Контрольная работа по "Статистике"

Вариант 6

Задача №1

По  данным таблицы №1 рассчитать:  1) меры вариации (среднее абсолютное отклонение; среднее квадратическое отклонение; дисперсию; коэффициент вариации); 2) моду и медиану; 3) построить полигон и гистограмму распределения; 4)  теоретический вопрос: укажите различные методы расчета дисперсии; меры вариации для сгруппированных данных; дисперсию альтернативного признака.

Таблица 1

Урожайность зерна в фермерских хозяйствах области в 1996г.

Кол-во  хозяйств                        Урожайность                       ц/га	В А Р И А Н Т Ы
	6
до 38,25	21
38,25-38,75	13
38.75-39.25	36
39,25-39,75	20
39,75-40,25	10
40,25-40,75	4
свыше 40,75	1

 

Решение

 

2. Среднюю арифметическую для построенного интервального ряда определяем по формуле

 

где х – середина интервала, f – частота

Мода  для интервального ряда определяется по формуле

 

 

 

 

 

 

 

Медиана

 

 

 

 

 

 

 

 

Дисперсию определяем по формуле

 

Среднее квадратическое отклонение

 

Среднее линейное отклонение

 

Расчеты производим в таблице

х	f	xf
38	21	798	39,005	21	0,0128	0,113	21	1,0622
38,5	13	500,5		3,25			6,5
39	36	1404		0			0
39,5	20	790		5			10
40	10	400		10			10
40,5	4	162		9			6
41	1	41		4			2
	70	4095,5	39,0	52,25	0,0128	0,113	55,5	1,0622

Коэффициент вариации

 

Следовательно, изучаемая совокупность является количественно однородной.

 

3. Полигон

 

Гистограмма

 

 

 

Теоретический вопрос: различные методы расчета дисперсии; меры вариации для сгруппированных данных; дисперсия альтернативного признака.

 

Показатели  вариации делятся на  две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Самым распространенным абсолютным показателем является размах вариации, определяемый как разность между наибольшим (Хmax) и наименьшим (Хmin) значениями вариантов.

Этот показатель прост для расчета, что и обусловило его широкое распространение. Однако, он улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду.

Для обобщающей характеристики распределения отклонений рассчитывают  среднее линейное отклонение  , определяемое как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

 

- невзвешенное среднее линейное отклонение

           - взвешенное среднее линейное отклонение

Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике  редко, т.к. во многих случаях этот показатель не устанавливает степень рассеивания.

Меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии ( - средний квадрат отклонений), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат:

- невзвешенная или -  взвешенная

Корень квадратный из дисперсии  s «среднего квадрата отклонений» представляет собой среднее квадратическое отклонение:

       

Среднее квадратическое отклонение (СКО) выражается в тех же единицах измерения, что и признак ( в литрах, тоннах, рублях, %-х и т.д.). СКО является мерилом надежности средней. Чем меньше СКО, тем лучше средняя арифметическая отражает собой представляющую совокупность.

К относительным  показателям, позволяющим сравнивать характер рассеивания в различных  распределениях, относятся следующие:

Коэффициент осциляции – отражающий относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:

Относительное линейное отклонение характеризует  долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

Коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средней величины.

Если   n>33% , то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

Дисперсия обладает рядом свойств, которые позволяют  упростить ее расчеты.

Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится:

 Если  все значения вариант разделить  на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А²  раз, а среднее квадратическое отклонение – в А раз.

Если исчислить  средний квадрат отклонений от любой  величины А, которая в той или иной степени отличается от средней арифметической х, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений s², исчисленный от средней арифметической:

     

А именно средний  квадрат отклонений при этом будет  больше на квадрат разности средней  и этой условно взятой величиной, т.е. на :

или

Дисперсия от средней имеет свойство минимальности, т.е. она всегда меньше дисперсий, исчисленных  от любых других величин. В этом случае, когда А приравнивается к нулю формула принимает вид:

 или       =        -  

                    средний          квадрат

          квадрат          среднего

          значений        значения

          признака       признака

              

Этот способ расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения называется способом моментов, или способом от условного нуля. Он применяется при условии равных интервалов.

Используя второе свойство дисперсии, разделив, все варианты на величину интервала, получим:              .

 

Наряду с  изучением вариации признака по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые  разделяется совокупность, а также  между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов  дисперсии.

Выделяют  общую, межгрупповую и внутригрупповую  дисперсии.

Общая дисперсия  характеризует вариацию признака, которая  зависит от всех условий в данной совокупности:

  где   - общая средняя для всей изучаемой совокупности

Межгрупповая  дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под  влиянием признака-фактора, положенного  в основу группировки. Она характеризует  колеблемость групповых (частных) средних    около общей средней :

где  – средняя по отдельным группам,

– общая средняя,   - численность отдельных групп.

Средняя внутригрупповая  дисперсия  характеризует случайную  вариацию в каждой группе. Эта вариация возникает под влиянием других неучитываемых факторов и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки:

  

Существует  закон, связывающий три вида дисперсии (правило сложения дисперсий):  общая  дисперсия равна сумме средних  из внутригрупповой и межгруповой  дисперсии:   

 

 

 

Задача № 2

 

По данным таблицы № 2 рассчитайте: 1) показатели ряда динамики; 2) средние показатели ряда динамики; 3) выявить основную тенденцию развития ряда (тренд): а) методом трехлетней скользящей средней; б) при помощи аналитического выравнивания; в) произвести прогноз на 2 года.

Таблица 2

Динамика продажи мясных консервов  в одном из регионов

 за 1991-1999г. (млн.усл. банок)

консервы мясные (млн. усл. банок) год	В А Р И А Н Т Ы
	6
1991	780
1992	810
1993	820
1994	840
1995	910
1996	930
1997	960
1998	990
1999	1000

 

Решение

 

Средний уровень интервального  ряда определяем по формуле

 

Абсолютный прирост

 

 

Темп роста

 

 

Темп прироста

 

Абсолютное значение 1% прироста

 

Средний абсолютный прирост

 

 

Средний темп роста

 

 

Средний темп прироста

 

Результат расчета по данным формулам аналитических показателей ряда динамики представим в виде таблицы

 

годы	консервы мясные (млн. усл. банок)	абсолютный  прирост		темп роста		темп прироста		абсолютное  значение 1% прироста
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
1991	780	-	-	100	100	-	-	-
1992	810	30	30	103,85	103,85	3,85	3,85	7,80
1993	820	10	40	101,23	105,13	1,23	5,13	8,10
1994	840	20	60	102,44	107,69	2,44	7,69	8,20
1995	910	70	130	108,33	116,67	8,33	16,67	8,40
1996	930	20	150	102,20	119,23	2,20	19,23	9,10
1997	960	30	180	103,23	123,08	3,23	23,08	9,30
1998	990	30	210	103,13	126,92	3,13	26,92	9,60
1999	1000	10	220	101,01	128,21	1,01	28,21	9,90
Σ	8040	220

 

 

Средний абсолютный прирост

 

Средний темп роста

 

Средний темп прироста

 

Изобразим исходные данные графически

 

 

Следовательно, наблюдается положительная тенденция потребления мясных консервов: Наблюдается ежегодный прирост потребления мясных консервов, при сравнении с 1991 годом также наблюдается равномерный рост потребления. В среднем абсолютный прирост составил 24,4 млн.усл.банок или 3,15%.

 

Основная  тенденция развития ряда (тренд):

а) методом  трехлетней скользящей средней: производится укрупнение интервалов, рассчитываются средние арифметические из окружающих значений

 

годы	консервы мясные (млн. усл. банок)	метод   скользящей средней
1991	780	-
1992	810	803,33
1993	820	823,33
1994	840	856,67
1995	910	893,33
1996	930	933,33
1997	960	960,00
1998	990	983,33
1999	1000	-
	8040

 

Изобразим данные и сглаженные значения на графике

 

б) при помощи аналитического выравнивания

 

Значения  t  выбираются таким образом, чтобы сумма t равнялась 0

Тогда

 

 

годы	консервы мясные (млн. усл. банок)	t	t2	ty	yt
1991	780	-4	16	-3120	773,98
1992	810	-3	9	-2430	803,81
1993	820	-2	4	-1640	833,64
1994	840	-1	1	-840	863,47
1995	910	0	0	0	893,3
1996	930	1	1	930	923,13
1997	960	2	4	1920	952,96
1998	990	3	9	2970	982,79
1999	1000	4	16	4000	1012,62
Σ	8040	0	60	1790	8039,7