Анализ выборочной совокупности банков

Размах вариации представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака совокупности, и находится по формуле:

R=3256-154 = 3102

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю величину из отклонений значений признака от их средней величины, которое рассчитывается по формуле:    

 

(млн.руб.)

Таким образом, средняя  величина из отклонений значений объема кредитных вложений от их средней  составляет 566,4 млн. руб.

Дисперсия – это средний  квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия находится по формуле:

 

(млн.руб.)²

Таким образом, средний  квадрат отклонений индивидуальных значений объема кредитных вложений от их средней величины составляет 525 371,4 млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии, т.е. корень квадратный из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Среднее квадратическое отклонение находится по формуле:

Найдем среднее квадратическое отклонение по объему кредитных вложений:

(млн. руб.)

 

Относительные показатели вариации в общем виде показывают отношение абсолютных показателей вариации к их средней величине.

К относительным показателям  вариации относятся:

• коэффициент осцилляции;
• относительное линейное отклонение;
• коэффициент вариации.

Коэффициент осцилляции находится по формуле:

Коэффициент осцилляции для выборки по объему кредитных вложений равен:

 

Относительное линейное отклонение рассчитывается по формуле:

Относительное линейное отклонение для выборки по объему кредитных вложений равно:

%

Коэффициент вариации характеризует  однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент  вариации меньше либо равен 33%, иначе признается неоднородной. Коэффициент вариации определяется по формуле:

Тогда, коэффициент вариации для выборки по объему кредитных вложений равен:

%

Коэффициент вариации для выборки по объему кредитных вложений больше, чем 33% (равен 79,5%), следовательно, совокупность неоднородна, а это означает, что среднее значение признака не является центром распределения.

При анализе данных важно  представить не только размер вариации, но и то, как распределены единицы совокупности по всему диапазону значений признака.

Показатели асимметрии и эксцесса используются для количественной оценки симметричности.

Для расчета показателя асимметрии используют формулу:

,

где M₃ – центральный момент третьего порядка;

σ – среднее квадратическое отклонение.

В свою очередь центральный момент третьего порядка рассчитывается по формуле:

Для определения момента третьего порядка составим вспомогательную таблицу 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 6  - Расчет момента  третьего порядка

№ п/п	Группы банков по объему кредитных вложений, млн. руб.	Число банков,  fi	Середина интервала, xi’
1	154-671	17	412,5	-499,8	-124850060	-2122451020
2	671-1188	5	929,5	17,2	5088,448	25442,24
3	1188-1705	4	1446,5	534,2	152444461,7	609777846,8
4	1705-2222	1	1963,5	1051,2	1161598538	1161598538
5	2222-2739	2	2480,5	1568,2	3856597795	7713195589
6	2739-3256	1	2997,5	2085,2	9066572710	9066572710
Итого	-	30	-	4756,2	14112368533	16428719106

 

=547 623 970,2

=1,438

Так как  >0, то наблюдается правосторонняя ассиметрия.

Для того, чтобы определить, является ли асимметрия существенной или не существенной, рассчитывается отклонение показателя асимметрии к среднеквадратическому отклонению. Для этого используют соотношение: ,

где As – показатель асимметрии;

- средняя квадратическая ошибка  отклонения асимметрии, которая рассчитывается по формуле:

,

где n – число единиц в совокупности.

Если данное соотношение  меньше 3, то асимметрия признается несущественной, иначе – существенной.

=0,426

1,438/0,426 = 3,375

Следовательно, ассиметрия для представленной выборки банков является существенной.

В симметричных распределениях или распределениях с несущественной асимметрией рассчитывается показатель эксцесса. Расчет производится по следующей формуле:

,

где  M₄ – центральный момент четвертого порядка;

σ – среднее квадратическое отклонение.

Момент четвертого порядка  рассчитывается как:

Если показатель эксцесса меньше 0, то распределение плосковершинное, если больше нуля – островершинное.

Ех= 5,11>0. Следовательно, распределение островершинное.

Построим графики эмпирического  распределения банков в зависимости  от выбранных признаков. Для этого по оси абсцисс необходимо откладывать середину интервала значения признака, а по оси ординат, соответствующие ей частоты (рисунок 2).

Рисунок 2 – График эмпирического  распределения банков

по объему кредитных  вложений

 

Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем по специальным таблицам находится плотность распределения  нормируемой случайной величины. Для этого используются следующие формулы:

,

где t – нормируемое отклонение.

Теоретические частоты  находятся по формуле:

,

где f – эмпирические частоты;

k – величина интервала.

Определим теоретические  частоты для выборки банков по объему кредитных вложений (таблица 7).

Таблица 7 – Расчет теоретических частот по объему кредитных вложений

№ п/п	Группы банков по объему кредитных  вложений, млн. руб.	Число банков, fi	Середина интервала, xi’			Теоретические частоты,
1	154-671	17	412,5	-0,69	0,3144	7
2	671-1188	5	929,5	0,02	0,3989	9
3	1188-1705	4	1446,5	0,74	0,3034	6
4	1705-2222	1	1963,5	1,45	0,1394	3
5	2222-2739	2	2480,5	2,16	0,0387	1
6	2739-3256	1	2997,5	2,88	0,0063	0
Итого	-	30	-	-	-	26

 

По найденным теоретическим  частотам построим график теоретического распределения банков по объему кредитных  вложений (рисунок 3).

Рисунок 3 – График теоретического распределения банков

по объему кредитных  вложений

 

При совмещении графиков теоретического и эмпирического  распределения получится следующее (рисунок 4):

 

 

 

 

Рисунок 4 – Совмещенный  график распределения банков по кредитным  вложениям

 

Так как все предположения о характере распределения лишь гипотезы, а не категорические утверждения, то они должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью одного из критериев согласия. Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождение между частотами эмпирического и теоретического распределений следует признать несущественными, то есть случайными, а когда существенными (в тех случаях, когда неверно выдвинута гипотеза о законе распределения).

Для проверки гипотезы о подчинении изучаемых признаков нормальному закону распределения воспользуемся критерием Романовского, который рассчитывается по формуле:

,

где h – число групп;

l – число независимых параметров, которые необходимо знать, чтобы построить кривую теоретического распределения.

В свою очередь  рассчитывается по формуле:

,

где  f_i – эмпирические частоты распределения;

f_i' – теоретические частоты распределения.

 

В таблице 8 произведем расчет значения критерия Пирсона для распределения по объему кредитных вложений.

 

 

Таблица 6 – Расчет значения критерия Пирсона для распределения по объему кредитных вложений

№ п/п	Группы банков по объему кредитных вложений, млн. руб.	Эмпирические частоты, fi	Теоретические частоты,
1	154-671	17	7	100	14,286
2	671-1188	5	9	16	1,778
3	1188-1705	4	6	4	0,667
4	1705-2222	1	3	4	1,333
5	2222-2739	2	1	1	1,000
6	2739-3256	1	0	1	0,000
Итого	-	30	26	126	19,063

 

Рассчитаем значение критерия Романовского для распределения  по объему кредитных вложений:

Так как критерий Романовского больше 3 (равен 6,56), то гипотеза о распределении банков в зависимости от объемов кредитных вложений по закону нормального распределения отвергается.

Расхождение между генеральной  и выборочной совокупностями измеряется средней ошибкой выборки, которая рассчитывается следующим образом:

,

где n – число единиц в выборочной совокупности;

N – число единиц в генеральной совокупности.

Среднюю ошибку необходимо знать для того, чтобы определить возможные пределы для средней  генеральной совокупности

Суждение о том, что  средняя в генеральной совокупности будет лежать в пределах можно гарантировать не с абсолютной точностью, а с некоторой вероятностью. Для этого рассчитывают предельную ошибку выборки по формуле:

,

где  t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от вероятности по таблицам.

Таким образом, показатели генеральной совокупности для генеральной  средней при заданной вероятности  определяются по показателям выборочной совокупности следующим образом:

Рассчитаем среднюю  ошибку для выборки по объему кредитных вложений:

(млн.руб.)

Найдем предельную ошибку для выборки по кредитным вложениям, принимая вероятность равной 0,95. По таблице находим коэффициент  доверия t, равный 1,96.

(млн.руб.)

Таким образом, границы, в которых с вероятностью 0,95 будет находиться среднее значение показателя объемов кредитных вложений, принимают вид:

      (млн.руб.)

      (млн.руб.)

Следовательно, среднее  значение объема кредитных вложений находится в интервале от 673,2 млн.руб. до 1151,4 млн. руб.

 

2. Построение модели взаимосвязи показателей деятельности коммерческих банков

 

Примем в качестве факторного признака объемы кредитных  вложений, а в качестве результативного  – прибыль. Данный выбор обусловлен спецификой банковской деятельности, где прибыль, в том числе, складывается и из процентов, за выданные кредиты.

Парный коэффициент  корреляции можно вычислить по следующей  формуле:

,