Спектральный анализ аналоговых сигналов и расчет откликов на выходе линейной цепи

Так как сигнал обладает конечной энергией и конечной длительностью, спектральная плотность затухает с увеличением частоты и затухание носит «пульсирующий» характер. Что мы и наблюдаем на рис. 1.6

Рисунок 1.5 – Модуль спектральной плотности аналогового сигнала

Рисунок 1.6 – Аргумент спектральной плотности аналогового сигнала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ СПЕКТРА КОЭФФИЦИЕНТОВ КОМПЛЕКСНОГО РЯДА ФУРЬЕ

Путем дискретизации спектральной плотности аналогового сигнала определим комплексные коэффициенты Фурье:

                                                                                                (1.10)

Где

Произведя численные преобразования, получили выражение для С(n) :

                                                           (1.11)

Значения коэффициентов Фурье, их модулей и фаз представлены в таблице 1:

Таблица 1. Значения коэффициентов Фурье, их модулей и фаз.

n	C(n)		arg(C(n))
0	0	0	0
1	0.275-0.033i	0.277	-0.121
2	-0.042-0.169i	0.174	-1.812
3	0.092-0.035i	0.098	-0.362
4	-0.069-0.131i	0.148	-2.054
5	-0.017+0.011i	0.02	2.537
6	-0.014-0.016i	0.021	-2.296
7	0.012-0.013i	0.018	-0.846
8	0.01+7.174e-3i	0.013	0.604
9	0.031-0.058i	0.066	-1.087
10	-0.027-0.01i	0.029	-2.779
11	7.559e-3-0.031i	0.032	-1.329
12	-0.023-2.779e-3i	0.023	-3.021
13	0	0	1.571
14	0.02-2.382e-3i	0.02	-0.121
15	-5.543e-3-0.022i	0.023	-1.812
16	0.017-6.509e-3i	0.018	-0.362
17	-0.016-0.031i	0.035	-2.054
18	-4.619e-3+3.188e-3i	5.613e-3	2.537
19	-4.376e-3-4.94e-3i	6.599e-3	-2.296
20	4.157e-3-4.693e-3i	6.269e-3	-0.846
21	3.959e-3+2.733e-3i	4.811e-3	0.604
22	0.012-0.024i	0.027	-1.087

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Построим спектральные характеристики периодического сигнала. Под спектральными характеристиками понимают распределение амплитуд и начальных фаз по частотам и называют спектрами амплитуд и фаз соответственно (рис. 1.7 и 1.8):

 

        Рисунок 1.7– Спектр коэффициентов комплексного ряда Фурье

Нетрудно заметить, что наибольшей энергией обладает первая  гармоника, поэтому пороговый критерий для нахождения ширины спектра сигнала в пункте определим именно по первому  коэффициенту. Для сравнения с комплексными коэффициентами ряда постоянную составляющую исходного аналогового сигнала определим отдельно. Она равна:

,                                                                                  (1.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.8 – Спектр фаз коэффициентов комплексного ряда Фурье

Спектр фаз коэффициентов комплексного ряда Фурье имеет большую линейную составляющую, которая мешает увидеть значимую часть фазочастотной характеристики (ФЧХ). Для компенсации линейной составляющей ФЧХ умножим комплексные коэффициенты Фурье на , тогда спектр фаз примет, следующий вид:

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.9 – Спектр фаз коэффициентов комплексного ряда Фурье с компенсированной линейной составляющей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5 НАХОЖДЕНИЕ ШИРИНЫ СПЕКТРА СИГНАЛА

Для ограничения спектра сигнала необходимо задаться пороговым критерием. Из соображений, приведенных выше, порог определим как десятую часть амплитуды первой гармоники.

На рисунке 1.10 изображен спектр коэффициентов комплексного ряда Фурье. Прямая линия, параллельная частотной оси, определяется пороговым критерием.

 

Рисунок 1.10 - Определение ширины спектра аналогового сигнала

Из рисунка видно, что двадцать второй коэффициент – это последний коэффициент с амплитудой, превышающей порог, значит, сигнал будем восстанавливать по шестнадцати гармоникам, то есть .

 

 

 

 

 

 

1.6. ВОССТАВНОВЛЕНИЕ СИГНАЛА УСЕЧЕННЫМ РЯДОМ ФУРЬЕ

Восстановление сигнала определяется следующей формулой:

                             (1.13)

Рисунок.1.11-  Восстановление сигнала усеченным рядом Фурье, N=22

Восстановленный сигнал имеет периодический, пульсирующий характер. Периодизация сигнала произошла из-за дискретизации спектральной плотности в частотной области, а пульсирует восстановленный сигнал из-за ограниченной двадцатью двумя гармониками ширины спектра сигнала.

Рисунок 1.12 – Восстановление сигнала усеченным рядом Фурье по 44 гармоническим колебаниям

Из рисунков 1.11 и 1.12 видно, что при увеличении числа гармоник восстановленный сигнал становится все более похожим на исходный, т. е уменьшается «завал» переднего и заднего фронта.

1.7 РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛОГОВОГО ПЕРЕОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА УСЕЧЕННЫМ РЯДОМ ФУРЬЕ

Так как периодические сигналы обладают бесконечной энергией, для их характеристики пользуются средней мощностью сигнала за период.

Рассчитаем среднюю мощность периодического сигнала:

                     (1.14)

Средняя мощность усеченного ряда Фурье:

                                                                                           (1.15)                     

Чтобы  рассчитать и построить график погрешности, используем формулу                                                                     (1.16)

Таблица 2. – Результаты расчета погрешности аппроксимации периодического сигнала усеченным рядом Фурье для N = 22

n	PN
0	0	1
1	0.038	0.876
2	0.053	0.827
3	0.058	0.811
4	0.069	0.776
5	0.069	0.775
6	0.069	0.774
7	0.07	0.774
8	0.07	0.773
9	0.072	0.766
10	0.072	0.765
11	0.073	0.763
12	0.073	0.763
13	0.073	0.763
14	0.073	0.762
15	0.074	0.761
16	0.074	0.76
17	0.074	0.759
18	0.074	0.758
19	0.074	0.758
20	0.074	0.758
21	0.074	0.758
22	0.075	0.757

                                              

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.13 График погрешности аппроксимации периодического сигнала усеченным рядом Фурье для N = 22

Как мы можем видеть, с увеличением числа гармонических колебаний погрешность уменьшается. Если устремить число гармонических колебаний к бесконечности, то погрешность будет стремиться к нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

2АНАЛИЗ АНАЛОГОВОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ

2.1 ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:

Схема заданного четырехполюсника выглядит следующим образом:

Рисунок 2.1 - Схема исходного аналогового фильтра-прототипа

 

N вар.	N бр.	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7	Z8
58	4(20)	R	pL	2 pL	R	R	R	0	0

 

2.2.РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АНАЛОГОВОГО ФИЛЬТРА

Расчет входного тока:

Рисунок 2.2 модель ЛЭЦ

 

                                                                                                  (2.1)

                                                                                (2.2)

 

Расчет напряжения Uab(p)

 

                                                                                (2.3)

                                                                              (2.4)

Расчет тока I2(p)

                                                                                                (2.5)

                                                                        (2.6)

Расчет падения напряжения на :

                   (2.7)

        Передаточную функцию в операторной форме записи цепи находим методами ОТЦ:

                                                                                            (2.8)

    

Путем замены перейдем от операторной формы записи к частотной.

.                                                                       (2.9)

Произведя нормировку передаточной функции, , построим АЧХ И ФЧХ заданной цепи:

                                                                (2.10)

Модуль полученного коэффициента передачи есть АЧХ фильтра (рис. 2.3):

Рисунок. 2.3 - АЧХ аналогового фильтра-прототипа

 

Рисунок 2.4 ФЧХ аналогового фильтра-прототипа

 

 

Рисунок. 2.5 - АЧХ аналогового фильтра-прототипа при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок. 2.6 - АЧХ аналогового фильтра-прототипа при

Из рисунка 2.3 видно, что перед нами избирательная цепь( последовательный параллельный контур).   При контур ведет себя как интегрирующая цепь (фильтр нижних частот).

 

 

 

 

2.3. РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АНАЛОГОВОГО ФИЛЬТРА

Временными характеристиками цепи называются отклики на типовые воздействия. А именно, импульсная характеристика – отклик ЛЭЦ на воздействие -функции, переходная характеристика – отклик на воздействие единичного скачка.

Временные характеристики определим с помощью обратного преобразования Лапласа.

                                                         (2.11)                

Для решения (2.11) воспользуемся формулой вычетов

                                                            (2.12)

Для подсчета вычетов найдем корни знаменателя :

                                                                                      (2.13)

Используя программу Mathcad, получим корни уравнения:

 

 

Находим вычеты:

                                                             (2.14) Тогда импульсная характеристика имеет вид

Передаточную характеристику найдем, взяв обратное преобразование Лапласа от передаточной функции, поделенной на p:

                                          (2.15)

Находим вычеты:

     

   

Тогда выражение для    будет выглядеть следующим образом:

                                                         (2.16)

Импульсная характеристика связана с переходной через соотношение

                                                                                              (2. 17)

Следовательно, если предыдущие расчеты были верны, то производная от переходной характеристики должна совпасть с импульсной:

Учитывая, что                                                       (2.18)

 Конечные выражения, с учетом нормировки , будут иметь  вид:

                                                      (2.19)