Структурные средние величины

1. Теоретическое задание  на тему: «Структурные средние  величины».

Структурные средние

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности. Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана. Также кроме моды и медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

В данном теоретическом задании мы будем рассматривать Моду и Медиану.

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса, например при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей, а также для регистрации цен. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

•  — значение моды
•  — нижняя граница модального интервала
•  — величина интервала
•  — частота модального интервала
•  — частота интервала, предшествующего модальному
•  — частота интервала, следующего за модальным

Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.

Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение.

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот   , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

•  — искомая медиана
•  — нижняя граница интервала, который содержит медиану
•  — величина интервала
•  — сумма частот или число членов ряда
•  - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих      медианному
•  — частота медианного интервала

Пример. Найти моду и медиану.

Возрастные группы	Число студентов	Сумма накопленных частот ΣS
До 20 лет	346	346
20 — 25	872	1218
25 — 30	1054	2272
30 — 35	781	3053
35 — 40	212	3265
40 — 45	121	3386
45 лет и более	76	3462
Итого	3462

Решение: 
В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

Это значит, что модальный возраст студентов равен 27 годам.

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Σfi/2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит, что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

 

2. Решение задачи.

Списочная численность работников предприятия  на начало каждого месяца составляет (чел):

Дата	Количество (чел)
01.01.2009	367
01.02.2009	373
01.03.2009	371
01.04.2009	370
01.05.2009	366
01.06.2009	369
01.07.2009	374
01.08.2009	375
01.09.2009	371
01.10.2009	372
01.11.2009	378
01.12.2009	372
01.01.2010	370

 Требуется рассчитать среднюю  численность  работников:

- каждого месяца

-  каждого квартала

-  каждого полугодия

-  годовую численность

Используя данные:

- на начало и конец года

- на начало, середину  и конец  года

-  на начало каждого квартала

-  на начало каждого месяца

Представить численность работников в относительных величинах, в %.

 

Решение

Вычислим среднемесячную численность сотрудников за каждый месяц квартала как среднее между численностью работников на начало и конец данного месяца. Используем формулу  простой средней арифметической.

 

т.е. средний уровень ряда равен сумме уровней ряда, деленной на их число.

 

 Тогда:

Месяц	Среднемесячная численность
январь	(367+373)/2=370
февраль	(373+371)/2=372
март	(371+370)/2=370,5
апрель	(370+366)/2=368
май	(366+369)/2=367,5
июнь	(369+374)/2=371,5
июль	(374+375)/2=374,5
август	(375+371)/2=373
сентябрь	(371+372)/2=371,5
октябрь	(372+378)/2=375
ноябрь	(378+372)/2=375
декабрь	(372+370)/2=371

 

Вычислим среднюю численность сотрудников за квартал.

1квартал	(367+370)/2=368,5
2квартал	(370+374)/2=372
3 квартал	(374+372)/2=373
4 квартал	(372+370)/2=371

 

 

 

 

 

 

Вычислим среднюю  численность сотрудников за полугодие используя данные на начало, середину  и конец года

1 полугодие	(367+374)/2=370,5
2 полугодие	(374+370)/2=372

 

Вычислим среднюю  численность сотрудников за год используя данные:

- на начало  и конец года: 367+370/2=368,5

Представим численность работников в относительных величинах, в %.

Дата	Количество (чел)	Абсолютный прирост, чел	Темп роста в %
01.01.2009	367
01.02.2009	373	6	101,6
01.03.2009	371	-2	99,5
01.04.2009	370	-1	99,7
01.05.2009	366	-4	98,9
01.06.2009	369	3	100,8
01.07.2009	374	5	101,4
01.08.2009	375	1	100,3
01.09.2009	371	-4	98,9
01.10.2009	372	1	100,3
01.11.2009	378	6	101,6
01.12.2009	372	-6	98,4
01.01.2010	370	-2	99,5