Контрольная работа по "Статистике"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТИТУЛЬНИК

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ № 12

 

Задача № 1

В одном  из лесничеств Рязанской области  методом случайной выборки обследовано 1000 деревьев с целью установления их среднего диаметра, который оказался равным 210 мм при σ² =126,5 мм. С вероятностью 0,683 определите пределы среднего диаметра деревьев в генеральной совокупности.

Дано:

Дисперсия (σ² =126,5 мм) – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от средней величины. Дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой:

 

где – среднее значение признака по совокупности, равное 210 мм (средний диаметр деревьев),

n – число единиц в совокупности, равное числу обследованных деревьев 1000,

р – вероятность определения среднего диаметра деревьев 0,683.

Решение:

Для определения  границ, в которых будет находиться средний диаметр деревьев в генеральной совокупности, воспользуемся выражением:

 

где   – выборочная средняя; – предельная ошибка выборки, которая дает возможность выяснить, в каких пределах находиться величина генеральной средней, 
Предельную ошибку выборки рассчитаем по формуле (из теоремы А. М. Ляпунова):

 
где t – коэффициент доверия, нормированное отклонение, зависящее от значения вероятности (р = 0,683, тогда из таблицы t =1), σ² – дисперсия выборочной совокупности (σ² = 126,5), n – объем выборки (n = 1000) .

Тогда предельная ошибка выборки равна:

 
Следовательно, с вероятностью 0, 683 можно утверждать, что разность между  выборочными (обследованные деревья) и генеральными показателями (все деревья) не превысит 0,016 мм.

С помощью  предельной ошибки выборки определим  границы для среднего значения: 

 

 

 

с вероятностью 0,683 можно утверждать, что значение генеральной средней (средний диаметр  деревьев) следует ожидать в пределах от 209,984 до 210,016 мм.

 

Задача № 2

По  данным таблицы вычислите ранговый коэффициент Спирмена между суммарными активами и объемом вложений акционеров банков Японии.

Дано:

№ банка	Суммарный актив, млрд долл.	Объем вложений акционеров,   млрд долл.	Чистый   доход,   млрд долл.	Депозиты, млрд долл.
1	507,2	19,5	352,9	448,1
2	506,6	19,8	187,1	451,9
3	487,8	21,1	375,2	447,9
4	496,0	18,6	287,9	444,3
5	493,6	19,6	444,0	443,2
6	458,9	11,7	462,4	411,7
7	429,3	10,5	459,5	328,6
8	386,9	13,6	511,3	314,7
9	311,5	10,8	328,6	259,4
10	302,2	10,9	350,0	187,7
11	262,0	10,3	298,7	238,5
12	242,4	10,6	529,3	269,4
13	231,9	8,5	320,0	284,0
15	214,3	6,7	502,0	172,3
16	208,4	8,3	194,9	166,4

 

Решение:

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле (для случая, когда нет связных рангов):

 

где – квадрат разности рангов (из таблицы); n – число наблюдений (15 банков);

№ банка	Суммарный актив, млрд долл.	Объем вложений акционеров,   млрд долл.	Ранг* банка по суммарным активам	Ранг* банка по объему вложений   акционеров	Квадрат разности рангов, d2
1	507,2	19,5	1	4	9
2	506,6	19,8	2	2	0
3	487,8	21,1	5	1	16
4	496,0	18,6	3	5	4
5	493,6	19,6	4	3	1
6	458,9	11,7	6	7	1
7	429,3	10,5	7	11	16
8	386,9	13,6	8	6	4
9	311,5	10,8	9	9	0
10	302,2	10,9	10	8	4
11	262,0	10,3	11	12	1
12	242,4	10,6	12	10	4
13	231,9	8,5	13	13	0
14	214,3	6,7	14	15	1
15	208,4	8,3	15	14	1
				Сумма	62

 

* Ранжирование  – это процедура упорядочения  объектов изучения, которая выполняется  на основе предпочтения. Ранг  – это порядковый номер значений  признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связными.

Тогда коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) равен:

 

 

Задача № 3

1). Распределение характеризуется данными, приведенными в таблице. На основе критерия Пирсона проверьте, согласуется ли распределение с нормальным распределением с вероятностью 0,95. 2). По торговому предприятию имеются следующие данные о реализации стиральных машин (таблица). Определите: а) средний рост цен на данную группу товаров по торговому предприятию; б) перерасход покупателей от роста цен.

Дано:

1). Распределение магазинов по размеру товарооборота за октябрь 1996 г. характеризуется следующими данными.

Группы магазинов по размеру  товарооборота, тыс.руб.	Число   магазинов	Группы магазинов по размеру  товарооборота, тыс.руб.	Число   магазинов
до 200	12	500-600	15
200-300	14	600-700	7
300-400	18	700-800	6
400-500	23	Свыше 800	4
Итого	-	-	100

 

2). По торговому предприятию имеются следующие данные о реализации стиральных машин.

Марка стиральной машины	Цена в январе,   руб.	Цена в феврале, руб.	Товарооборот   февраля, руб.
Индезит	3000	3100	49,6
Бош	3500	3600	54,0
Эврика	700	720	39,6

 

Решение:

1). Критерий согласия Пирсона () вычисляется по формуле:

 

где − эмпирические и теоретические частоты соответственно.

По  данным таблицы в исходных данных:

Группы   магазинов   по размеру   товарооборота, тыс.руб.	Эмпирические частоты,	Центральное значение   интервала (), руб	Нормированное отклонение   вариантов, t	Теоретические частоты,
до 200	12	150	-0,590	7
200-300	14	250	-0,380	8
300-400	18	350	-0,170	8
400-500	24	450	0,040	8
500-600	15	550	0,250	8
600-700	7	650	0,460	8
700-800	6	750	0,670	7
Свыше 800	4	850	0,880	6
Итого (N)	100	4000
Величина интервала, h = 100
Средняя арифметическое,
Среднее квадратическое отклонение,

 

Теоретические частоты – это частоты, которые в отличие от фактически наблюдаемых эмпирических частот найдены с помощью вычислений.

Если  нужно получить теоретические частоты  при выравнивании вариационного ряда по кривой нормального распределения, то можно воспользоваться формулой:

 

где  – сумма всех эмпирических частот ряда; h – величина интервала;  – cреднее квадратическое отклонение;  – нормированное отклонение вариантов от средней арифметической. Результаты вычислений представлены в таблице выше.

Тогда критерий согласия Пирсона ():

 

С помощью  величины по специальным таблицам определяется вероятность . Входами в таблицу являются значения и число степеней свободы k = n – 1 = 8 – 1 = 7, n – число групп, на которые разбита выборка.

Вероятность по данной таблице >1. На основе вероятности выносится суждение о существенности или несущественности расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями. При Р > 0,5 считается, что теоретическое и эмпирическое распределения близки, при Р∈[0,2; 0,5] совпадение между ними удовлетворительное, в остальных случаях – недостаточное.

Следовательно, данные наблюдения согласуются с  гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

2).

Марка   стиральной машины	Цена в январе,   руб., Ця	Цена в феврале, руб., Цф	Товарооборот   февраля, тыс.руб., Тф	Изменение цены   продукции руб,   Цф-Ця	Изменение цены   продукции %,   Цф-Ця	Число проданного оборудования, Тф/Цф
Индезит	3000	3100	49,6	100	3,3 %	16
Бош	3500	3600	54,0	100	2,8 %	15
Эврика	700	720	39,6	20	2,8 %	55
Средний рост цен на данную группу товаров по торговому предприятию, (Цф-Ця)/3				73,333	2,9 %
Перерасход покупателей от роста цен, Пц = ∑Тф-∑Тя = 143200 – 139000 = 4200

 

Задача № 4

В результате выборочного обследования дневного удоя коров, проведенного на молочной ферме, были получены следующие данные приведенные в таблице. Исчислите дисперсию, применяя способ моментов, моду, медиану и квартили удоя коров.

Дано:

Группы коров по дневному удою, кг	Число коров
6-8	2
8-10	5
10-12	51
12-14	37
14-16	3
16 и выше	2
	100