Статистическое оценивание параметров

, Н₀ – принимается.

 

3.2 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий заданным величинам для совокупности .

Требуется проверить: Н₀ : = 60

                                      Н₁ : = 57

Для проверки строим статистику :

 – то строим левостороннюю  критическую область 

, Н₀ – принимается.

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий заданным величинам для совокупности .

Требуется проверить: Н₀ : = 100

                                      Н₁ : = 111,35

Для проверки строим статистику :

 – то строим правостороннюю  критическую область 

, Н₀ – отвергается.

 

3.3 Проверка гипотезы  о равенстве генеральных дисперсий  заданным величинам для совокупности  .

Требуется проверить: Н₀ : = 350

                                      Н₁ : = 320,6

Строим статистику :

, то строится левосторонняя  критическая область   :

, Н₀ – принимается.

Проверка гипотезы о  равенстве генеральных дисперсий  заданным величинам для совокупности .

Требуется проверить: Н₀ : = 190

                                     Н₁ : = 77,4

Строим статистику :

, то строится левосторонняя  критическая область   :

, Н₀ – отвергается.

 

3.4 Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей для совокупности .

Требуется проверить: Н₀ : =

                                      Н₁ : >

Строим статистику :

, Н₀ – отвергается.

 

3.5 Проверка гипотезы  о равенстве математических ожиданий  двух генеральных совокупностей  не имеет смысла, так как гипотеза  о равенстве дисперсий была отвергнута.

Задание 4:

Рассчитать парный коэффициент  корреляции между  и ; проверить значимость парного коэффициента корреляции; построить доверительный интервал для парного коэффициента корреляции ( = 0,95)

 

Основные теоретические  моменты: Различные постановки задач статистического исследования зависимостей можно классифицировать:

1. Задачи корреляционного анализа – это задачи исследования наличия взаимосвязей между отдельными группами переменных.
2. Задачи регрессивного анализа – это задачи связанные с установлением аналитических зависимостей между переменной и одной или несколькими переменными .

Различают 2 вида зависимостей между экономическими явлениями: функциональную и стохастическую.

При функциональной зависимости  каждому значению одной переменной соответствует определенное значение другой.

В экономике в большинстве  случаев между переменными величинами существуют зависимости, когда каждому значению одной переменной соответствует какое-то определенное значение другой переменной, иначе говоря, каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой переменной. Такая зависимость называется статистической или стохастической.

Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость.

Корреляционной зависимостью между двумя переменными величинами называется функциональная зависимость  между значениями одной из них  и условным математическим ожиданием другой.

В настоящее время  корреляционный анализ определяется как  метод, применяемый тогда, когда  данные наблюдений или эксперимента можно считать случайными и выбранными из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону.

Случайная величина – называется распределенной по двумерному нормальному закону, если её совместная плотность имеет вид:

                           (1)

 

где   – математические ожидания;

            – средние квадратические отклонения

            – коэффициент корреляции между и .

Для исследования наличия  стохастической зависимости между случайными величинами и вводится понятие ковариации: .

Необходимым условием независимости  и является равенство 0 ковариации, достаточным условием наличия стохастической зависимости между и служит отличие от 0 ковариации.

Анализируя ковариацию, мы можем сделать вывод только о наличии связи или её отсутствии, но нельзя измерить её силу и степень зависимости величин.

В связи с этим необходим  переход к безразмерной величине. Всех этих недостатков лишен парный коэффициент корреляция:

Случайные величины и называются не коррелируемыми, если =0. Если =+/-1, то это свидетельствует о наличии функциональной связи между величинами.

Парный коэффициент  корреляции можно рассматривать  как характеристику степени линейной зависимости случайных величин. При совместном нормальном законе распределения случайных величин и , выражение для условных математических ожиданий выражается линейными функциями регрессии:

 

показывает изменение  условных математических ожиданий в  зависимости от изменения соответствующих  значений случайных аргументов.

Корреляционное отношение. В качестве характеристики степени  тесноты связи применяется корреляционное отношение:

 

Эта величина получила название эмпирического корреляционного  отношения.

где  – общая дисперсия;

       – остаточная дисперсия;

       – остаточная дисперсия;

Свойства корреляционного  отношения:

1. корреляционное отношение есть неотрицательная величина, причем измеряется от 0 до 1.
2. если корреляционное отношение равно 0, то корреляционная связь отсутствует.
3. если корреляционное отношение равно 1, то между случайными величинами существует функциональная зависимость.

Частный коэффициент  корреляции. Частный коэффициент  корреляции необходим для рассмотрения 3-х и более случайных величин. Частным коэффициентом корреляции называется коэффициент корреляции между и от величины при фиксированном .

В качестве характеристики линейной связи между одной случайной  величиной  и совокупностью случайных величин , служит множественный коэффициент детерминации:

Чем лучше приближается случайная величина линейными комбинациями случайных величин, тем ближе коэффициент к 1.

Оценка параметров корреляционного  анализа. После выбора показателя стохастической связи задача корреляционного анализа  состоит в нахождении его оценки, а также в проверке статистической гипотезы о значимом отличие его от 0 на основе экспериментальных данных.

На практике при изучении зависимости между 2-мя случайными величинами и , по выборке , i изменяется от 1 до n, общую картину их взаимной изменчивости можно получить, изобразив на координатной плоскости все точки, это изображение называют корреляционным полем.

Уже по виду корреляционного  поля можно сделать вывод о  наличии и характере связи, для экспериментальных данных значение точечной оценки коэффициента корреляции вычисляется по формуле:

Оценка уравнения регрессии  будет иметь вид:

Меру тесноты линейной связи оценивают с помощью выборочного коэффициента детерминации, но если закон совместного распределения х и у неизвестен и наблюдается нелинейная зависимость, то в качестве меры связи используют корреляционное отношение:

 

Решение.

1. Для расчета парного коэффициента корреляции воспользуемся формулой:

Связь между признаками прямая, слабая.

2. Для оценки значимости парного коэффициента корреляции воспользуемся t-критерием Стьюдента.

Требуется проверить: Н₀ : = 0 (критерий статистически не значим)

                                      Н₁ : 0 (критерий статистически значим)

Для проверки строим статистику :

=

, Н₀ – принимается.

Таким образом, рассчитанный парный коэффициент корреляции статистически  не значим.

3. Для построения доверительного интервала для парного коэффициента корреляции, воспользуемся формулой:

Таким образом, интервал для парного коэффициента корреляции составляет от 0,11 до 0,55.

 

Задание 5

Оценить уравнение регрессии У на Х, построить линию регрессии.

 

Основные теоретические  моменты: Задачи регрессивного анализа – это задачи связанные с установлением аналитических зависимостей между переменной и одной или несколькими переменными .

По форме зависимости  различают:

1. линейную регрессию, которая выражается уравнением прямой (линейной функцией) вида:
2. нелинейную регрессию, которая выражается уравнениями вида: (парабола), (гипербола) и т.д.

По направлению связи различают:

1. прямую регрессию (положительную), возникающую при условии, если с увеличением или уменьшением независимой величины значения зависимой также соответственно увеличиваются или уменьшается;
2. обратную (отрицательную) регрессию, появляющуюся при условии, что с увеличением или уменьшением независимой величины зависимая соответственно уменьшается или увеличивается.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически.

На практике при изучении зависимости между 2-мя случайными величинами и , по выборке , i изменяется от 1 до n, общую картину их взаимной изменчивости можно получить, изобразив на координатной плоскости все точки, это изображение называют корреляционным полем.

Уже по виду корреляционного  поля можно сделать вывод о  наличии и характере связи, для  экспериментальных данных значение точечной оценки коэффициента корреляции вычисляется по формуле:

Оценка уравнения регрессии  будет иметь вид:

Меру тесноты линейной связи оценивают с помощью  выборочного коэффициента детерминации, но если закон совместного распределения х и у неизвестен и наблюдается нелинейная зависимость, то в качестве меры связи используют корреляционное отношение:

 

Решение:

Уравнение регрессии  имеет вид: , для нахождения параметров необходимо построение следующего уравнения:

Для реализации уравнение  имеет вид: , .

Графически линия регрессии  выглядит следующим образом: