Воздействие колебаний сложной формы на линейные цепи

        Министерство  образования и науки Российской  Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Воронежский государственный технический университет

(ФГБОУВПО «Воронежский  государственный университет»)

 

Кафедра радиотехники

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по дисциплине «Основы теории цепей»

 

 Тема «Воздействие  колебаний сложной формы на  линейные цепи»

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент       РТ-102________________________    К.В. Синица_                                                       

                                               Группа                         Подпись,                   инициалы, фамилия

                                                                                        дата

 

Руководитель                                                                                А.В. Останков

                                                                                     Подпись,                  инициалы, фамилия

                                                                                         дата                      

 

 

Защищена _________________                      Оценка _________________    ____

                                        Дата

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВОРОНЕЖ   2012

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечания руководителя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Цель курсовой работы заключается в практическом освоении аналитических и численных методов определения выходных процессов‚ отклика линейной радиотехнической цепи при воздействии на нее входного процесса сложной формы.

Для исследований в работе используются операторный и временной (интеграл Дюамеля) методы. Операторный метод используется для определения импульсной и переходной характеристик цепи. В основе операторного метода лежит преобразование Лапласа. Сущность операторного метода состоит в том, что исходные уравнения заменяются соответствующими уравнениями относительно изображений искомых функций. Из решения последних находятся изображения, а затем при помощи обратного преобразования Лапласа – оригиналы.

Сложные математические расчеты и построение графиков производились в программе Mathcad 14. Скажем несколько слов об этой программе. Программа позволяет производить интегрирование, дифференцирование функций не только численно, но и в символьном виде. Также программа позволяет выполнять прямое и обратное преобразования Фурье и  Лапласа, поддерживает построение двумерных графиков в декартовых и полярных координатах, построение трехмерных графиков, диаграмм. К возможностям программы можно отнести ее способность решать различные виды уравнений и их системы.

Одним из разделов работы является раздел, посвященный численному расчету выходного сигнала. Эта задача решается с помощью алгоритма, основанного на использовании формулы Симпсона. На машинном уровне задача решается с использованием алгоритмического языка высокого уровня C++. C++ - это язык программирования общего применения. Он предоставляет гибкие и эффективные возможности определения новых типов задач. Программист может разделить прикладную программу на легко управляемые фрагменты,  задавая новые типы близкие по смыслу к понятиям прикладной программы.

В работе также исследуются фильтрующие свойства цепи, в частности такие характеристики фильтра как: АЧХ, ФЧХ.

1 Техническое задание

 

Требуется определить отклик линейной радиотехнической цепи при воздействии на нее входного процесса сложной (негармонической) формы. Аналитический вид входного сигнала u1(t) описывается формулой

                                                                     

                                   (1)

 

                                                                                                                               

 

где T- длительность сигнала равная 5 мс.

Схема исследуемой цепи представлена на рисунке 1

 

Рисунок 1- Исследуемая цепь

 

 

Сопротивления резисторов R и емкости конденсаторов С соответственно равны       9100 Ом и  0.22 мкФ.

 

 

2 Расчет входного сигнала

 

Аналитический вид входного сигнала задан формулой (1). Там же, на рисунке 1, приведена схема исследуемой цепи.

Расчет входного сигнала производился с помощью программы Mathcad 14.

 

Таблица 1 – Таблица значений входного  сигнала

 

t, c	U1 (t), В	t, c	U1 (t), В
0	0	0.0018	0.8775
0.0003	0.2592	0.002	0.9093
0.0005	0.4512	0.0023	0.9328
0.0008	0.5934	0.0025	0.9502
0.001	0.6988	0.0028	0.8684
0.0013	0.7769	0.003	0.6629
0.0015	0.8347	0.0033	0.4227

 

 

График входного сигнала представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 - Входной сигнал

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Расчет амплитудно-частотной  и фазочастотной характеристик цепи

 

     Для нахождения комплексного коэффициента передачи данной цепи, следует заменить цепь на ее эквивалент (рисунок 3)

Рисунок 3 – Эквивалентная схема замещения

 

  Операторный метод определяется  по формуле

                                         

                                                                                     (2)    

                                        

  Из схемы замещения находим

 

 
                                                                              (3)

                                    

 

                          
                                                                         (4)

                              

           Подставляем найденные напряжения в формулы (2)

                            

                                                                        (5)

 

 

Введем замену w на 2πf. Для нахождения АЧХ найдем модуль выражения (5) – формула (6), а для нахождения ФЧХ – его  аргумент – формула (7).

                     

                                                (6)

 

 

                              ϕ21(f) =                         (7)

 

      

   Графики АЧХ и ФЧХ представлены на рисунках 4 и 5 соответственно. Их численные значения в таблице 2.

 

Таблица 2-Численные значения АЧХ и ФЧХ

f,Гц	K(f)	f,Гц	φ(f), град
0	1	0	0
150	0.562	300	-56.0929
300	0.3351	600	-72.3584
450	0.241	900	-81.179
600	0.1887	1200	-88.4019
750	0.154	1500	-94.9644
900	0.129	1800	-100.9896

 

 

 

 

 

Рисунок 4-амплитудо-частотная характеристика

 

     Из рисунка  видно, что при частоте равной  нулю, АЧХ стремиться к единице. На нулевой частоте сопротивление конденсаторов стремится к бесконечности и напряжение на выходе равно нулю. При стремлении частоты к бесконечности сопротивление конденсаторов стремится к нулю (на выходе короткое замыкание) и, следовательно, напряжение на выходе стремится к нулю.

 

 

             

 

 

 

Рисунок 5-фазочастотная характеристика

 

         При частоте равной нулю, тока в цепи нет. Входной сигнал передается сразу на выход, поэтому ФЧХ равно нулю. При стремлении частоты к бесконечности сопротивление конденсаторов падает до нуля, ток пойдет через них, а ток, проходящий через второй резистор, при f®¥ будет стремиться к нулю, так как он будет закорочен конденсатором. Выходное сопротивление будет зависеть только от емкости 
4 Расчет переходной и импульсной характеристик

 

    Для того чтобы найти переходную и импульсную характеристики, следует  опередить операторный коэффициент передачи, который получается из частотного заменой  j2πf=p.

 

 

                                                          (8)

      

 

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

 

K(p) = =

 

Теперь зная коэффициент передачи и известные отношения и можно получить оригиналы импульсной и переходной характеристик:

 

           g(t) =             (9)               

     

 

               h(t) =                 (10)

                                                                  

 

Рассчитаем и построим графики характеристик в Mathcad 14.

Рисунок 6-Переходная характеристика

 

 

Проверим правильность полученной характеристики путем проведения качественного физического анализа процессов в цепи при включении постоянного входного сигнала (в начальный момент времени t=0 и в установившемся режиме ). Представим, что на входе цепи действует напряжение, заданное единичной функцией Хевисайда. В начальный момент времени емкости разряжены и представляют собой для постоянного сигнала  короткое замыкание. В результате передаточная характеристика в начальный момент времени должна  быть равна 0, что соответствует действительности. Теперь оценим поведение характеристики на бесконечности. В установившемся режиме емкости полностью заряжены  и представляют собой  для постоянного во времени сигнала разрыв, следовательно, напряжение на выходе будет стремится к 0, что свидетельствует о том, что передаточная характеристика должна стремиться на бесконечности к 0.

 

       

 

Рисунок 7-Импульсная характеристика.

    В начальный момент времени при воздействии на цепь напряжения, описываемого функцией Дирака, емкости полностью заряжаются, а с течением времени разряжаются, чем и объясняется наличие напряжения в цепи после окончания импульса.

T, мc	h(t)	t, мc	g(t),1/c
0	0	0	0
0.0008	92.8679	0.003	0.2586
0.0015	102.03	0.006	0.458
0.0023	92.8745	0.009	0.5981
0.003	82.0286	0.012	0.7014
0.0038	72.8765	0.015	0.7781
0.0045	65.5517	0.018	0.8351

Таблица 3-Переходная и импульсные характеристики

 

5 Аналитический расчет выходного сигнала

 

    Для данного варианта входного сигнала характерно то, что вторая часть его является простой функцией, и, следовательно, для него возможен аналитический расчет. Сигнал на первом участке времени имеет сложную зависимость и, следовательно, рассчитывается только путем численного интегрирования.

    Выходной сигнал данной цепи рассчитывается методом интегралом Дюамеля, на временном промежутке времени от 0 до t.

                     
                            (11)

 

   Подставим в данную  формулу  и

         (12)

 

          Формула выходного сигнала на интервале от 0 до Т/2 представлена ниже.

 

                             (13)

 

            График сигнала, построенный по  полученной формуле, представлен на рисунке 8.

 

 Рисунок 8 – Выходной сигнал, рассчитанный аналитически

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 Численный расчет выходного  сигнала

        Расчет осуществлялся с помощью прикладной программы написанной на языке высокого уровня C++ Builder 6.

Программа реализует численное интегрирование методом Симпсона. Функции “U11”,”U12”,”g”,”h” описывают соответственно входное напряжение на первом и втором интервалах, импульсную и переходную характеристики.. Первоначально проверяется, какому интервалу принадлежит аргумент и если второму, то первая часть интеграла  с U11 рассчитывается с верхним пределом Т/2, иначе с пределом равным аргументу, затем рассчитанное значение присваивается промежуточной переменной. Далее рассчитывается интеграл  с U12, с нижним пределом Т/2 и далее если аргумент принадлежит второму интервалу результатом является сумма первого и второго интегралов, иначе только первый интеграл.