Робот с тремя степенями свободы

 

,

решение которого

 

    (10.6)

 

После подстановки (10.6) в (10.5) получаем матрицу 

 

,

 

все элементы которой также известны в силу (10.3) и (10.6).

Полагаем  и вычисляем

 

 

. (10.7)

 

Сравниваем элементы полученной матрицы  и матрицы  , вычисленной в п. 10.2, учитывая, что . Идентифицируя элементы матриц с индексами (3,4), придем к равенству

 

.    (10.8)

 

Приравнивая элементы матриц с индексами (3,3), и учитывая основное тригонометрическое тождество, получим

 

    (10.9)

 

Приравнивая элементы матриц с индексами (1,3) и (2,3), находим

 

   (10.10)

 

Наконец, сравнение элементов с  индексами (3,1) и (3,2) дает

 

   (10.11)

 

Итак, на третьем шаге описанного алгоритма  получены все формулы (10.3), (10.6), (10.8) –(10.11), дающие решение обратной задачи кинематики. Заметим, что решением налагается единственное ограничение (10.5) на элементы матрицы  .

Наличие в решении обратной задачи двух парметров  и , принимающих значения , показывает, что существует 4 возможных решения обратной задачи кинематики. Дерево решений показано на рис. 16.

 

10.4. Вычисление матрицы Якоби.

Вычисление матрицы Якоби произведем двумя способами на основании ее представления формулами (9.17) и (9.24).

Первый способ. Вектор  , представляет собой продифференцированный по четвертый столбец матрицы , следовательно

,

,

,

.

Векторы являются третьими столбцами матриц , следовательно

,

,

,

,

.

Итак, матрица Якоби, представленная формулой (9.17), имеет вид

 

 

.(10.12)

 

Второй способ. Выпишем векторы в , которые представлены третьим столбцом матриц :

;

;

;

;

;

Вычислим теперь по формуле (9.23), учитывая, что - последний столбец матрицы , а - последний столбец матрицы :

 

;

;

;

.

 

Вычисляя векторные произведения, стоящие в первой строке матрицы  Якоби (9.24), находим

 

;

;

.

 

По вычисленным элементам можно записать матрицу Якоби, представленную формулой (9.24). Естественно, она совпадает с уже вычисленной по формуле (9.17) матрицей (10.12).

 

 

§11. Алгоритм решения обратной задачи кинематики методом последовательных приближений.

 

Пусть - -мерный вектор операционных координат, определяющий желаемое положение и ориентацию рабочего органа, - соответствующая ему матрица однородного преобразования; - -мерный искомый вектор обобщенных координат, определяющий соответствующую конфигурацию манипулятора.

Задаемся произвольным нулевым  приближением вектора . Пусть - номер шага. Тогда приближенное значение вектора - , уточненное - . Представим матрицу рядом Тейлора с центром в точке и ограничимся линейными членами

 

.     (11.1)

 

Здесь - матрица , определяются формулами (9.8) и могут быть записаны в виде

.                     (11.2)

Матричное равенство (11.1) эквивалентно 12 нетривиальным скалярным равенствам, из которых не более шести независимых. Если за компоненты вектора  взять наддиагональные элементы матрицы , то из (11.1) получим замкнутую систему шести линейных уравнений

                                  (11.3)

для определения компонент  вектора в -м приближении. Процесс заканчивается на -м шаге при выполнении условий

.                                     (11.4)

Тогда с точностью до можно положить .

Эффективность описанного процесса, как и всякого итерационного  метода, существенно зависит от удачного выбора начального приближения. Следует  также отметить, что метод позволяет  получить только одно из возможных решений обратной задачи. Применение описанной процедуры представляется наиболее разумным в том случае, когда располагая решением обратной задачи о положении руки, необходимо подсчитать малые приращения обобщенных координат с тем, чтобы осуществить малое изменение положения и ориентации захвата.

 

Л И Т Е Р А Т У Р  А

 

1. Р.Пол. Моделирование, планирование  траекторий и управление движением  робота-манипулятора. Москва, «Наука», 1976, 103с.