Группировка статистических данных, статистическое изучение взаимосвязи явлений

Вариант 6

 

 

По результатам 80 пусков ракет определены расстояния (в км) до точек падения. Результаты оформлены в следующую статистическую совокупность:

 

50,26	50,33	50,37	50,41	50,3	50,29	50,31	50,34
50,37	50,4	50,33	50,39	50,34	50,44	50,3	50,4
50,38	50,3	50,3	50,35	50,38	50,33	50,35	50,42
50,43	50,34	50,36	50,36	50,32	50,31	50,4	50,34
50,37	50,39	50,29	50,31	50,28	50,42	50,31	50,41
50,33	50,3	50,44	50,32	50,44	50,35	50,36	50,33
50,32	50,34	50,35	50,41	50,36	50,27	50,33	50,37
50,39	50,36	50,32	50,36	50,43	50,35	50,34	50,34
50,33	50,28	50,36	50,35	50,35	50,37	50,35	50,3
50,34	50,34	50,32	50,38	50,33	50,37	50,31	50,34

 

1. Построить по этим данным интервальный вариационный ряд случайной величины Х  с равными интервалами и начертить гистограмму.

2. Найти эмпирическую  функцию распределения и построить  ее график.

3. Вычислить среднее арифметическое  выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно, величину асимметрии и эксцесс, ошибки асимметрии и эксцесса.

4. Используя критерий  χ² – Пирсона по данному вариационному ряду при уровне значимости α= 0.05, проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

 

Решение:

1. Построить по этим данным интервальный вариационный ряд случайной величины Х  с равными интервалами и начертить гистограмму.

 

Найдем сначала число  групп в группировке по формуле  Стерджесса:

 групп.

Размах вариации составляет R=50,44-50,26= 0,18 км.

Определим величину интервала:

км.

После этого  построим интервалы групп:

 

№ групп	Интервал расстояний	Частота	Накопленная частота
1	От 50,26 до 50,29	6	6
2	От 50,29 до 50,32	16	22
3	От 50,32 до 50,35	26	48
4	От 50,35 до 50,38	16	64
5	От 50,38 до 50,41	9	73
6	От 50,41 до 50,44	7	80
7	От 50,44	0

 

 

 

 

 

 

2. Найти  эмпирическую функцию распределения  и построить ее график.

 

Построим выборочную функцию распределения по данным табл.

Объем выборки  по условию равен 7, но из-за округления возьмем 6, т.е. n = 6. Наименьшая варианта равна 50,26, следовательно, F₇(х) = 0 при х ≤ 50,26.

Значение X < 50,29, наблюдалось 6 раз; следовательно, имеем

 

 

 

 

 

 

График эмпирической функции распределения изображен на рис.

 

 

 

 

 

3. Вычислить  среднее арифметическое выборки,  выборочную дисперсию, выборочное  среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, начальные и центральные моменты  до третьего порядка включительно, величину асимметрии и эксцесс, ошибки асимметрии и эксцесса.

 

Начальным выборочным моментом k-го порядка называется величина, определяемая по формуле:

,

где х_i – наблюдаемое значение с частотой n_i, n – число наблюдений. В частности, начальный выборочный момент первого порядка обозначается  и называется выборочной средней:

.

Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Модой называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Вариационный  размах R равен разности между наибольшим и наименьшим вариантом ряда.

Центральным выборочным моментом k-го порядка называется величина, определяемая по формуле:

.

В частности, центральной  выборочный момент второго порядка  обозначается S² и называется выборочной дисперсией:

.

 

Средним квадратическим отклонением S называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:

.

Коэффициентом вариации называется отношение среднего квадратического  отклонения к средней, выраженное в  процентах:

.

Справедливы следующие формулы, выражающие центральные выборочные моменты различных порядков через начальные:

 и т.д.

Выборочным коэффициентом  асимметрии называется число , определяемое формулой

.

Выборочный коэффициент  асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона (см. далее) вариационного ряда. Если полигон асимметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая.

 

В случае отрицательного коэффициента асимметрии более пологий «спуск»  полигона наблюдается слева, в противном случае – справа. В первом случае асимметрию называют левосторонней, а во втором – правосторонней.

Выборочным эксцессом  или коэффициентом крутизны называется число E^˜k, определяемое формулой

.

Выборочный  эксцесс служит для сравнения  на «крутость» выборочного распределения  с нормальным распределением. Ранее  подчеркивалось, что эксцесс для  случайной величины, распределенной нормально, равен нулю. Поэтому за стандартное значение выборочного эксцесса принимают E^˜k = 0. Если выборочному распределению соответствует отрицательный эксцесс, то соответствующий полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. В случае положительного эксцесса полигон более крутой по сравнению с нормальной кривой.

 

Для вычисления выборочных характеристик (выборочной средней, дисперсии, асимметрии и эксцесса) целесообразно пользоваться вспомогательной  таблицей, которая составляется так:

1) используя  данные таблицы, найдем середину  каждого интервала и заполним столбец 1 табл.;

 

2) во второй  столбец записывают частоты n_i, складывают все частоты и их сумму (объем выборки n) помещают в нижнюю клетку столбца;

3) в третий столбец записывают условные варианты , причем в качестве ложного нуля С выбирают варианту, которая имеет наибольшую частоту или занимает среднее положение в ряду данных, и полагают h равным разности между любыми двумя соседними вариантами (длина интервала b_i – a_i); по данным примера С = 50,34, h = 4,5; практически же третий столбец заполняется так: в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей наибольшую частоту, пишем 0; над нулем последовательно –1, –2, –3, а под нулем 1, 2, 3, 4, 5. Дальнейший порядок заполнения таблицы простой и не требует пояснений. Последний столбец таблицы – контрольный.

 

xi	ni	ui	ni*ui	ni*ui2	ni*ui3	ni*ui4	ni*(ui+1)4
50,28	6	-2	-12	24	-48	96	6
50,31	16	-1	-16	16	-16	16	0
50,34	26	0	0	0	0	0	26
50,37	16	1	16	16	16	16	256
50,4	9	2	18	36	72	144	729
50,43	7	3	21	63	189	567	1792
сумма	80	3	27	155	213	839	2809

 

 

Выборочный  условный момент k-го порядка определяется по формуле

По данным примера

 

 

Вычислим искомые  выборочные среднюю и дисперсию:

 

 

Выборочное  среднее квадратическое отклонение

 

Найдем центральные  эмпирические моменты третьего и  четвертого порядка:

 

 

 Найдем значение  коэффициента асимметрии и эксцесса:

 

 

Медиана M^˜e – значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для интервального  ряда медиану следует вычислять  по формуле

,

где M^˜e означает номер медианного интервала, (M^˜e–1) – интервала,

предшествующего медианному.

 

Мода M^˜o для совокупности наблюдений равна тому значению признака, которому соответствует наибольшая частота.

Для одномодального интервального ряда моду можно вычислить по формуле ,  где M^˜o означает номер модального интервала (интервал с наибольшей частотой), (M^˜o–1) и (M^˜o+1) – номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.

В примере

 

 

.Так как по  величине  , M^˜o и M^˜e мало отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

Коэффициент вариации

 

Коэффициент вариации является относительной мерой рассеяния  признака.

Коэффициент вариации используется и как показатель однородности выборочных наблюдений. Считается, что  если коэффициент вариации не превышает 10%, то выборку можно считать однородной, т.е. полученной из одной генеральной совокупности.

 

4. Используя  критерий χ² – Пирсона по данному вариационному ряду при уровне значимости α= 0.05, проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

 

5. Для исследования  зависимости объема производства  (Y) от основных фондов (Х) получены  статистические данные по 65 предприятиям за год.

 

 

Y	X, тыс. Руб.
	32-52	52-72	72-92	92-112	112-132	132-152	152-172
48-68	5
68-88	2	3	4
88-108		2	7	6
108-128			3	8	4
128-148			1	1	5	3
148-168						5
168-188							4
188-208							2