Апробация программы моделирования случайной величины с помощью функции Коши

В теории вероятностей и математической статистике применяется большое количество различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения.

 

1.3 Функция распределения  вероятностей Коши

Распределение Коши́ в теории вероятностей  — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Пусть распределение случайной величины  задаётся плотностью  , имеющей вид:

,   (2)

 Где  — параметр сдвига;  — параметр масштаба.

Тогда говорят, что   имеет распределение Коши и пишут  . Если в (2) заменить   и  , то такое распределение называется стандартным распределением Коши.

Функция распределения  Коши имеет вид:

.

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

 

1.4 Свойства распределения  Коши

Так как интеграл Лебега не определён для  , ни математическое ожидание, ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Распределение Коши бесконечно делимо.

Распределение Коши устойчиво. В частности, выборочное среднее выборки из стандартного распределения Коши само имеет стандартное распределение Коши: если  , то

.

Если  , то

.

Если   — независимые нормальные случайные величины, такие что  , то

.

Стандартное распределение Коши является частным случаем распределения Стьюдента:

.

 

ГЛАВА 2 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.1 Описание метода кусочной аппроксимации

Метод кусочной аппроксимации заключается в том, что для формирования одного случайного числа из последовательности с заданным законом распределения необходимо дважды использовать датчик случайных чисел. Процедура получения случайного числа yi сводиться к:

1. Случайный выбор интервала (определение значения aj)
2. Случайный выбор «b» из этого интервала
3. Формирование случайного числа в соответствии с формулой

При выборе интервала на первом шаге процедуры учитываеться плотность распределения. С этой целью ее кусочно-линейно аппроксимируют отрезками прямых, параллельных оси абсцисс (рис. 6)

Рис.6 - Кусочно-линейно аппроксимированный график плотности распределения по закону Коши.

Количество интервалов разбиения области определения случайной величины обычно выбирается достаточно большим (в связи с этим в работе было использовано разбиение на 400 интервалов).

 

2.2 Описание алгоритма моделирования случайной величины

Методом кусочной аппроксимации будем моделировать случайную величину, имеющую закон распределения Коши, заполнить массив из 300 точек.

Построим график плотности распределения по закону Коши ( ):

Рис. 7 График распределения Коши.

1. Необходимо разбить интервал от –20 до 20 на n подинтервалов (возьмем n=40) и вычислить вероятность попадания на каждый из этих подинтервалов.
2. Составить массив [a1,aj], так чтобы a1=0, a, , случайно сгенерировать значение числа «b» из промежутка от 0 до 1,
3. Найти номер интервала в который она попадет и второй раз используя датчик случайных чисел сгенерировать случайную добавку «b».

ГЛАВА 3 РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ КОШИ

Для создания программы, которая методом кусочной аппроксимации моделирует случайную величину, имеющую закон распределения Коши, заполняя массив из 300 точек будем использовать следующие переменные:

 

const a[40] – массив содержащий точки заданного интервала.

int i,j – переменные счетчика

float a1- случайная величина для проверки условия рапрееления

float b1[300] – выходной массив

float o[40],l[40] – массивы для выполнения промежуточных операций

 

 

ГЛАВА 4 АПРОБАЦИЯ ПРОГРАММЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ КОШИ

Результат работы программы – генерируемый массив, имеющий закон распределения Коши:

Критерием Пирсона проверим, что данный массив имеет соответствующий закон распределения.

Для построения гистограммы и нахождения числовых характеристик, необходимо составить статистический ряд.

 

Рис.8 - Статистический ряд

Рис. 9 Гистограмма полученного статистического ряда.

По данным статистического ряда вычислим числовые характеристики:

Числовые характеристики:

- статистическое математическое ожидание

 

- статистическая дисперсия

 

- статистическое среднеквадратическое  отклонение 

 

- скошенность

 

- эксцесс

 

Для нахождения необходимо вычислить Pi (вероятности попадания на каждый из интервалов). Вероятность попадания может быть найдена как площадь криволинейной трапеции, ограниченной концами этого интервала слева и справа, и графиком плотности распределения сверху:

По найденной частоте и вероятности, вычислим значение :

Число степеней свободы r = 7, а уровень значимости p = 0.1, следовательно значение будет равным 12.02.

Таким образом, сравнив значения и получим, что , а, следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины по закону Коши.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В ходе выполнения курсовой работы было рассмотрено распределение Коши, которое нашло свое применение для решения следующих прикладных задач:

• Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (то есть направление прямой изотропно на плоскости).
• В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
• Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.

Можно сделать вывод, что функция Коши является эффективным инструментом анализа, применяемым в различных научных областях.

В ходе выполнения курсовой работы была написана программа, формирующая случайные величины при помощи функции Коши.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. «Теория Статистики» под редакцией Р.А. Шмойловой/ «ФиС», 1998.
2. В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. Теория вероятностей и математическая сатистика. М., 1991.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей.–М.:Наука, 1969.
4. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика., М.: Наука, 1979.
5. Ш. Феллер В., Введение и теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1967. А. В. Прохоров.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Листинг prog.cpp

#include "stdafx.h" #include <math.h> #include <stdlib.h> #include <string.h>     int i,j;   float a1,x; float b1[300]; float o[40],l[40];     void main(){ float a[40]={0.0008,0.0009,0.001,0.0011,0.0013,0.0015,0.0017,0.002,0.0024, 0.00287,0.0035,0.0043,0.0056,0.0074,0.01,0.015,0.024,0.045,0.102,0.25,0.25, 0.102, 0.045,0.024,0.015,0.01,0.0074,0.0056,0.0043,0.0035,0.00287,0.0024,0.002 0.0017,0.0015,0.0013,0.0011,0.001,0.0009,0.0008}; o[0]=0;   for (i=0;i<=40;i++) o[i+1]=o[i]+a[i];   x=-20; for (i=0;i<=40;i++) { l[i]=x; x=x+1; }   printf("Массив имеющий закон распределения Коши:");   for (j=1;j<=300;j++){ float a1=rand();   for (i=0;i<=40;i++) { if ((a1>o[i])&&(a1<o[i+1])) break;}  b1[j]=rand()+l[i]; printf(" b1[j]=%d",b1[j]);   if (j%10==0)printf(""); if (j%210==0)scanf; }