию, для следующей схемы: при нажатии кнопки Realize model выводится структура фильтра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 20. Транспонированная  реализация фильтра

 

 

Проверка работы фильтра

 

Входной сигнал:

Берем смесь информационного  сигнала на различных частотах одинаковой амплитуды и шума:

>> t=0:(1/12000):1;

ft=sin(2*pi*0.1e3*t)+sin(2*pi*0.7e3*t)+sin(2*pi*2e3*t)+sin(2*pi*4e3*t) 

>> randn('state', 0);

>> fn=ft+randn(size(t));

>> y=fft(fn);

>> m=abs(y);

>> f=(0:length(y)-1)*12000/length(y);

>> plot(f,m)

Рис. 21. Спектр сигнала на входе фильтра

 

H=freqs(b1,a1,2*pi*f);

F=H.*y;

m1=abs(F);

f1=(0:length(F)-1)*1000/length(F);

plot(f1,m1) , xlabel('Frecuency (Hz)'),ylabel('Magnitude (dB)');

 

Выходной сигнал:

Рис. 22. Спектр сигнала на выходе фильтра

 

 

При подаче на вход фильтра  сигнал, в полосе пропускания он проходит, а в полосе заграждения  подавляется.

Цифровой фильтр с требуемыми характеристиками построен.

 

Вывод: в ходе данной курсовой работы мы спроектировали линейный рекурсивный цифровой фильтр. Параметры получившегося фильтра совпадают с техническим заданием, из чего можно сделать вывод, что все расчеты были произведены верно и корректно.