Спектральний аналіз і синтез періодичного сигналу

Міністерство Освіти та Науки,

Молоді та Спорту України

Запорізький національний технічний  університет

 

 

 

Кафедра захисту інформації

 

 

 

 

 

Звіт

З виконаної лабораторної роботи з предмету «ОТК та С»

З теми «Спектральний аналіз і синтез періодичного сигналу»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Підготувала: студентка групи  РТ-712 Панкова Т.Б.

 

Перевірив: зав.каф. Карпуков Л.М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м.Запоріжжя

 

 

 

Мета роботи – вивчення методів спектрального аналізу і синтезу періодичних сигналів з використанням тригонометричних рядів Фур’є.

 

Теоретичні відомості

 

Сигнал  , що задовольняє умові

 (1.1)

називається періодичним, а інтервал часу Т – періодом сигналу. Приклад  періодичного сигналу у вигляді  послідовності прямокутних імпульсів  тривалістю τ і висотою h приведений на рис. 1.

 

h

T

t

u(t)

-τ/2

/2

τ/2

τ/2

τ/2

τ/2

τ/2

τ/2

τ/2

τ/2

ττф/2

t/2

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.1

 

Важливою характеристикою сигналу  є його енергія. Для періодичного сигналу енергія визначається по співвідношенню:

. (1.2)

Періодичний сигнал, який має кінцеве  значення енергії, може бути розкладений  у ряд Фур’є. Формули розкладання сигналу в ряд Фур’є для тригонометричного базису мають наступний вигляд:

, (1.3)

, (1.4)

де  - кутова частота періодичної послідовності імпульсів.

Коефіцієнти рядів обчислюються за співвідношеннями:

, (1.5)

, (1.6)

, (1.7)

де  , .  (1.8)

Данні формули приведені для функції u(t) загального виду.

В випадку коли функція u(t) парна, тобто u(t) = u(-t), то 

a _n = c _n.

Якщо функція u(t) непарна, тобто u(t) = - u(-t) , то

а ₀ = 0, a _n = s _n.

Коефіцієнти ряду (1.4) називаються  гармоніками спектру сигналу. Коефіцієнт - це амплітуда, а коефіцієнт - фаза n-й гармоніки спектру. Набір гармонік утворює спектр сигналу. Розрізняють амплітудно-частотний спектр, представлений діаграмою, складеною з амплітуд гармонік набору, а також фазочастотний спектр у вигляді діаграми, складеної з фаз гармонік.

Аналіз спектру сигналу виконується  за співвідношеннями (1.5) – (1.8). Синтез сигналу за його спектром здійснюється за співвідношеннями (1.3), (1.4). При синтезі  ряди Фур’є складаються з кінцевого  числа членів. Число членів N ряду визначається по ефективній ширині спектру  сигналу. Ефективна ширина спектру  – це інтервал частот, у якому  зосереджене 90% енергії сигналу. По відомому спектру сигналу його потужність можна обчислити по співвідношенню Парсеваля:

, (1.9)

де Р- потужність сигналу,

- потужність постійної складової  спектру,

- потужність n-й гармоніки спектру.

Спектр, складений з потужностей P₀, P_n називається енергетичним спектром сигналу.

На підставі співвідношення (1.9) число  членів ряду N, що визначає ефективну  ширину спектру 

, (1.10)

обчислюється з умови:

. (1.11)

 

Лабораторне завдання

 

Розробити програму і виконати спектральний аналіз і синтез періодичного сигналу, складеного з імпульсів заданої  форми. Варіанти завдань приведені  в табл. 1.1.

T=6τ   t=1.0   рис. 1.6

Для  рис. 1.6: