Золотое сечения

    Форма спирали завитой  раковины привлекла внимание  Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называют его именем. Увеличение ее шагов всегда равномерно, в настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

    Еще Гете подчеркивал  тенденцию природы к спиральности. Винтообразности и спиралевидное  расположение листьев на ветках  деревьев подметили давно. Спираль  увидели в расположении семян  подсолнечника, в шишках сосны,  ананасах, кактусах и т.д. Совместная  работа ботаников и математиков  пролила свет на эти удивительные  явления природы. Выяснилось, что  в расположении листьев на  ветки(филлотаксис), семян подсолнечника  , шишак сосны проявляет себя  ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого  сечения. 

 Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете назвал спираль «кривой жизни»       Среди придорожных трав растет ничем не примечательная растения – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

  Отросток делает спиральные выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принят за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий- 38, четвертый- 24 и т.д. длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

  В ящерице с первого взгляда  улавливаются приятные для нашего  глаза пропорции- длина ее хвоста  так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

  И в растительном, и в животном  мире настойчиво пробивается  формообразующая тенденция природы-  симметрия относительно направления  роста. 

 Природа осуществила деление  на симметричные части и золотые  пропорции. В частях проявляется  повторение строение целого.

 Великий Гете, поэт, естествоиспытатель  и художник(он рисовал и писал  акварелью), мечтал о создании  единого учения о форме, образовании  и преобразовании органических  тел. Это он ввел в научный  обиход термин морфология.

 Пьер Кюри в начале нашего  столетия сформировал ряд глубоких  идей симметрии. Он утверждал,  что нельзя рассматривать симметрию  какого- либо тела, не учитывая  симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии  проявляются в энергетических переходах  элементарных частиц, в строении некоторых  химических соединений, в планетарных  и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти  закономерности как указано выше, есть в строении отдельных органов  человека и тела в целом, а также  проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

 

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ и симметрия.

Золотое сечение нельзя рассматривать  само по себе, отдельно, без связи  с симметрией

 Золотое деление не есть  проявление асимметрии, чего-то противоположного  симметрии. Согласно современным  представлениям золотое деление  – это асимметрическая симметрия.  В науку о симметрии вошли        такие понятия, как статистическая и динамическая симметрия. Статистическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическое - движение, рост. Так, в природе статистическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статистической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возвращающего или убывающего ряда.

Обобщенное ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи  золотого деления в растительном и животном мире, не говоря уж об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ученые продолжали активно развивать  теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирование) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи – ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал. Одним достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

В общем виде золотая S- пропорция есть положительный корень уравнения золотого S- сечения   xS+xS-1=0

Нетрудно показать, что при S=0 получается деление отрезка пополам, а при S=1 –знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S- чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотое S- сечения является числовыми инвариантами S- чисел Фибоначчи.

   Факты, подтверждающие существование  золотых S –сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко  в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т.п.) только в том случае, если удельные веса исходным компонентов связаны друг с другом одной из золотых S- пропорций.  Это позволило автору выдвинуть гипотезу о том, что золотое S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем.

 С помощью кодов золотой  S –пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S- пропорций с целыми коэффициентами.

  Принципиальное отличие такого  способа кодирование чисел заключается  в том, что основания новых  кодов представляющий собой золотое  S- пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами.

  Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала,  счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое  натуральное число всегда представимо  в виде конечной - а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотой S- пропорций.

4. Заключение.

Изучив соответвующую литературу и проведя свои исследование я доказала, что пропорциональность отрезков сохраняется, это хорошо видно на приведенных мною результатах. Действительно в окружающем нас современном мире применяются использованные в древности свойства золотого сечения. Четко прослеживается взаимосвязь математики и искусства.

 

 

                                            

                    

  

 

 

 

 

 

V Грачевская районная научная конференция школьников.

 

 

 

 

 

Секция: математика.

Название работы «Золотое сечение».

 

 

 

 

 

 

                                Автор работы:

                    Место выполнения работы: с. Бешпагир,

                                 МОУ СОШ №2, 10 класс.

                             Научный рук.: Гребенюк Марина  Васильевна,       

                                 Учитель математики,

                высшая квалификационная категория.

 

 

 

 

с. Бешпагир, 2008

               

 

    Золотое сечение

Автор работы: Душина Анны

Ученица 10 А класс.           

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия  владеет двумя сокровищами –  теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем. Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение - далеко не все.

Есть предположение, что Пифагор  свое знание золотого деления позаимствовал  у египтян и вавилонян.

  В эпоху Возрождения усиливается  интерес к золотому делению  среди ученых и художников  в связи с его применением,  как в геометрии, так и в  искусстве, особенно в архитектуре.

 В 1509г. в Венеции была  издана книга Луки Пачоли «божественная  пропорция»

Леонардо да Винчи также много  внимания уделял изучению золотого деления.

  В последующие века правило  золотой пропорции превратилась  в академический канон и, когда  со временем в искусстве началась  борьба с академической рутиной,  в пылу борьбы «вместе с  водой выплеснуло и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение  было в середине XIX в.

  Золотое сечение – это  такое пропорциональное деление  отрезка на неравные части,  при котором весь отрезок так  относится к большей части,  как сама большая часть относится  к меньшей; или другими словами,  меньший отрезок так относится  к большому, как большой ко  всему  

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу. Что золотое  сечение выражает средний статистический закон.

Я провела свои исследовательскую  работу и получила следующие результат. Мой рост  173см., расстояние от пола до середины живота =109см… составила  и получила пропорцию. 64:109=0.587… 109:173= 0.630… Также я измерила свою руку и тоже составила пропорции 8:13=0.615.. 5:8= 0.625. Мои исследования человеческого тела позволяют сказать о выполнение пропорции частей и деление в крайнем и среднем отношении.

Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности, назвал спираль «кривой жизни»      

Изучив соответвующую литературу и проведя свои исследование я  доказала, что пропорциональность отрезков сохраняется, это хорошо видно на приведенных мною результатах. Действительно  в окружающем нас современном  мире применяются использованные в  древности свойства золотого сечения. Четко прослеживается взаимосвязь математики и искусства.

 

         Библиография.

1. Александров А.Д. Геометрия. Учебник для 7- 9 кл. Москва «Просвещение» 2004.
2. Александров А.Д. Геометрия. Учебник для 10 -11 к. Москва «Просвещение» 2004.
3. Левитас Г.Г. Геометрия без доказательств. Москва «Просвещение» 1995.
4. Перельман Я.И. Занимательная геометрия. Москва. АО «Столетие» 1994.
5. Энциклопедический словарь юного математика. Москва «Посвящение» 1996

 

 

 

 

 

 

 

 

                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выступление.                                                                                                                   

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет  двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением. И  если первое из этих двух сокровищ можно  сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем. Теорему  Пифагора знает каждый школьник, а  что такое золотое сечение - далеко не все. Человек различает окружающие его предметы по форме. Форма, в основе построения которой лежат сочетания  симметрий и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты  и гармоний. Целое всегда состоит  из частей, части равной величины находятся  в определенном отношений друг к  другу и к целому. В своей  работе я хочу показать, что знания золотого сечения способствует наилучшему восприятию окружающей нас живой  и не живой природы. Исходя из этого, гипотеза – благодаря золотому сечению наш мир – пропорционален. Цели и задачи:

1 Дать понятию «золотому сечению»

2 Взаимосвязь с окружающим миром

3 Показать взаимосвязь математики и искусства

4. Рассмотреть роль пропорциональности отрезков в окружающем нас мире

 Метод исследования - Экспериментальный.

Принято считать, что понятие о  золотом делении ввел в научный  обиход Пифагор, древнегреческий  философ  и математик(VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробниц Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» ЕвклидаПосле Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. до н. э.) и др.В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре.Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1509г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «божественная пропорция» Эта книга была восторженным гимном золотой пропорции. Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.