Контрольная работа по "Статистике"

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.

ВАРИАНТ 26.

ВАРИАНТ № 26
№	Значения	№	Значения	№	Значения	№	Значения	№	Значения
п/п		п/п		п/п		п/п		п/п
1	2856,00	21	2871,30	41	2871,30	61	2866,20	81	2866,20
2	2871,30	22	2881,50	42	2881,50	62	2876,40	82	2876,40
3	2881,50	23	2876,40	43	2886,60	63	2871,30	83	2871,30
4	2861,10	24	2861,10	44	2876,40	64	2886,60	84	2881,50
5	2876,40	25	2876,40	45	2871,30	65	2871,30	85	2891,70
6	2886,60	26	2876,40	46	2886,60	66	2891,70	86	2876,40
7	2866,20	27	2866,20	47	2876,40	67	2881,50	87	2891,70
8	2881,50	28	2881,50	48	2861,10	68	2871,30	88	2876,40
9	2886,60	29	2876,40	49	2881,50	69	2886,60	89	2881,50
10	2866,20	30	2871,30	50	2871,30	70	2876,40	90	2876,40
11	2876,40	31	2876,40	51	2871,30	71	2871,30	91	2881,50
12	2886,60	32	2871,30	52	2876,40	72	2876,40	92	2871,30
13	2881,50	33	2881,50	53	2866,20	73	2881,50	93	2881,50
14	2871,30	34	2876,40	54	2881,50	74	2876,40	94	2876,40
15	2886,60	35	2861,10	55	2876,40	75	2881,50	95	2871,30
16	2856,00	36	2876,40	56	2866,20	76	2862,00	96	2891,70
17	2886,60	37	2866,20	57	2881,50	77	2891,70	97	2871,30
18	2876,40	38	2881,50	58	2876,40	78	2896,80	98	2891,70
19	2886,60	39	2861,10	59	2886,60	79	2881,50	99	2881,50
20	2861,10	40	2876,40	60	2871,30	80	2896,80	100	2891,70

 

1.  Определение закона  распределения случайной величины,  проверка гипотезы о виде распределения  по критериям согласия.

2. Построение комплексной простой  контрольной карты средних арифметических и размахов R.

Решение.

1.Для определения закона распределения случайной величины и проверке гипотезы о виде распределения по критериям согласия определим размах R, для чего определяем наибольшее Хmax и наименьшее  Хmin значения

R = Хmax – Хmin

R = 2896,8-2856=40,8

Определяем число интервалов.

Число интервалов можно  определить аналитически, используя  формулу

К = 1 + 3.3lgn,

где n – объем выборки, К – число интервалов.

Рекомендуемое число интервалов К  для n = 100 от 6 до 10.

К= 1+3.3lg100= 9,6

Принимаем К = 9

Определяем ширину интервалов

h = R/K,

где R – размах, К – количество интарвалов.

Принимаем ширину интервала h = 40,8/9=4,53

Определим границы интервалов

1 интервал.

Хнижн1= Хmin = 2856

Хверхн1= Хmin+ h =2856+4,53=2860,53

2 интервал

Хнижн2= 2860,53

Хверхн.2=2860+4,53=2865,06

3 интервал

Хнижн3 = 2865,06

Хверх3= 2865,06+4,53=2869,59

4 интервал.

Хнижн4= 2869,59

Хверхн4= 2869,59+4,53=2874,12

5 интервал

Хнижн5= 2874,12

Хверхн.5= 2874,12+4,53=2878,65

6 интервал

Хнижн6 = 2878,65

Хверх6= 2878,65+4,53=2883,18

7 интервал.

Хнижн7= 2883,18

Хверхн7= 2883,18+4,53=2887,71

8 интервал

Хнижн8= 2887,71

Хверхн.8=2887,71+4,53=2892,24

9 интервал

Хнижн9 =2892,24

Хверх9= 2892,24+4,53=2896,8

На основании протокола  измерений – контрольного листка -заполняется третья графа таблицы 2 посредством отметок о попадании  параметра в соответствующий интервал.

Расставив отвечающие всем замерам количество условных значков, подсчитаем частоты m_i в каждом интервале. Их значения записываем в соответствующих строках четвертой графы таблицы 2.

Таблица 2.

Подсчет эмпирических и  теоретических частот нормального распределения

 

№ п/п	Интервалы		Подс чет частот	mi	yi	y'i	mi·y'i	mi· (y'i)2	t	Ф(t)	F(X)	mi'	mi'*
1	2		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	(2856; 2860,53)		//	2	2858,265	-4	-8	32	-2,05	-0,4807	0,0193	1,1	1
2	(2860,53; 2865,06)		///////	7	2862,795	-3	-21	63	-1,48	-0,4306	0,0694	5,7	6
3	(2865,06; 2869,59)		////////	8	2867,325	-2	-16	32	-0,91	-0,3186	0,1814	12,8	13
4	(2869,59; 2874,12		//////////////////	18	2871,855	-1	-18	18	-0,33	-0,1293	0,3707	21,7	22
5	(2874,12; 2878,65)		/////////////////////////	25	2876,385	0	0	0	0,24	0,0948	0,5948	25,7	26
6	(2878,65; 2883,18)		////////////////////	20	2880,915	1	20	20	0,81	0,2910	0,7910	22,4	22
7	(2883,18; 2887,71)		///////////	11	2885,445	2	22	44	1,39	0,4177	0,9177	14,4	14
8	(2887,71; 2892,24)		///////	7	2889,975	3	21	63	1,96	0,4750	0,9750	6,6	7
9	(2892,24; 2896,8)		//	2	2894,52	4	8	32	2,54	0,4945	0,9945	2,2	2
Σ			100	100			8	304				112,6	113

 

Строим гистограмму  – столбиковую диаграмму, показывающую частоту попадания значений исследуемого параметра в соответствующий интервал. На оси абцисс (Х) откладываем границы интервалов, на оси ординат (У) – частоты (в некотором выбранном масштабе).

 

В пятой графе таблицы 2 записывается у_i – численно равное середине интервала.В шестой графе таблицы 2 записывается вспомогательная величина

у`_i =(у_i – у_о)/h,

где: у_о – новое начало отсчета, за которое обычно принимается середина интервала,  имеющего наибольшую частоту.

У0=2876,385

В седьмой графе таблицы 2 определяются и записываются моменты первого порядка    m_i ∙ у_i.

Результаты суммируются по строкам  и  записываются  итоговым значением. В восьмой графе таблицы 2 записываются моменты второго порядка

m_i ∙ (у`_i)²

Результаты суммируются  по строкам и записываются  итоговым значением.

Определяем меру положения – среднее арифметическое значение исследуемого параметра

Х = у_о + h(∑m_i  ∙ у`_i)/∑ m_i

Х=2876,385+4,53*(8*/100)=2876,747

Определяем меру рассеяния исследуемых  параметров - стандартное отклонение

S = h√( ∑m_i  ∙(у`<sub>i</sub>)<sup>2</sup> / ∑ m<sub>i</sub> – (∑(m<sub>i</sub>  ∙ у`_i)/∑ m_i)²)

S =4,53√(304/100- (8/100)²)= 7,890

 

Строим эмпирический экспериментальный полигон распределения  для чего на оси абцисс откладываем  середины интервалов, а на оси ординат  соответствующие им частоты. Соединяем  полученные точки прямыми. Полученная ломаная линия представляет собой полигон эмпирического распределения.

 

 

Определяем аргумент t функции Ф(t) по формуле

t =  (Х_нб – Х_ср)/S,

где Х_нб – наибольшее (верхнее) значение данного интервала,  Х_ср-

среднее арифметическое значение, S – стандартное

отклонение.

Значения вычисленных   t   заносим в графу 9 таблицы 2.

По аргументу t определяем функцию Ф(t) и заносим в соответствующие строки графы 10 таблицы 2.

Подсчитываем для каждого интервала  интегральную функцию F(Х) по формуле

F(Х) = 0.5 + Ф(t)

и заносим в соответствующие  строки графы 11 таблицы 2.

Определяем теоретические  частости  m_i` по формуле

m₁`=  2F(Х)₁∙(hΣfi/S)

m₂`=2[F(Х)₂-  F(Х)₁]∙ ∙(hΣfi/S)

m₃`=2[F(Х)₃-  F(Х)₂]∙ ∙(hΣfi/S)

  и  т.д.  и полученные  данные заносим в графу 12 таблицы 2.

1. Округляем теоретические частости m_i'* до целых значений и записываем их в соответствующие строки графы 13.
2. На график эмпирического полигона наносим точки округленных теоретических частот и соединяем их плавной кривой. Близость эмпирической и теоретической кривых позволяет судить о степени совпадения эмпирического распределения с теоретическим.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Проверка гипотезы о виде распределения по критериям согласия.

Для  количественного  сопоставления  эмпирического  и  теоретического распределений воспользуемся критерием  χ² Пирсона, который вычисляется по формуле:

 

χ² = ∑(m_i-m_i'*)²/m_i'

 

Заполняем таблицу для  расчета χ²

 

№ п/п	mi	mi'*	mi-mi'*	(mi-mi'*)2	(mi-mi'*)2/mi'
1)(2856;2865,06)	9	7	2	4	0,571
2)(2865,06;28669,59)	8	13	-5	25	1,923
3)(2869,59;2874,12))	18	22	-4	16	0,727
4)(2874,12;2878,65)	25	26	-1	1	0,038
5)(2878,65;2883,18)	20	22	-2	4	0,182
6)(2833,18;2887,71)	11	14	-3	9	0,642
7)(2877,71;2896,8)	9	9	0	0	0

Если частости в отдельных  интервалах менее 5, то они объединяются с соседними интервалами.

Определяем число степеней свободы по формуле

к = z – p – 1,

где z –число групп выборки, p – число параметров теоретического  распределения (для закона нормального распределения р = 2). К= 7-3=4

Область принятия гипотезы о нормальности закона распределения характеризуется неравенством

χ²_расч  ≤  χ²_кр(ά, к),          (1)

где χ²_табл   - значение критерия, вычисленное по данным наблюдения;      χ²_кр(ά, к) – критическое значение критерия Пирсонала при заданных ά и к.

ά – уровень значимости  ά = 0,05 (в технике). χ²_кр(ά, к)=   9,49

При выполнении неравенства (1) гипотеза о нормальности закона распределения  подтверждается, в противном случае – нет.

χ²_расч =   (m_i-m_i'*)²/m_i'

  χ²_расч =   4,083

3,695<9,49, гипотеза о нормальном законе распределения подтверждается.

Критерий Романовского.

А = (χ²_табл – к) / √2к,

где к - число степеней свободы,  χ²_табл   - значение критерия, вычисленное по данным наблюдения. k – число степеней свободы, которое равно числу групп минус три, к=4

Если А ≤ 3, гипотеза о нормальности закона распределения  принимается, в противном случае – нет.

А = (4,083-4)/√2*4= 0,0293

А ≤ 3, гипотеза о нормальности закона распределения принимается.

Вывод. Принимается гипотеза о нормальности закона распределения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Построение комплексной простой контрольной карты средних арифметических и размахов R.

Хср= 2876.747

Среднее значение скользящего  размаха

Rср= 1166.1/99=11.778

Вычисляются значения для центральной линии, нижнего и верхнего контрольного пределов

CL=2876.747

LCL= 2876.385- 11.778*2.66=2845.055

UCL= 2876.385+11.778*2.66=2907.714

X1=2858.265                  

X2= 2862.795

X3=2867.325

X4=2871.855

X5=2876.385

X6= 2880.915

X7=2885.445

X8=2889.975

X9=2894.520

Для R- карты

CL=11.778

LCL=0