Вариационные ряды, ряды динамики, индексы

Задание 1.

Тема. Средние  величины и показатели вариационных рядов.

Затраты времени работников предприятия на дорогу от дома до работы представлены в таблице.

Затраты времени  на дорогу одним работником, мин	10	20	30	40	50	60	70	80	90	Всего
Число работников, чел	10	50	70	90	160	120	100	80	20	700

Определить среднее время  на дорогу одного работника и остальные  показатели задания.

Решение:

1. Среднее время на дорогу одного работника определим по формуле  средней арифметической взвешенной:

             

Где х_i - значение осредняемого признака

f_i - частота

 53,1     

2. Размах вариации представляет  собой разность  между наибольшим и наименьшим значениями вариант, т.е.

мин  

3. Среднее линейное отклонение определяется из отношения суммы, взятой по абсолютной величине отклонения всех вариант  от средней арифметической, к объему всей совокупности.

 

 

 

            

 

4. Дисперсия – это средняя из квадратов отклонений значений признака от его средней арифметической величины.

                

      

 5. Среднее квадратичное отклонение – это корень квадратный из дисперсии.

   

   

6. Мерой сравнения степеней  колеблемости для двух, трех и  более вариационных рядов служит  показатель, который носит название  коэффициента вариации. Коэффициент  вариации показывает однородность  выбранной совокупности: чем он  меньше, тем более однородна совокупность. Для однородной совокупности  он не превышает 33%.

 

7. Мода – варианта, встречающаяся в изучаемой совокупности чаще всего, т.е. варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Так как наш ряд дискретный, соответственно, мода равна 50.

Медиана, варианта, находящаяся  в середине ряда распределения. В нашем случае медиана равна 50.

8. Коэффициент асимметрии.

,

т.е. коэффициент асимметрии больше 0, Мода меньше среднего значения признака и это говорит о небольшой правосторонней асимметрии.

9. Графическое изображение.

 

 

Вывод:

Среднее время на дорогу одного работника составило 53,1 мин. Разница между наибольшим и наименьшим значениями затрат времени на дорогу одним работником составила 80 мин. Коэффициент вариации составил 35,39%, что свидетельствует о неоднородности выбранной совокупности. Наибольшая частота количества работников наблюдается при значении затрат времени на дорогу одним работником, равное 50. Коэффициент асимметрии больше 0, что свидетельствует о правосторонней асимметрии.

 

 

 

 

Задание 2.

Тема. Ряды динамики.

1.По данным таблицы:

	2005г	2006г	2007г	2008г	2009г	2010
Валовый сбор зерна в хозяйствах всех категорий, млн. т	77,8	78,2	81,5	108,2	97,1	61,0

Определить основные аналитические  показатели рядов динамики (по цепной и базисной схемам):

- абсолютный прирост

- темп роста

- темп прироста

- абсолютное значение 1% прироста

- средний уровень ряда  динамики

- средний темп роста  и средний темп прироста

- среднегодовой темп роста

- среднегодовой темп прироста

 

Решение:

Абсолютный прирост –  разность между сравниваемым (у_i) и предыдущим (y_i-1) или базисным (у₀) уровнем.

 

 

Темп роста – отношение  сравниваемого уровня к предыдущему  или базисному выраженное в процентах.

 

 

Темп прироста – отношение  абсолютного прироста за анализируемый  период к предыдущему или базисному  выраженное в процентах. Можно так  же рассчитать как темп роста минус 100%.

 

 

Или  
100

Абсолютное значение 1% прироста – отношение абсолютного прироста за анализируемый период к темпу  прироста за этот же период.

 

Годы	Валовый сбор зерна в хозяйствах всех категорий, млн. т	Абсолютный прирост, млн. т		Темп роста, %		Темп прироста, %		Абсолют-ное значение 1% прироста, млн. т
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
2005	77,8	-	-	-	-	-	-	-
2006	78,2	0,4	0,4	100,5	100,5	0,5	0,5	0,778
2007	81,5	3,3	3,7	104,2	104,8	4,2	4,8	0,782
2008	108,2	26,7	30,4	132,8	139,1	32,8	39,1	0,815
2009	97,1	-11,1	19,3	89,7	124,8	-10,3	24,8	1,082
2010	61,0	-36,1	-16,8	62,8	78,4	-37,2	-21,6	0,971

Таким образом, наблюдается  ежегодный прирост валового сбора  зерна за период 2005-2008 г.г., а за период 2009 - 2010 г.г. - спад.  Общий спад за период с 2005 по 2010 год составил 16,8 млн. т. или 21,6%. Максимальный абсолютный прирост и темп прироста объема производства был получен в 2008 году  - 26,7 млн.т. или 32,8%. Наибольшее же абсолютное значение 1% прироста характерно для 2009 года – 1,082 млн.т.

Найдем средние показатели динамики:

Средний уровень интервального  ряда находим по формуле:

 

Где n – число уровней ряда.

 

Среднегодовой абсолютный прирост:

 

Где _i – цепные темпы абсолютного прироста.

 

Среднегодовой темп роста:

 

 

Среднегодовой темп прироста:

 

 

Таким образом, средний валовый  сбор зерна в период с 2005 по 2010 гг. включительно составил 83,97 млн.т. При этом ежегодно  валовый сбор зерна за указанный период понижался в среднем на 3,36 млн.т или на 4%.

2. По данным:

месяц	Товарооборот магазина, тыс. руб.
январь	540
Февраль	785
Март	810
Апрель	895
май	1290
Июнь	1595
июль	2625
август	3850
сентябрь	3020
октябрь	2655
ноябрь	1520
декабрь	790

Вычислить индекс сезонности и изобразить графически сезонную волну.

Индекс сезонности показывает, во сколько раз фактический уровень  ряда в момент или интервал времени  больше среднего уровня. Он определяется по формуле:

 

Где I_S – уровень сезонности

Y_i – текущий уровень ряда

Y_ср – средний уровень ряда.

Средний уровень ряда определим  по формуле средней арифметической простой:

 

 

месяц	Индекс сезонности, %
январь	31,8
Февраль	46,2
Март	47,7
Апрель	52,7
май	76
Июнь	93,9
июль	154,6
август	226,7
сентябрь	177,9
октябрь	156,4
ноябрь	89,5
декабрь	46,5

 

Сезонная волна имеет  следующий вид:

На основании полученных показателей сезонности и графика  можно сделать вывод о наличии  сезонности спроса на данный  товар, причем увеличение спроса происходит в летний период, а снижение в  зимний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3.

Тема. Индексы.

На основании приведенных  данных вычислить:

1. Рост производительности труда по отделам и по универмагу в целом;
2. Оценить влияние структурных сдвигов на изменение производительности труда;
3. Какая часть абсолютного прироста товарооборота получена за счет увеличения численности продавцов, а какая за счет повышения производительности труда;
4. Абсолютную экономию численности продавцов – всего и в том числе за счет структурных сдвигов в товарообороте и повышении производительности труда продавцов в отделах.

Отделы обувного магазина	Товарооборот, тыс. руб.		Выручка на одного продавца, тыс. руб.
	2010 г.	2011 г.	2010 г.	2011г.
Мужской обуви	100	140	2,0	2,8
Женской обуви	130	150	2,4	2,5

Решение:

Производительность труда  определяется как величина, обратная трудоемкости (затратам труда на единицу продукции):

w=1/t

Определим производительность труда по каждому виду продукции  в базисном и отчетном периодах.

Отдел мужской обуви:

W=1/t=1/2,0=0,500 – в  2010 году

W=1/t=1/2,8=0,357 – в  2011 году

Отдел женской обуви:

W=1/t=1/2,4=0,417 – в  2010 году

W=1/t=1/2,5=0,400 – в  2011 году

Универмаг в целом:

W=1/t=1/4,4=0,227 – в  2010 году

W=1/t=1/5,3=0,187 – в  2011 году

 

Абсолютное отклонение определим  как разность отчетного и базисного  показателей.

Относительное – как отношение отчетного показателя к базисному, выраженное в процентах, минус 100%:

По отделу мужской обуви: 0,357/0,500*100% –100% =71,4% – 100%= - 28,6%

По отделу женской обуви: 0,400/0,417*100% –100% =95,9% –110% = - 4,1%

По универмагу в целом: 0,187/0,227*100% – 100% = 82,4% – 100% = -17,6%

 

Динамика производительности труда

	Производительность труда		Отклонение
Отдел	2010 г.	2011 г.	Абсолютное	относительное, %
Мужская обувь	0,500	0,357	–0,143	–28,6%
Женская обувь	0,417	0,400	–0,017	–4,10%
Универмаг	0,227	0,187	–0,040	–17,6%

 

Производительность труда  по двум видам продукции понизилась в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Определим общий индекс производительности труда (по трудоемкости):

I_w=∑t₀q₁/∑t₁q₁=(140*2.0+150*2.4)/(140*2.8+150*2.5)=640/767=0.834 или 83,4%, что означает, что производительность труда по двум отделам понизилась на 16,6% в отчетном периоде по сравнению с базисным

(83,4% – 100%. = -16,6%).

Определим общий индекс трудоемкости:

I_t=∑t₁q₁/∑t₀q₀=(140*2.8+150*2.5)/(100*2.0+130*2.4)=767/512=1.498 или 149.8%, т.е. выручка от продажи обуви повысилась на 49,8% (149,8% - 100% = 49,8%).

Определим экономию (перерасход) численности продавцов, полученную в результате роста

производительности труда:

Е=∑t₀q₁–∑t₁q₁=(140*2.0+150*2.4)–(140*2.8+150*2.5)=640–767 = –127 (ед.) – экономия.

(в нашем случае  - перерасход)

а) общий индекс товарооборота 

 

 

∆Z = ∑q₁ • p₁ - ∑q₀ • p₀

∆Z = 767 - 512 = 255

За счет всех факторов общий  товарооборот увеличился на 49.8% или  на 255

б) общий индекс цен (метод Пааше)

 

 

∆Z_p = ∑q₁ • p₁ - ∑q₁ • p₀

∆Z_p = 767 - 640 = 127

За счет изменения цен  сводный товарооборот возросли на 19.84% или на 127

в) общий индекс физического  объема продукции (индекс Ласпейреса)