Вариационные ряды

1. Вариационные  ряды - это раздел математической статистики - науки о методах обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений в социальных, экономических и технических системах.

Установление закономерностей, которым  подчиняются массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных - сведений о том, какие значения (количественные или качественные) принял в результате наблюдений признак X, который интересует исследователя.

Признак X в процессе наблюдений может  принимать конкретные значения, которые обозначаются буквами латинского алфавита x_i  
с индексом i, указывающим его номер в ряде наблюдений, где iÎ[1,n].

Различают дискретные и непрерывные  признаки. Дискретные признаки – это признаки, которые принимают отдельные значения x_i , отличающиеся друг от друга на некоторую конкретную величину (обычно целое значение или число с одним дробным разрядом).  
Значения дискретного признака в ряде наблюдений могут совпадать. Различные значения признака Х называются вариантами и характеризуются частотой варианта mx. Частота варианта mx_j показывает, сколько раз встречается данное значение признака x_j в ряде наблюдений. Сумма частот вариантов равна общему количеству наблюдений признака n. По данным наблюдений за дискретным признаком строят дискретный вариационный ряд.

Непрерывные признаки - это признаки, которые принимают любые значения в некотором числовом интервале, отличаясь один от другого на сколь угодно малую величину. Количество возможных значений непрерывного признака бесконечно. Значения непрерывного признака задаются интервалами, которые характеризуются интервальной частотой m. Интервальная частота m_j показывает, сколько значений признака X принадлежит данному j-му интервалу (не выходит по значению за границы интервала). По данным наблюдений за непрерывным признаком строят интервальный вариационный ряд.

Вариационные ряды

Вариационный ряд   как   результат  первичной обработки данных 

наблюдений .  Дискретный  и интервальный ряды. Средняя арифмети

 

 

ческая и дисперсия вариационного ряда, упрощенный способ их вычис

ления [1, 8.1- 8.4 ].

 

14

Прежде чем непосредственно изучать выборочный метод, необ

ходимо ознакомиться с простейшей статистической обработкой

опытных данных, построением вариационных рядов  и  вычислением

их  числовых  характеристик.

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реали 

зацией )  распределения  признака (случайной величины), а его чис

ловые характеристики (средняя арифметическая х и дисперсия s2) -

аналогами соответствующих числовых характеристик случайной

величины - математического ожидания M(X) и дисперсии D(X).

Точно так же понятие частости (относительной частоты) w для ва

риационного ряда аналогично понятию вероятности p для случай

ной величины.

Необходимо четко знать формулы вычисления числовых ха

рактеристик ряда [1, 8.2, 8.3]. Более сложные формулы, используе

мые в упрощенном способе расчета [1, 8.4], являются вспомога

тельными. Их сложность объясняется переходом в расчетах от рас

сматриваемых вариантов к условным.

Однако некоторое усложнение нахождения числовых характе

ристик по этим формулам компенсируется снижением трудоемкос

ти расчетов за счет существенного упрощения условных вариантов

по сравнению с исходными.

Тема 9. Основы выборочного метода

Сплошное и выборочное наблюдения. Генеральная и выборочная

совокупности. Собственнослучайная выборка с повторным и беспов

торным отбором членов. Репрезентативная выборка. Понятие

об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок:

несмещенность, состоятельность и эффективность. Оценка гене

ральных доли и средней по собственнослучайной выборке. Несмещен

ность и состоятельность выборочных доли и средней. Смещенность

и состоятельность выборочной дисперсии как оценки генеральной

дисперсии. Интервальная оценка параметров. Доверительная вероят

ность, надежность оценки и предельная ошибка выборки. Формулы

доверительных вероятностей для средней и доли. Объем выборки

[1, 9.1, 9.2, 9.4, 9.6].

 

15

Выборочный метод широко применяется на практике. Однако

значение этой темы значительно шире, поскольку концепция выбор

ки лежит в основе методологии математической статистики. Соотно

шение между характеристиками выборочной и генеральной сово

купностей есть соотношение между опытными данными (результа

тами наблюдений) и теоретической моделью.

Чтобы иметь возможность по данным выборки судить о гене

ральной совокупности, она должна быть отобрана случайно. Поэто

му выборочные характеристики - выборочные средняя х , доля w

и дисперсия s2 - величины случайные, в отличие от их аналогов в ге

неральной совокупности

0

х , p и

2 - величин неслучайных.

Необходимо знать свойства выборочных оценок (несмещен

ность, состоятельность, эффективность) и уметь обосновывать не

смещенность и состоятельность выборочных средней и доли. При

этом следует помнить, что основное требование, предъявляемое

к выборочной оценке

n, заключается в том, чтобы ее рассеяние отно

сительно оцениваемого параметра

, то есть

2

n

M

, было мини

мальным.

Для

несмещенной

оценки,

для

которой

2

2

n

nn

MD

,

это требование означает ее эффектив

ность. Но даже наилучшая оценка является лишь приближенным

значением неизвестного параметра и, будучи величиной случайной,

может существенно отличаться от самого параметра.

Поэтому наряду с точечной рассматривают интервальную оцен

ку параметра, то есть такой числовой интервал, который с заданной

доверительной вероятностью (надежностью) накрывает неизвест

ное значение параметра. Программой предусматривается построе

ние доверительного интервала для генеральной средней и генераль

ной доли собственнослучайных выборок (повторной и бесповтор

ной). Основой являются формулы доверительной вероятности для

средней и доли [1, формулы (9.23), (9.24)].

Необходимо усвоить три типа задач на выборку, сводящиеся

к определению предельной ошибки выборки или границ доверитель

ного интервала, надежности оценки и объема выборки.

При решении задач на нахождение объема выборки следует

учесть, что это не просто задачи на вычисление неизвестной величи

 

16

ны n из формулы, выражающей предельную ошибку выборки через

дисперсию признака. Ведь обычно объем выборки надо знать до

проведения выборочного наблюдения, но в этом случае неизвестны

не только дисперсии признака

2 или рq, но даже их оценки. Поэто

му вместо неизвестных значений

2 или рq берут выборочные харак

теристики s2 или w(1 - w) предшествующего исследования в анало

гичных условиях, то есть полагают, что 22

sp

,.

w Если ника

ких сведений о

2 или р нет, то в качестве 2 или р используют их вы

борочные оценки по специальной пробной выборке небольшого

объема и по формулам (9.33)-(9.36) находят объем основной вы

борки. При оценке генеральной доли р вместо проведения пробной

выборки можно в формулах объема выборки произведение

рq = р(1 - р) заменить его максимальным значением, равным 0,25.

Если по условию задачи объем бесповторной выборки значи

тельно меньше объема генеральной совокупности или генеральная

совокупность бесконечна, то расчет необходимых характеристик

проводят по формулам для повторной выборки

 

 

 

 

 

2.   Задачи математической статистики.

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные  явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

 Первая задача математической статистики—указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

 Вторая задача математической статистики—разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид  которого известен; оценка зависимости  случайной величины от одной или  нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения  или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения  числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

 Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.  

 

 

2.      Способы сбора статистических данных.

2.1. Генеральная и выборочная совокупности.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным—контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и выборочную совокупности:

 Генеральной совокупностью называют совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений,  проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов.

Замечание: Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

 Выборочной совокупностью  называют часть отобранных объектов из генеральной совокупности.

 Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки п =100.

Число объектов генеральной  совокупности N значительно превосходит объем выборки n .  

2.2. Способы выборки.

При составлении выборки можно  поступать двумя способами: после  того как объект отобран и над  ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

 Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

 Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна бытьрепрезентативной (представительной) .

 В силу закона больших чисел  можно утверждать, что выборка  будет репрезентативной, если ее осуществить  случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. 

 

На практике применяются различные  способы отбора. Принципиально эти  способы можно подразделить на два  вида:

1. Отбор, не требующий  расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.

2. Отбор, при котором генеральная  совокупность разбивается на  части. Сюда относятся: а) типический  отбор;б) механический отбор; в) серийный отбор.

 Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности и после обследования не возвращают (бесповторный отбор) или возвращают         ( повторный отбор) в генеральную совокупность.      

 Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.