Московский областной аграрно-технологический
техникум
Реферат на тему «Многогранники»
Студента
группы Т-38
Орехова Никиты
Многогранник
часть пространства,
ограниченная совокупностью конечного
числа плоских многоугольников (см.
Геометрия), соединенных таким образом,
что каждая сторона любого многоугольника
является стороной ровно одного другого
многоугольника (называемого смежным),
причем вокруг каждой вершины существует
ровно один цикл многоугольников. Эти
многоугольники называются гранями, их
стороны - ребрами, а вершины - вершинами
многогранника. На рис. 1 представлены
несколько известных многогранников.
Первые два служат примерами р-угольных
пирамид, т.е. многогранников, состоящих
из р-угольника, называемого основанием,
и р треугольников, примыкающих к основанию
и имеющих общую вершину (называемую вершиной
пирамиды). При р = 3 (см. рис. 1,а) основанием
может служить любая грань пирамиды. Пирамида,
основание которой имеет форму правильного
р-угольника, называется правильной р-угольной
пирамидой. Так, можно говорить о квадратных,
правильных пятиугольных и т.д. пирамидах.
На рис. 1,в, 1,г и 1,д приведены примеры некоторого
класса многогранников, вершины которых
можно разделить на два множества из одинакового
числа точек; точки каждого из этих множеств
являются вершинами р-угольника, причем
плоскости обоих p-угольников параллельны.
Если эти два р-угольника (основания) конгруэнтны
и расположены так, что вершины одного
р-угольника соединены с вершинами другого
р-угольника параллельными прямолинейными
отрезками, то такой многогранник называется
р-угольной призмой. Примерами двух р-угольных
призм могут служить треугольная призма
(р = 3) на рис. 1,в и пятиугольная призма
(р = 5) на рис. 1,г. Если же основания расположены
так, что вершины одного р-угольника соединены
с вершинами другого р-угольника зигзагообразной
ломаной, состоящей из 2р прямолинейных
отрезков, как на рис. 1,д, то такой многогранник
называется р-угольной анти призмой.
Рис. 1. МНОГОГРАННИКИ.
а - тетраэдр, или пирамида с треугольными
гранями; б - пирамида с треугольными гранями
и квадратным основанием; в - треугольная
призма; г - пятиугольная призма; д - р-угольная
антипризма; е - исключенный тип многогранника
с пересекающимися гранями.
Кроме двух
оснований, у р-угольной призмы имеются
р граней - параллелограммов. Если параллелограммы
имеют форму прямоугольников, то призма
называется прямой, а если к тому же основаниями
служат правильные р-угольники, то призма
называется прямой правильной р-угольной
призмой. р-угольная антипризма имеет
(2p + 2) граней: 2р треугольных граней и два
p-угольных основания. Если основаниями
служат конгруэнтные правильные р-угольники,
а прямая, соединяющая их центры, перпендикулярна
их плоскостям, то антипризма называется
прямой правильной р-угольной антипризмой.
В определении многогранника последняя
оговорка сделана для того, чтобы исключить
из рассмотрения такие аномалии, как две
пирамиды с общей вершиной. Теперь мы введем
дополнительное ограничение множества
допустимых многогранников, потребовав,
чтобы никакие две грани не пересекались,
как на рис. 1,е. Любой многогранник, удовлетворяющий
этому требованию, делит пространство
на две части, одна из которых конечна
и называется "внутренней". Другая,
оставшаяся часть, называется внешней.
Многогранник называется выпуклым, если
ни один прямолинейный отрезок, соединяющий
любые две его точки, не содержит точек,
принадлежащих внешнему пространству.
Многогранники на рис. 1,а, 1,б, 1,в и 1,д выпуклые,
а пятиугольная призма на рис. 1,г не выпуклая,
так как, например, отрезок PQ содержит
точки, лежащие во внешнем пространстве
призмы.
ПРАВИЛЬНЫЕ
МНОГОГРАННИКИ
Выпуклый
многогранник называется правильным,
если он удовлетворяет следующим
двум условиям: (i) все его грани -
конгруэнтные правильные многоугольники;
(ii) к каждой вершине примыкает одно и то
же число граней. Если все грани - правильные
р-угольники и q из них примыкают к каждой
вершине, то такой правильный многогранник
обозначается {p, q}. Это обозначение было
предложено Л. Шлефли (1814-1895), швейцарским
математиком, которому принадлежит немало
изящных результатов в геометрии и математическом
анализе. Существуют невыпуклые многогранники,
у которых грани пересекаются и которые
называются "правильными звездчатыми
многогранниками". Так как мы условились
такие многогранники не рассматривать,
то под правильными многогранниками мы
будем понимать исключительно выпуклые
правильные многогранники.
Платоновы тела.
На рис. 2 изображены правильные многогранники.
Простейшим из них является правильный
тетраэдр, гранями которого служат
четыре равносторонних треугольника и
к каждой из вершин примыкают по
три грани. Тетраэдру соответствует
запись {3, 3}. Это не что иное, как
частный случай треугольной пирамиды.
Наиболее известен из правильных многогранников
куб (иногда называемый правильным гексаэдром)
- прямая квадратная призма, все шесть
граней которой - квадраты. Так как
к каждой вершине примыкают по
3 квадрата, куб обозначается {4, 3}. Если
две конгруэнтные квадратные пирамиды
с гранями, имеющими форму равносторонних
треугольников, совместить основаниями,
то получится многогранник, называемый
правильным октаэдром. Он ограничен
восемью равносторонними треугольниками,
к каждой из вершин примыкают по
четыре треугольника, и следовательно,
ему соответствует запись {3, 4}. Правильный
октаэдр можно рассматривать и как частный
случай прямой правильной треугольной
антипризмы. Рассмотрим теперь прямую
правильную пятиугольную антипризму,
грани которой имеют форму равносторонних
треугольников, и две правильные пятиугольные
пирамиды, основания которых конгруэнтны
основанию антипризмы, а грани имеют форму
равносторонних треугольников. Если эти
пирамиды присоединить к антипризме, совместив
их основания, то получится еще один правильный
многогранник. Двадцать его граней имеют
форму равносторонних треугольников,
к каждой вершине примыкают по пять граней.
Такой многогранник называется правильным
икосаэдром и обозначается {3, 5}. Помимо
четырех названных выше правильных многогранников,
существует еще один - правильный додекаэдр,
ограниченный двенадцатью пятиугольными
гранями; к каждой его вершине примыкают
по три грани, поэтому додекаэдр обозначается
как {5, 3}.
Рис. 2. ПЛАТОНОВЫ
ТЕЛА, или правильные многогранники,
имеют в качестве граней конгруэнтные
правильные многоугольники, причем число
граней, примыкающих к каждой вершине,
одинаково. Таковы, как показано на рисунке,
тетраэдр, куб (или гексаэдр), октаэдр,
икосаэдр и додекаэдр. Первое число в скобках
указывает, сколько сторон у каждой грани,
второе - число граней, примыкающих к каждой
вершине.
Пять перечисленных
выше правильных многогранников, часто
называемых также "телами Платона",
захватили воображение математиков,
мистиков и философов древности
более двух тысяч лет назад. Древние
греки даже установили мистическое
соответствие между тетраэдром, кубом,
октаэдром и икосаэдром и четырьмя
природными началами - огнем, землей, воздухом
и водой. Что касается пятого правильного
многогранника, додекаэдра, то они рассматривали
его как форму Вселенной. Эти
идеи не являются одним лишь достоянием
прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия,
многих привлекает лежащее в их основе
эстетическое начало. О том, что они
не утратили свою притягательность и
поныне, весьма убедительно свидетельствует
картина испанского художника Сальвадора
Дали Тайная вечеря. Древними греками
исследовались также и многие
геометрические свойства платоновых тел;
с плодами их изысканий можно ознакомиться
по 13-й книге Начал Евклида (см. также Геометрия).
Изучение платоновых тел и связанных с
ними фигур продолжается и поныне. И хотя
основными мотивами современных исследований
служат красота и симметрия, они имеют
также и некоторое научное значение, особенно
в кристаллографии. Кристаллы поваренной
соли, тиоантимонида натрия и хромовых
квасцов встречаются в природе в виде
куба, тетраэдра и октаэдра соответственно.
Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических
форм не встречаются, но их можно наблюдать
среди форм микроскопических морских
организмов, известных под названием радиолярий.
Двойственные многогранники.
Рассмотрим
правильный многогранник {p, q} и его
срединную сферу S. Средняя точка
каждого ребра касается сферы. Заменяя
каждое ребро отрезком перпендикулярной
прямой, касательной к S в той же
точке, мы получим N1 ребер многогранника,
двойственного многограннику {p, q}. Нетрудно
показать, что гранями двойственного
многогранника служат правильные q-угольники
и что к каждой вершине примыкают
р граней. Следовательно, многограннику
{p, q} двойствен правильный многогранник
{q, p}. Многограннику {3, 3} двойствен другой
многогранник {3, 3}, конгруэнтный исходному
(поэтому {3, 3} называется самодвойственным
многогранником), многограннику {4, 3} двойствен
многогранник {3, 4}, а многограннику {5, 3}
- многогранник {3, 5}. На рис. 3 многогранники
{4, 3} и {3, 4} показаны в положении двойственности
друг другу. Кроме того, каждой вершине,
каждому ребру и каждой грани многогранника
{p, q} соответствует единственная грань,
единственное ребро и единственная вершина
двойственного многогранника {q, p}. Следовательно,
если {p, q} имеет N0 вершин, N1 ребер и N2 граней,
то {q, p} имеет N2 вершин, N1 ребер и N0 граней.
Рис. 3. ДВОЙСТВЕННЫЕ
МНОГОГРАННИКИ. Куб и октаэдр
находятся в положении двойственности
друг другу, грани являются q-угольниками,
р из которых примыкают к каждой вершине.
Симметрия.
Основной интерес к правильным многогранникам
вызывает большое число симметрий,
которыми они обладают. Под симметрией
(или преобразованием симметрии)
многогранника мы понимаем такое
его движение как твердого тела в
пространстве (например, поворот вокруг
некоторой прямой, отражение относительно
некоторой плоскости и т.д.), которое
оставляет неизменными множества
вершин, ребер и граней многогранника.
Иначе говоря, под действием преобразования
симметрии вершина, ребро или
грань либо сохраняет свое исходное
положение, либо переводится в исходное
положение другой вершины, другого
ребра или другой грани. Существует
одна симметрия, которая свойственна
всем многогранникам. Речь идет о тождественном
преобразовании, оставляющем любую
точку в исходном положении. С
менее тривиальным примером симметрии
мы встречаемся в случае прямой правильной
р-угольной призмы. Пусть l - прямая, соединяющая
центры оснований. Поворот вокруг l на
любое целое кратное угла 360/р градусов
является симметрией. Пусть, далее, p - плоскость,
проходящая посредине между основаниями
параллельно им. Отражение относительно
плоскости p (движение, переводящее любую
точку P в точку P', такую, что p пересекает
отрезок PP' под прямым углом и делит его
пополам) - еще одна симметрия. Комбинируя
отражение относительно плоскости p с
поворотом вокруг прямой l, мы получим
еще одну симметрию. Любую симметрию многогранника
можно представить в виде произведения
отражений. Под произведением нескольких
движений многогранника как твердого
тела здесь понимается выполнение отдельных
движений в определенном заранее установленном
порядке. Например, упоминавшийся выше
поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой
l есть произведение отражений относительно
любых двух плоскостей, содержащих l и
образующих относительно друг друга угол
в 180/р градусов. Симметрия, являющаяся
произведением четного числа отражений,
называется прямой, в противном случае
- обратной. Таким образом, любой поворот
вокруг прямой - прямая симметрия. Любое
отражение есть обратная симметрия. Рассмотрим
подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного
многогранника {3, 3}. Любая прямая, проходящая
через любую вершину и центр тетраэдра,
проходит через центр противоположной
грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг
этой прямой принадлежит к числу симметрий
тетраэдра. Так как у тетраэдра 4 вершины
(и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых
симметрий. Любая прямая, проходящая через
центр и середину ребра тетраэдра проходит
через середину противоположного ребра.
Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг
такой прямой также является симметрией.
Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем
еще 3 прямые симметрии. Следовательно,
общее число прямых симметрий, включая
тождественное преобразование, доходит
до 12. Можно показать, что других прямых
симметрий не существует и что имеется
12 обратных симметрий. Таким образом, тетраэдр
допускает всего 24 симметрии. Для наглядности
полезно построить картонную модель правильного
тетраэдра и убедиться, что тетраэдр действительно
обладает 24 симметриями. Развертки, которые
можно вырезать из тонкого картона и, сложив,
склеить из них пять правильных многогранников,
приведены на рис. 4.
Векторы
Что же такое вектор? Как ни странно,
ответ на этот вопрос представляет
известные затруднения. Существуют
различные подходы к определению
понятия вектора; при этом даже если
ограничиться лишь наиболее интересным
здесь для нас элементарно-геометрическим
подходом к понятию вектора, то и
тогда будут иметься различные
взгляды на это понятие. Разумеется,
какое бы определение мы ни взяли,
вектор – с элементарно-геометрической
точки зрения - есть геометрический
объект, характеризуемый направлением
( т.е. заданной с точностью до параллельности
прямой и направлением на ней) и длиной.
Однако такое определение является слишком
общим, не вызывающим конкретных геометрических
представлений. Согласно этому общему
определению параллельный перенос можно
считать вектором. И действительно, можно
было бы принять такое определение: “Вектором
называется всякий параллельный перенос”.
Это определение логически безупречно,
и на его основе может быть построена вся
теория действий над векторами и развиты
приложения этой теории. Однако это определение,
несмотря на его полную конкретность ,
нас здесь также не может удовлетворить,
так как представление о векторе как о
геометрическом преобразовании кажется
нам недостаточно наглядным и далеким
от физических представлений о векторных
величинах. Вектор изображают на чертежах отрезком
со стрелкой (т.е. изображают не все семейство
отрезков, представляющее собой вектор,
а лишь один из этих отрезков). Для обозначения
векторов в книгах и статьях применяют
жирные латинские буквы а, в, с и так далее,
а в тетрадях и на доске – латинские буквы
с черточкой сверху,
Той же буквой, но не жирной , а светлой
(а в тетради и на доске- той же буквой без
черточки) обозначают длину вектора. Длину
иногда обозначают также вертикальными
черточками – как модуль (абсолютную величину)
числа. Таким образом, длина вектора а
обозначается через а или IаI, а в рукописном
тексте длина вектора а обозначается через
а или IаI. В связи с изображением векторов
в виде отрезков (рис.2) следует помнить
, что концы отрезка, изображающего вектор,
неравноправны: одного конца отрезка к
другому. Различают начало и конец
вектора (точнее, отрезка, изображающего
вектор).
Весьма часто понятию вектора
дается другое определение: вектором
называется направленный отрезок.
При этом векторы (т.е. направленные
отрезки), имеющие одинаковую длину и одно
и то же направление (рис.3), уславливаются
считать равными. Векторы называются одинаково направленными,
если их полупрямые одинаково направлены.
Сложение
векторов.