Дискретные системы

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Января 2013 в 11:19, курс лекций

Описание работы

Дискретные системы – системы, в состав которых, помимо типовых динамических звеньев, входят одно или несколько звеньев, производящих квантование непрерывного сигнала в дискретный. Это или импульсный, или релейный элемент, или цифровое устройство.

Файлы: 1 файл

Дискретные системы.doc

— 1.33 Мб (Скачать файл)

.

 

В этом случае уравнение разомкнутой импульсной системы будет иметь вид

 

 

или при записи с помощью решетчатых функций, принимая

 

Учитывая, что  при , можно заменить бесконечную сумму на конечную с пределом суммы n (при ε = 0 это уравнение связывает входную g1[m] и выходную x1[n] величины импульсной системы в дискретные моменты времени)

 

 

Приведенное уравнение позволяет  определять процессы на выходе системы  по известному входному воздействию.

 

Пример.

 

 

1.  ;

2.  ;

1.   →      →

→ 

 

2.  , причем  →

→   →  .

 

 →  – разностное 
                уравнение 
                системы

 

 

Дискретное  преобразование Лапласа и z-преобразование

 

1. Определения дискретного преобразования Лапласа и z-преобразования.

 

Для исследования импульсных систем автоматического регулирования, а  также в других прикладных задачах, связанных с решетчатыми функциями и разностными уравнениями, используется преобразование, определяемое формулой

 

,        (1)

где q = σ + j – комплексная переменная. Такое преобразование называется дискретным преобразованием Лапласа. Функция , определяемая приведенной выше формулой, называется изображением. Для смещенных решетчатых функций дискретное преобразование Лапласа может быть определено как

.

 

Наряду с дискретным преобразованием  Лапласа в теории автоматического  регулирования применяется так называемое z-преобразование, определяемая формулой (1), но с вводом нового обозначения z = eq:

.

 

Изображения дискретного  преобразования Лапласа и z-преобразования связаны между собой соотношениями (принципиальной разницы между этими двумя преобразованиями нет):

 

 и 
.

 

Для нахождения z-изображений  решетчатых функций по заданному  оригиналу и наоборот имеются специальные таблицы.

 

Пример:   1[n] →  , .

 

Необходимо отметить, что  все функции времени, имеющие одинаковые значения в дискретные моменты времени, обладают одинаковыми z-преобразованиями и поэтому связь между функцией времени и ее z-изображением не является взаимно однозначной. Однако семейство модифицированных (для смещенных решетчатых функций) z-преобразований решетчатой функции для всех ε от 0 до 1 однозначно определяет непрерывную функцию.

 

Непосредственно из определения  следует, что функция  является периодической вдоль мнимой оси. Поэтому достаточно изучить свойства в любой полосе шириной 2π. Наиболее удобна для этой цели полоса – π < Im q ≤ + π, симметричная относительно действительной оси плоскости q, которую называют основной.


Преобразование комплексной переменной q по формуле z = eq переводит основную полосу плоскости q на всю расширенную плоскость комплексной переменной z. При этом отрезок мнимой оси – π < ≤ + π отображается в окружность единичного радиуса z = e j . Левая полуполоса Re q < 0 отображается во внутренность единичного круга | z | < 1, а правая – во внешность.

 

 

2. Обратное преобразование.

 

Обратное преобразование определяет решетчатую функцию по заданному  изображению:

 

.

 

Обратное z-преобразование изображения  выходной величины системы  f [n, ε] = Zε-1{F(z, ε)} может быть найдено на основании формулы обращения

 

 

где zi  – полюсы функции F(z, ε);  i = 1, 2, ..., k.

Вычет в простом полюсе определяется по формуле

 

 

а в полюсе кратности r

 

Дискретные значения переходного  процесса могут быть найдены также  путем разложения изображения выходной величины F(z, ε) в ряд Лорана по степеням z-1

 

F(z, ε) = F0 + F1 z-1 + F2 z-2 + F3 z-3 + ...  .

 

Коэффициенты этого ряда определяют значения выходной величины  замкнутой  импульсной  системы  в дискретные моменты времени t = (n + ε)T. Так как изображение F(z, ε) представляет собой отношение двух полиномов, то коэффициенты ряда F0, F1, F2, ... могут быть получены делением полинома числителя на полином знаменателя. Следует отметить, что при малых периодах дискретности ряд сходится медленно и объем вычислительной работы очень велик.

 

Пример. Определить переходный процесс при единичном ступенчатом входном воздействии на выходе импульсной системы, передаточная функция которой имеет следующий вид:

.

 

Решение. Z-изображение входного воздействия G(z) = z/(z-1).

Следовательно,   

 

= 0,646 z 1+1,25 z 2+1,42 z 3+1,34 z 4+1,2 z 5+1,11 z 6+1,08 z 7+...  .

 

Полученные коэффициенты сведены  в таблицу, на основании которой  на можно построить кривую переходного процесса.

 

Таблица  значений переходного  процесса

 

Время t = nT

Выходная величина y[nT]

0

1T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

  и т.д.

0

0,64

1,25

1,42

1,34

1,20

1,11

1,08

...


 

 

3. Свойства z-преобразования.

 

Свойства z-преобразования изложены в  литературе, поэтому ограничимся  рассмотрением некоторых из них, которые потребуются в дальнейшем.

 

1. Свойство линейности. Если F1(z, ε) = Z ε {f1(t)} и F2(z, ε) = Z ε {f2(t)}, тогда

 

Z ε {af1(t) + af2(t)}= a1 F1(z, ε) + a2 F2(z, ε).                  (1)

 

2. Теорема сдвига (смещения). Если  Z ε {f (t)} = F (z, ε) и t – произвольное положительное число, 
тогда

 

           (2.1)

 

где  ,  m – целая,  – дробная часть числа t/T;

если t = mT, тогда

Z ε {f (t – mT)} = Z ε {f [n – m]} = zm F (z, ε)     (2.2)

или

Z ε {f (t + mT)} =  zm {F (z, ε) – }        (2.3)

3. Изображение конечных разностей:

 

Z {Δf [n]} = (z – 1) F(z) – z f [0]         (3.1)

 

или для разности порядка k и нулевых начальных условиях

 

Z {Δkf [n]} = (z – 1)F(z)        (3.2)

 

4. Изображение конечных сумм:

 для полных сумм   –      ,                              (4.1)

для неполных сумм     –      .                               (4.2)

 

5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:

 

,                    (5.1)

начальное значение функции оригинала:

 

.                          (5.2)

 

6. Свертка функций. Если F1(z) = Z {f1(t)} и F2(z) = Z {f2(t)}, то

 

          (6.1)

и   

                         (6.2)

 

8. Изображение разностных уравнений. Пусть разностное уравнение, связывающее выходную координату y[nT] импульсной системы с ее входным воздействием f [nT], имеет следующий вид:

 

ay[n] + a1 y[n -1] + .. .+ am y[n - m] = b0 f [n] + b1 f [n -1] + ... + bl f [n - l],       (7.1)

 

при  m ³ l и y[n] º 0,  f [n] º 0 для всех n < 0.

 

Применив z-преобразование к исходному  уравнению, получим

 

a0Y(z) + a1 z-1Y(z) + .. .+ am z-mY(z) = b0F(z) + b1 z-1F(z) + ... + bl z-lF(z),

 

которое можно переписать в виде

 

A(z)Y(z) = B(z)F(z),                                        (7.2)

где полиномы

 и    .                     (7.3)

 

Из (7.2) находим изображение выходной координаты

 

Y(z) = W(z) F(z),                                           (7.4)

 

где                  .

 

По аналогии с определением передаточной функции непрерывных систем выражение W(z) называется дискретной передаточной функцией импульсной системы.

Разностное уравнение можно  найти по дискретной передаточной функции в обратной последовательности.

 

Пример. Написать разностное уравнение, связывающие выходную координату у[nT] и входное воздействие f [nT] импульсной системы, заданной передаточной функцией 

.

Решение.  Домножим числитель и знаменатель W(z) на z-2. В результате получим

.

На основании последнего выражения  разностное уравнение будет

 

a0 y[n] + a1 y[n - 1] + a2 y[n - 2] = b1 f [n - 1] + b2 f [n - 2].

 

Его решение при нулевых начальных  условиях y[n] º 0, f [n] º 0 для всех n < 0:

 

y[n] = [1/a0]´{b1 f [n - 1] + b2 f [n - 2] - a1 y[n - 1] - a2 y[n - 2]}.

 

Полученному решению соответствует  структурная схема, приведенная на рисунке.

Структурная схема импульсной системы

 

Связь между дискретным преобразованием Лапласа, z-преобразованием и собственно преобразованием Лапласа.

Справедливы формулы:

 

,

где F (q) – преобразование Лапласа для функции причем , где F1(p) – преобразование Лапласа от непрерывной функции f1(t).

Изображение для z-преобразование легко  получить из изображения дискретного  преобразования Лапласа посредством замены z = eq.

 

Комплексный спектр решетчатой функции времени. Комплексный спектр решетчатой функции времени f [n, ε] представляет собой комплексную функцию вещественного переменного w, определяемую следующим выражением:

   при  -¥ < w < ¥.

 

Таким образом, для получения комплексного спектра необходимо в изображении  решетчатой функции произвести замену  z = e jwT. Комплексный спектр решетчатой функции является периодической функцией w с периодом 2p/T:

 

и, следовательно, может рассматриваться  на любом интервале значений w, длина которого равна 2p/T. В качестве такого интервала выбирают интервал

 

Подобно любой комплексной функции  комплексный спектр может быть представлен  в показательной или алгебраической форме записи:

 

F (e jwT, ε) = А (w, ε)´e jy (w, ε) = U (w, ε) + jV (w, ε),

 

где A (w, ε), y (w, ε), U (w, ε), V (w, ε) называются соответственно амплитудным, фазовым, вещественным и мнимым спектрами решетчатой функции f [n, ε]. При фиксированном значении w спектр изображается вектором в плоскости (U, jV); при изменении w от -p/T до +p/T, конец вектора F(e jwT, ε) прочерчивает некоторую кривую, которая является графическим изображением спектра.

 

4. Передаточные функции  разомкнутых импульсных систем

 

Как было показано выше, выходной сигнал импульсной системы может быть найден из выражения

.

В этом выражении связываются входной g и выходной y сигналы разомкнутой импульсной системы, которые представлены решетчатыми функциями.

Подвергнув данную формулу z-преобразованию, на основании свертки функций  получим уравнение разомкнутой импульсной системы в изображениях:

 

Y (z, ε) = W(z, ε) G(z)

 

где Y (n, ε) = Z ε {y[n, ε]};  G(z) = Z{g[n]};  W(z, ε) = Z ε {wпнч [n, ε]}.

Выражение

wпнч[n, ε] z - n

называется дискретной передаточной функцией разомкнутой импульсной системы.

Особенностью дискретной передаточной функции является то, что она зависит от относительного времени ε, т.е. изменяется с течением времени внутри каждого периода дискретности.

Однако большинство задач по исследованию дискретных систем может  быть решено при использовании передаточной функции W(z).

При практических расчетах часто представляют z-преобразование непрерывной функции wпнч(t) в виде выражения

Информация о работе Дискретные системы