Многообразие подходов и доказательства в решении одной геометрической задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МНОГООБРАЗИЕ  ПОДХОДОВ  И  ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

В  РЕШЕНИИ  ОДНОЙ  ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ  ЗАДАЧИ

 

 

 

 

Богданова Ирина,

                                                                        МОУ СОШ № 92,7 «В»класс

 

 

 

Руководитель: Шугалов Б.С.,

кандидат физ.-мат. наук, доцент КРИПКиПРО

 

 

 

 

 

 

                                                                                                       Кемерово,  2013г.

 

                           

                               Содержание:

 

Задача                                                                                                     3стр.

 

1. Решение задачи, использующее осевую симметрию

равнобедренной трапеции                                                                    4стр.

 

2. Другой подход к доказательству  равносоставленности

данных многоугольников                                                                     5стр.

 

3. Решение задачи, использующее  формулы для площади

треугольника и трапеции                                                                      6стр.

 

Заключение                                                                                             7стр.

 

Литература                                                                                              8стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

При доказательстве теорем в геометрии чертёж облегчает  восприятие логического обоснования  определённого свойства геометрической фигуры. Вот как характеризуется доказательство в одном из известных учебников геометрии: «При доказательстве теорем разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выражаем словами. Не разрешается использовать в рассуждении свойства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее» [2, С. 18].

Но, конечно, чертёж является не только иллюстрацией к доказательству теоремы. В геометрических построениях открываются различные свойства фигур и намечаются пути их доказательств. Например, построив равнобедренный треугольник, можно увидеть, что углы при основании такого треугольника равны. Впервые это свойство равнобедренного треугольника доказал древнегреческий мыслитель, основатель античной философии и науки Фалес Милетский (около 625 г. – около 547 г. до н. э.) [3, С. 35].

В данной работе различные свойства определённой геометрической фигуры выявляются и доказываются в ходе решения ведущего вопроса о равенстве площадей двух неравных многоугольников. При этом используются основные свойства площади, признаки равенства треугольников, симметрия и другие свойства геометрических фигур.

 

Задача. Вокруг окружности с центром в точке О  описана равнобедренная трапеция. Через вершину меньшего основания и центр О  проведена прямая, разбивающая трапецию на два многоугольника. Найдите отношение площадей этих многоугольников.

 

 

 

1. Решение задачи, использующее осевую симметрию  равнобедренной трапеции

Сделаем чертёж. Окружность с центром О вписана в равнобедренную трапецию  ABCD. Прямая  СО  разбивает трапецию на треугольник CDE  и  трапецию  АВСЕ (рис. 1). Возможно, площади этих многоугольников равны,  S(CDE) = S(ABCE)?

Через точку  О проведём прямую, перпендикулярную основанию  AD (а значит, и основанию  ВС). Пересечение этой прямой с основаниями трапеции – точки M  и  N. Прямая MN  является осью симметрии трапеции 

 

 

 

 

 

 

ABCD; ось MN разбивает трапецию на две равные трапеции. Поэтому площади этих трапеций равны:

S(ABMN) = S(DCMN) = S(ABCD).

Трапеция  ABMN  состоит из пятиугольника  АВМОЕ  и треугольника  EON. Трапеция  АВСЕ  состоит из того же пятиугольника АВМОЕ  и треугольника  СОМ. Треугольники  EON  и  COM  равны. А значит, трапеция  ABMN  и АВСЕ  равносоставленные фигуры; их площади равны:

S(ABMN) = S(АВСЕ) = S(ABCD).

Отсюда следует, что  S(АВСЕ) = S(CDE). Многоугольники, на которые прямая  СО  разбивает данную трапецию – равновелики.

Проведённое рассуждение  не имеет достаточного обоснования: следует доказать, что треугольники  EON  и  СОМ  равны, а прямая  MN – ось симметрии трапеции  ABCD.

1.1. Обоснование  представленного решения

 

Точка  N  совпадает с точкой касания окружности и прямой  AD (рис. 1). В самом деле, соединим точку  О с точкой касания окружности основания AD. Получим перпендикуляр к прямой  AD, опущенный из точки О (касательная к окружности перпендикулярна её радиусу, проведённому в точку касания). Совпадение точки N  с точкой касания следует из единственности перпендикуляра, проведённого через данную точку к данной прямой.

Аналогично устанавливается, что точка  М  совпадает с точкой касания окружности и прямой  ВС. Треугольники  EON  и  СОМ  равны по стороне (ОМ = ON) и прилежащим к ней углам.

Точка  М – середина основания ВС (рис. 1). Действительно, углы при основании равнобедренной трапеции равны, ÐВ = ÐС. А лучи  ВО  и СО – биссектрисы этих углов. Поэтому равны прямоугольные треугольники  ОВМ  и ОСМ (ÐОВМ = ÐОСМ, катет ОМ – общий). Следовательно, ВМ = СМ. Аналогично устанавливается, что точка N – середина основания  AD. А значит, преобразование симметрии относительно прямой  MN  переводит трапецию  ABCD  в себя. Прямая, проходящая через центр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, и перпендикулярная её основаниям, совпадает с осью симметрии трапеции.

 

2. Другой подход  к доказательству равносоставленности  данных многоугольников

Из вершин  В  и С  меньшего основания опустим перпендикуляры на большее основания трапеции. Получился прямоугольник ВСЕН (рис. 2).

Так как  ∆ АВЕ = ∆ DCH  и  ∆ ВСЕ = ∆ НЕС, то трапеция  АBСЕ  и треугольник CDE  равносоставленные фигуры, а значит, равны их площади:

S(ABCE) = S(CDE).

 

 

 

 

 

 

 

При таком подходе к  решению задачи следует доказать, что основание перпендикуляра, проведённого из вершины В  к прямой  AD, принадлежит прямой  СО.

 

2.1. Обоснование представленного решения

Соединим точку  В  с точкой  Е  и докажем, что угол  ВЕА – прямой (рис. 2).

Через точку  О  проведём прямую, перпендикулярную основаниям трапеции. Пересечение этой прямой с прямыми ВС  и AD – точки М  и N. Как было доказано выше (пункт 1), треугольники  EON  и  COM  равны и точка N – середина отрезка  AD. Так как СМ = ЕN  и  СМ = NH, то  EN = NH. Поэтому  AE = AN – EN = DN – NH = DH. Треугольники  АВЕ  и DCH  равны по двум сторонам и углу между ними (AB = DC, AE = DH, ÐA = ÐD). Следовательно, ÐВЕА = ÐСНD = 90°.

Итак, прямая, проходящая через  вершину меньшего основания равнобедренной трапеции и центр вписанной в  неё окружности, проходит и через  основание высоты трапеции, проведённой  из другой вершины её меньшего основания.

 

 

 

 

3. Решение задачи, использующее формулы для площади  треугольника и трапеции

Площадь треугольника  S(CDE) = DECH (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

Рассматривая чертёж, можно  предположить, что треугольник  CDE – равнобедренный: CD = DE.

В самом деле, ÐВСЕ = ÐCED (как накрест лежащие углы при параллельных прямых) и ÐВСЕ = ÐDCE ( луч  СО – биссектриса угла  BCD). Следовательно, ÐCED = ÐDCE. Треугольник CDE – равнобедренный. Поэтому площадь треугольника  CDE  можно представить в виде:

S(CDE) = СDCH.

Площадь трапеции  S(ABCD) = (AD + BC)CH.

Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны:  AD + BC = АВ + CD [1, С. 183]. Поэтому выражение для площади равнобедренной трапеции принимает вид:

S(ABCD) = (АВ + CD)CH = CDCH.

Из полученных выражений  для площади треугольника и трапеции следует  S(ABCE) = S(CDE).

 

 

 

 

Заключение

 

В работе представлены различные  подходы к доказательству равенства  площадей двух неравных многоугольника – треугольника и трапеции.

Дополнительным построением  показана равносоставленность этих фигур. Отсюда и следует равенство площадей рассматриваемых многоугольников (равновеликость фигур).

При другом подходе используются формулы, выражающие площадь треугольника и площадь трапеции.

В ходе решения поставленной задачи выявляются и доказываются различные  свойства описанной равнобедренной трапеции. Так, прямая, проходящая через  вершину меньшего основания равнобедренной трапеции и центр вписанной в  неё окружности, проходит и через  основание высоты трапеции, проведённой  из другой вершины её меньшего основания.

При обосновании решения  задачи используются основные свойства площади, признаки равенства треугольников, симметрия и другие доказанные свойства геометрических фигур.

 

Литература

 

1. Геометрия, 7 – 9: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2011.

2. Погорелов, А. В. Геометрия: Учебник для 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1997.

3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Ред. Коллегия: М. Аксённова, В. Володин и др. – М.: Аванта+, 2005.