Теория принятия решений

Тогда ход решения задачи трех станков можно представить  следующей формальной схемой.

Нулевой шаг. Задание множества G⁽⁰⁾, образуется всеми возможными последовательностями (s = 0).

Вычисление оценки для множества G₀:

где   D(0) = max {d_A(0), d_B (0), б_C (0)},

;  ;  .

Первый шаг.Образование    множеств    G₁⁽¹⁾ U G₁⁽²⁾ U... …G₁⁽ⁿ⁾.

Подмножество G_k определяется всеми последовательностями с началом i_k(k — 1, ...,n ).

Вычисление оценок. Оценку для последовательности s_k определяют из соотношения (4), т. е.

   D(s_k) = max {d_A(s_k), d_B (s_k), d_C (s_k)};  k = 1, n.

Выбор варианта для продолжения. Из всех подпоследовательностей, построенных на предыдущем шаге, выбирают наиболее перспективную последовательность s_k с наименьшей оценкой, т. е.

D(s_k⁽¹⁾)=min D(s_j⁽¹⁾).

Ветвление. Выбрав наиболее перспективный вариант последовательности s_k⁽¹⁾, развивают его построением всех возможных подпоследовательностей длиной 2 с началом  s_k⁽¹⁾ вида   s_k+1⁽²⁾= (s_k⁽¹⁾, j), где j не входит в s_k.

Вычисление оценок производят в соответствии с соотношениями (1), (2), (3).

k - ш а г. Допустим, что уже проведено k шагов, в результате чего построены варианты s₁^(k), s₂^(k) ,…,s_vk^(k), а именно подпоследовательности длиной k.

Выбираем самый перспективный  вариант s_S^(k) такой, что

D(s_s^(k))=min D(s_j^(k)).

Множество G_s^(k) разбиваем на (п — k) подмножеств, каждое из которых образуется добавлением к последовательности s_s^(k) некоторого элемента i_k+1 такого, что i_k+1 .

Оценка  определяется в соответствии с соотношениями (1) — (4).

В результате строим дерево вариантов следующего вида: вершина  О отвечает s = 0, вершины первого уровня G₁⁽¹⁾, G₂⁽¹⁾..., G_n⁽¹⁾ соответствуют последовательностям длиной 1, т. е. s₁⁽¹⁾ = 1, s₂⁽¹⁾ = 2,..., s_n⁽¹⁾ = п и т. д. Каждая конечная вершина отвечает последовательности максимальной длины п.

Признак оптимальности. Если s_v⁽ⁿ⁾  отвечает конечной вершине дерева, причем оценка наименьшая из оценок всех вершин, то s_v⁽ⁿ⁾ — искомый вариант, иначе переходим к продолжению варианта с наименьшей оценкой.

 

Пример 6. Рассмотрим задачу .трех станков, условия которой приведены  в табл. 1:

Таблица 1

Длительность операций	Деталь
	1	2	3	4	5
ai bi ci	2 3 4	5 2 4	1 1 2	3 4 2	3 5 2

Нулевой шаг. s = 0.

d_A(s = 0) = A(0) +

  +   = 0 + 14 + 3 = 17;

d_B(s = 0) = В(0) +

+  min c_j = 0 + 15 + 2 = 17;

d_C(s = 0) = С(0) +

=14 .

 

Тогда

∆ (s = 0) = max {17, 17,14} = 17.

Первый шаг. Конструируем все возможные последовательности длиной 1

s₁⁽¹⁾  = 1;  s₂⁽¹⁾ = 2;   s₃⁽¹⁾ = 3;   s₄⁽¹⁾ = 4;   s₅⁽¹⁾ = 5.

Находим

d_A⁽¹⁾  = A₁  +

  +   = 14 + 3 = 17;

d_B⁽¹⁾(s = 0) = В₁ +

+   = 5 + 12 + 2 = 19;

d_C⁽¹⁾ = С₁ +

= 9 + 10 = 19 .

 

Откуда ∆ (1) = max {17, 19, 19} = 19.

Аналогично определяем ∆ (2), ∆ (3), ∆ (4), ∆ (5).

Второй шаг. Среди множества подпоследовательностей длиной 1, s₁⁽¹⁾ = 1, s₂⁽¹⁾ = 2,..., s₅⁽¹⁾ = 5  выбираем наиболее перспективную s = 1, для которой величина оценки-прогноза ∆ (s) оказывается наименьшей. Далее развиваем ее, конструируя возможные варианты длиной 2, т. е. (1.2), (1.3), (1.4), (1.5).

Для каждого из этих вариантов  вновь определяем оценки по формулам (1) — (4).

Процесс вычислений продолжаем аналогично.

Процесс построения дерева вариантов приведен на рис. 1.

Каждой конечной вершине  дерева вариантов будет отвечать полная последовательность s = i₁,i_2,,.i_n. Если для некоторой такой вершины величина оценки ∆ (s) не превосходит величины оценок для всех остальных вершин, то эта оценка определяет искомый оптимальный вариант. В противном случае разбиваем более перспективный вариант с наилучшей оценкой.

Конечная вершина определяет вариант (последовательность) = 3, 1, 5, 2, 4  с наилучшей оценкой ∆ = 20. Поэтому данный вариант является оптимальным.

Непосредственной проверкой  убеждаемся, что время обработки  всей последовательности деталей для  этого варианта совпадает со значением оценки-прогноза и является минимальным:

 

Литература

1)Зайченко Ю. П., «Исследование  операций», Киев «Высшая школа» 1975г.

2)Акулич И.Л., «Математическое программирование  в примерах и задачах», Москва  «В ысшая школа» 1993г.

3)Кузнецов Ю.Н., Кузубов  В.И., Волощенко А.Б. «Математическое  программирование», Москва «В  ысшая школа» 1980г.