Автор работы: Пользователь скрыл имя, 31 Мая 2013 в 10:47, контрольная работа
1. Задание 1. Дана статистическая совокупность, характеризующая длину нити в пряже (в метрах):
51,55 52,09 82,72 84,58 78,89 73,74
61,25 62,00 53,97 55,07 85,73 76,48
67,13 67,64 62,41 62,50 58,10 80,40
69,34 69,49 67,93 68,28 62,84 86,34
71,85 72,71 70,02 70,56 68,97 60,21
75,18 75,64 72,78 73,05 70,69 64,93
77,47 77,89 75,84 76,03 73,68 69,10
51,59 82,51 78,04 78,24 76,11 71,32
61,86 53,08 82,94 85,06 80,34 73,78
67,37 62,39 54,74 57,12 86,11 76,94
69,40 67,86 62,46 62,80 59,38 80,58
72,27 69,70 68,03 68,74 63,44 86,55
75,32 72,74 70,26 70,65 69,07 60,21
77,59 75,71 73,03 73,59 71,13 65,46
69,34 78,03 76,01 76,05 69,34 71,40
65,65 60,36 78,11 80,73 76,98 73,96
71,54 77,38 80,76 74,98
1) Построить по этим данным интервальный вариационный ряд случайной величины X с равными интервалами (первый интервал 51,55 - 56,55 и т.д.) и начертить гистограмму.
2) Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
3) Вычислить среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выбо-рочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, началь-ные и центральные моменты до третьего порядка включительно, величину асимметрии и эксцесс, ошибки асимметрии и эксцесса.
4) Используя критерий – Пирсона по данному вариационному ряду при уровне значимости =0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Задание 2. Для исследования зависимости объема производства (Y) от основных фондов (X) получены статистические данные по 55 предприятиям за год.
yi xj, тыс. руб.
12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5
250-260 1
260-270 3
270-280 1 2
280-290 3 3 1
290-300 8 9
300-310 2 7 6
310-320 2
320-330 1 3
330-340 2
340-350 1
а) Вычислить групповые средние и , построить корреляционные поля;
б) предполагая, что между х и у существует линейная корреляционная зависимость
• найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на корреляционных полях;
• вычислить коэффициенты корреляции и детерминации, сделать выводы о тесноте и направлении связи;
• вычислить среднюю абсолютную процентную ошибку; для коэффициента корре-ляции генеральной совокупности; определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности = 0,05.
Задание 1. Дана статистическая совокупность, характеризующая длину нити в пряже (в метрах):
51,55 |
52,09 |
82,72 |
84,58 |
78,89 |
73,74 |
61,25 |
62,00 |
53,97 |
55,07 |
85,73 |
76,48 |
67,13 |
67,64 |
62,41 |
62,50 |
58,10 |
80,40 |
69,34 |
69,49 |
67,93 |
68,28 |
62,84 |
86,34 |
71,85 |
72,71 |
70,02 |
70,56 |
68,97 |
60,21 |
75,18 |
75,64 |
72,78 |
73,05 |
70,69 |
64,93 |
77,47 |
77,89 |
75,84 |
76,03 |
73,68 |
69,10 |
51,59 |
82,51 |
78,04 |
78,24 |
76,11 |
71,32 |
61,86 |
53,08 |
82,94 |
85,06 |
80,34 |
73,78 |
67,37 |
62,39 |
54,74 |
57,12 |
86,11 |
76,94 |
69,40 |
67,86 |
62,46 |
62,80 |
59,38 |
80,58 |
72,27 |
69,70 |
68,03 |
68,74 |
63,44 |
86,55 |
75,32 |
72,74 |
70,26 |
70,65 |
69,07 |
60,21 |
77,59 |
75,71 |
73,03 |
73,59 |
71,13 |
65,46 |
69,34 |
78,03 |
76,01 |
76,05 |
69,34 |
71,40 |
65,65 |
60,36 |
78,11 |
80,73 |
76,98 |
73,96 |
71,54 |
77,38 |
80,76 |
74,98 |
Решение:
Расположим данные величины в порядке возрастания, чтобы удобно было делить на группы:
51,55 |
59,38 |
62,46 |
67,37 |
69,1 |
70,56 |
72,71 |
73,96 |
76,05 |
78,03 |
80,76 |
86,55 |
51,59 |
60,21 |
62,5 |
67,64 |
69,34 |
70,65 |
72,74 |
74,98 |
76,11 |
78,04 |
82,51 |
|
52,09 |
60,21 |
62,8 |
67,86 |
69,34 |
70,69 |
72,78 |
75,18 |
76,48 |
78,11 |
82,72 |
|
53,08 |
60,36 |
62,84 |
67,93 |
69,34 |
71,13 |
73,03 |
75,32 |
76,94 |
78,24 |
82,94 |
|
53,97 |
61,25 |
63,44 |
68,03 |
69,4 |
71,32 |
73,05 |
75,64 |
76,98 |
78,89 |
84,58 |
|
54,74 |
61,86 |
64,93 |
68,28 |
69,49 |
71,4 |
73,59 |
75,71 |
77,38 |
80,34 |
85,06 |
|
55,07 |
62 |
65,46 |
68,74 |
69,7 |
71,54 |
73,68 |
75,84 |
77,47 |
80,4 |
85,73 |
|
57,12 |
62,39 |
65,65 |
68,97 |
70,02 |
71,85 |
73,74 |
76,01 |
77,59 |
80,58 |
86,11 |
|
58,1 |
62,41 |
67,13 |
69,07 |
70,26 |
72,27 |
73,78 |
76,03 |
77,89 |
80,73 |
86,34 |
Построим интервальный ряд распределения частот, относительных частот и накопленных частот. Количество интервалов примем равным 7.
Определяем размах варьирования признака х.
хmin = 51,55; хmax = 86,55; R = хmax – хmin = 86,55 – 51,55 = 35.
Найдем величину интервала: h = R : m = 35 : 7 = 5.
1-й интервал: |
(51,55; 56,55) |
2-й интервал: |
(56,55; 61,55) |
3-й интервал: |
(61,55; 66,55) |
4-й интервал: |
(66,55; 71,55) |
5-й интервал: |
(71,55; 76,55) |
6-й интервал: |
(76,55; 81,55) |
7-й интервал: |
(81,55; 86,55) |
Вычислим частоты, относительные частоты найдем, разделив частоты на общий итог. Вычислим накопленные частоты.
Получаем следующий интервальный ряд:
Интервал |
51,55-56,55 |
56,55-61,55 |
61,55-66,55 |
66,55-71,55 |
71,55-76,55 |
76,55-81,55 |
81,55-86,55 |
Сумма |
Частота в интервале |
7 |
7 |
12 |
26 |
23 |
16 |
9 |
100 |
Относит. частота |
0,07 |
0,07 |
0,12 |
0,26 |
0,23 |
0,16 |
0,09 |
|
Накопленная частота |
0,07 |
0,14 |
0,26 |
0,52 |
0,75 |
0,91 |
1,00 |
|
Середина интервала |
54,05 |
59,05 |
64,05 |
69,05 |
74,05 |
79,05 |
84,05 |
Построим по полученным данным гистограмму относительных частот.
Запишем эмпирическую функцию распределения и построим ее график.
Построим график эмпирической функции распределения F(x).
Для нахождения среднего арифметического, дисперсии, асимметрии и эксцесса воспользуемся расчетной таблицей.
Интервал |
51,55-56,55 |
56,55-61,55 |
61,55-66,55 |
66,55-71,55 |
71,55-76,55 |
76,55-81,55 |
81,55-86,55 |
Сумма |
Частота в интервале |
7 |
7 |
12 |
26 |
23 |
16 |
9 |
100 |
Середина интервала |
54,05 |
59,05 |
64,05 |
69,05 |
74,05 |
79,05 |
84,05 |
|
xi × ni |
378,4 |
413,4 |
768,6 |
1795,3 |
1703,2 |
1264,8 |
756,5 |
7080,2 |
(xi - xср)2×ni |
1963,94 |
966,44 |
546,75 |
79,63 |
242,94 |
1089,00 |
1580,06 |
6468,76 |
(xi - xср)3×ni |
-32896,0 |
-11355,6 |
-3690,6 |
-139,3 |
789,5 |
8984,3 |
20935,8 |
-17371,9 |
(xi - xср)4×ni |
551007,2 |
133428,8 |
24911,3 |
243,9 |
2566,0 |
74120,1 |
277399,7 |
1063677,0 |
Размах варьирования признака: R = хmax – хmin = 86,55 – 51,55 = 35.
Среднее арифметическое будет равно:
= 7080,2 : 100 = 70,8.
Дисперсию вычислим по формуле
= 6468,76 : 100 = 64,69.
Вычислим среднее
= 8,04.
Вычислим коэффициент вариации:
= 11,4%.
Для расчета начальных моментов составим таблицу.
Интервал |
51,55;56,55 |
56,55;61,55 |
61,55;66,55 |
66,55;71,55 |
71,55;76,55 |
76,55;81,55 |
81,55;86,55 |
Сумма |
ni |
7 |
7 |
12 |
26 |
23 |
16 |
9 |
100 |
xi |
54,05 |
59,05 |
64,05 |
69,05 |
74,05 |
79,05 |
84,05 |
|
20449,8 |
24408,3 |
49228,8 |
123965,5 |
126118,3 |
99982,4 |
63579,6 |
507732,7 | |
1105312,6 |
1441311,1 |
3153106,6 |
8559815,4 |
9339057,0 |
7903611,9 |
5343867,3 |
36846081,9 |
Вычислим начальные моменты:
= 70,8; = 507732,7 : 100 = 5077,33.
= 36846081,9 : 80 = 368460,82.
Вычислим центральные моменты.
= 64,69.
= -17371,9 : 100 = -173,72.
= 1063677 : 100 = 10636,77.
Асимметрия: = -0,334.
Эксцесс: = -0,454.
Вычислим ошибки асимметрии и эксцесса.
= 0,24.
=
= 0,478.
На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что данное распределение генеральной совокупности является нормальным.
Проверим гипотезу о нормальном распределении. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона:
, где - эмпирические частоты, - теоретические частоты нормального закона распределения. , где n - объем выборки, h - длина частичного интервала.
Составим таблицу:
|
7 |
54,05 |
-2,0833 |
0,0455 |
3 |
5,333 |
7 |
59,05 |
-1,4614 |
0,1371 |
9 |
0,444 |
12 |
64,05 |
-0,8396 |
0,2804 |
17 |
1,471 |
26 |
69,05 |
-0,2177 |
0,3896 |
24 |
0,167 |
23 |
74,05 |
0,4042 |
0,3676 |
23 |
0,000 |
16 |
79,05 |
1,0261 |
0,2357 |
15 |
0,067 |
9 |
84,05 |
1,6480 |
0,1026 |
6 |
1,500 |
100 |
97 |
8,982 |
Получаем = 8,982.
Найдем число степеней свободы 7 - 1 - 2 = 4.
По таблице критических точек распределения по уровню значимости, равному 0,05 и числу степеней свободы, равному 7 найдем = 9,488.