Простые проценты и Сложные проценты

Содержание.

           Введение………………………………………………..     4.

1. Простые проценты…………………………………….     4.
2. Сложные проценты……………………………………    13.
3. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения……………………………………...    20.
4. Потоки платежей………………………………………    24.
5. Практические приложения теории………………….…   32.
6. Задание для выполнения контрольной работ…………   39.
7. Список литературы …………………………………..…. 41.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Любая финансовая операция предполагает совокупность условий, согласованных  с участниками этой операции. Но влияние многих факторов делает результат этой операции не очевидным для оценки, предвидения результата сделки применяют количественный анализ, совокупность методов которого и называют финансовой математикой.

Количественный финансовый анализ решает следующие задачи:

1. измерение конечного результата для каждого участника операции;
2. оценка и сравнение эффективности финансовой операции;
3. оценка зависимости конечного результата от основных параметров сделки;
4. расчет параметров сделки при изменении условий контракта;
5. на основе анализа разработка плана выполнения финансовой операции.

 

1. Простые проценты.

1.1. Фактор времени  в финансовых расчетах.

 

В практических расчетах денежные суммы  всегда приведены к определенному  моменту времени: это сроки, даты, периоды денежных поступлений и выплат.

Фактор времени учитывается  принципом не равноценности денег. Одна и та же сумма денег сегодня  более ценна чем завтра. Это  определяется тем, что любая сумма  сегодня может быть инвестирована и принести доход завтра при прочих равных условиях (риск, инфляция и т.п.). Поэтому в финансовых расчетах не допустимо суммировать денежные величины, относящиеся к разным моментам времени, такой подход возможен там, где фактор времени не имеет значения, например, в бухучете.

 

1.2. Простые проценты  и процентные ставки.

 

Под процентами понимают абсолютную величину дохода, от предоставления денег в долг в любой форме  (ссуда, кредит, накопительный счет, учет векселя и т.п.).

Процентная ставка –  отношение дохода за определенный период к величине ссуды.

         Интервал  времени за который начисляется  процентная ставка называется  период начисления.

Начисления процентов проводят дискретно, то есть в определенный период: месяц, квартал, полугодие, год или непрерывно. Процент может присоединяться к сумме это называют наращением первоначальной суммы.

Процентные ставки могут применяться  к одной и той же сумме – простые проценты или к сумме с начисленными за предыдущий период процентами – сложные проценты.

Процентная ставка может быть фиксированная или плавающая. Последняя обычно применяется при внешнеэкономических операциях. Плавающая ставка состоит из двух составляющих – переменной – лондонская межбанковская ставка и постоянной (маржи) – обычно 0,5-5%.

Процентная ставка применяется не только для наращения суммы, но и для оценки эффективности доходности финансовой операции.

 

1.3. Наращение по простым процентам.

Р – первоначальная сумма; i – ставка простых процентов в долях единицы;

n -  число периодов начисления процентов. Операцию наращения можно представить в следующей форме: вкладывается некоторая сумма Р, после окончания первого периода на нее начисляется процент Рi и величина вклада становится равной Р+Р · i, после завершения второго периода опять происходит начисление процента Рi и т.д.

Р         Р+Р · i = Р(1+ i)       Р(1+i)+Рi =Р(1+2 i)=>  Р(1+ni)

I                      II                               n^ый

Период          Период                     Период

Рi  - начисленный процент за один период;

Рni – проценты за n периодов.

Тогда процентная сумма S равна S = P+ Рni = P(1 + n · i). Выражение (1 + n · i) называют множителем наращения.

Начисление простых процентов  используется при:

1. краткосрочных контрактах, срок которых не превышает одного года (n≤1);
2. при периодической выплате процентов.

Устанавливается обычно годовая ставка, которая может быть применена и на меньшие сроки. В этом случае число периодов начисления определяется отношением:

 t - срок операции в сутках, к- число суток в году       (временная база).

Если к=12 мес. 30дн.=360дн. – обыкновенный процент; если к=365 или 366дн. – точный процент.

Подсчет срока операции тоже может быть приближенным: число месяцев 30 дней + число дней и точным. В любом случае день выдачи и день погашения ссуды – это один день.

Используя различную временную  базу и разные методы подсчета срока  ссуды, получают три основных варианта расчета:

- британская практика: точные проценты  и точный подсчет срока ссуды;

- французская практика: обыкновенные проценты с точным подсчетом срока ссуды;

- германская практика: обыкновенные  проценты с приближенным подсчетом срока ссуды.

Пример 1. Определить сумму накопленного долга, если сумма суды равна 1000 руб., срок ссуды 8 месяцев при ставке простых процентов, равной 10% годовых. В расчетах использовать германскую практику.

Решение.

Сумму долга определим  по формуле:

S = P(1 + n · i).

Срок ссуды выразим в годах, т.к. задана годовая ставка процентов i = 0,10:

,

где t срок ссуды в днях. Наращенная сумма будет равна:

S = P(1 + n · i) =1000(1 + 0,66·0,1) = 1066 руб.

¤

 

 

1.4. Простые переменные  ставки.

В кредитных отношениях применяется  изменяющаяся во времени процентная ставка. Тогда наращенная сумма:

- процентная ставка за время t;

- число периодов начисления  процентов за время t.

 

 

1.5. Реинвестирование по простым процентам.

Сумма депозита с начисленными на нее процентами может быть вновь  инвестирована, обычно под другой, меньший процент. Это называется реинвестированием, операция может повторяться в течении срока N.

В случае многократного инвестирования с использованием простого процента, наращенная сумма для всего срока N находят по формуле:

- продолжительность периодов  реинвестирования,

    - ставки реинвестирования.

1.6. Дисконтирование и  учет по простым ставкам

Задача обратная наращению процентов, когда по заданной сумме S в конце периода необходимо найти начальную, исходную сумму Р, называют дисконтированием суммы S, то есть по сумме «завтра» найти «сегодняшнюю».

Р называют текущей стоимостью или современной величиной суммы S.

Начисление и удержание процентов с конечной суммы долга вперед, в виде дисконта, называют учетом. Таким образом, в практике используют два принципа расчета процентов: 1) путем наращения процентов и 2) устанавливая скидку с конечной суммы долга.

 

Приведение - определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени.

Когда некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая («сегодняшняя» к «вчерашней») - это дисконтирование; если речь идет о приведении некоторой суммы к более поздней дате («сегодняшней» к «завтрашней») - это наращение.

Математическое дисконтирование это задача обратная наращиванию первоначальной суммы

 

Прямая задача                             Обратная задача

наращение                                     дисконтирование

                 

Р              S

 

 

 

 

Пример 2: Срочный вклад на один год ( n=1)  под 10% годовых (i = 0,1).

 

Вложив сегодня100 руб., что буду иметь через год?              Решение.          наращение

Сколько надо вложить сегодня, чтобы  иметь через год S=110руб.? Решение. дисконтирование

                

Банковский или коммерческий учет – покупка векселя до наступления срока платежа по цене ниже той, которая должна быть выполнена по нему в конце срока, то есть учитывает его с дисконтом.

Для расчета процентов при учете  векселей применяют учетную ставку d. ¤

Простая годовая учетная ставка

,

S – сумма в конце периода;

Р – сумма в начале периода;

n – период времени от момента учета до даты погашения векселя в годах.

Следует иметь ввиду, что момент учета это дата предъявления векселя  к оплате, а дата погашения – это дата платежа, указанная в векселе. Номинал векселя, обязательства – его стоимость на момент погашения, текущая стоимость – стоимость на момент предъявления.

Размер дисконта или учета D = Snd. Откуда:

.

При дисконтировании по учетной ставке год обычно равно 360 дням.  Учетная ставка может быть использована и при наращении   .

1.6.1. Сравнения ставки наращения и учетной ставки.

 

Операция наращения и дисконтирования противоположны по своей сути, но ставки наращения и учетная могут использоваться для решения обеих  задач .

 

Ставка	Прямая задача	Обратная задача
наращения i	-операция наращения	- операция дисконтирования
учетная d	- операция дисконтирования.	- операция. наращения

 

         

1.6.2. Совмещение наращения и дисконтирования.

 Постановка задачи: деньги положены на срочный вклад под простые проценты на определенный срок и забираются до истечения указанного срока:

1. необходимо начислить проценты за срок хранения n₁;
2. учесть путем дисконтирования конечную сумму вклада.

Эта задача решается совместно:

,

P₁- первоначальная сумма вклада;

Р₂ – сумма получаемая при учете вклада;

n₁ -общий срок вклада в течении которого должны были бы начисляться проценты;

n₂ – срок от момента учета до погашения.

Пример 3. Платежное обязательство уплатить 1000 рублей через 8 месяцев с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i = 20% годовых, было учтено за 60 дней до срока погашения по учетной ставке d = 10%. Определить сумму, получаемую при учете.

Решение.

Определим конечную сумму, которая  должна быть выплачена через 8 месяцев - и снизим ее на величину дисконта. Сроки должны быть выражены в тех же временных единицах, что и процентные ставки, т.е. в годах. Сумма получаемая при учете равна:

¤

 

1.6.3. Определение продолжительности ссуды n.

Задача сводится к определению времени, когда начальная сумма Р возрастает до некоторой величины S:

- при использовании простой ставки наращивания, i:

,год;

- при использовании учетной ставки, d:

, год;

где t- срок в сутках, к- временная база, к =360 или 365.

 

 

1.6.4. Определение уровня процентной ставки.

Ставка наращения i:

; n- срок операции наращения.

Учетная ставка d:

; n- срок оставшийся до погашения.