Контрольная работа по "Финансовой математике"

1. Определите результат инвестиции по схеме точный процент и приблизительное число дней, если инвестировали 2 000 рублей под 13% годовых с 5 июня по 21 мая (года не високосные).

 

а) результат инвестиции по схеме точный процент решение:

 Накопление общей суммы инвестиций, за счёт периодического начисления процентных денег, рассчитывается по формуле: S=P+I. Где P – первоначальная денежная сумма, I – сумма начисленных процентов.

Процентная  сумма определяется по формуле: I=P*. Где – относительная величина годовой ставки ссудного процента

На этом основании модель накопления капитала по схеме простых процентов принимает  вид : S. Параметр – может быть как целым, так и дробным положительным числом.  , где – продолжительность периода начисления процентов в днях, К – количество дней в году (360, 365, 366).

Исходя  из этого, формула модели накопления капитала принимает следующий вид: S.

Согласно  условиям задачи:

P (размер инвестиции) = 2000 руб.

 (относительная величина годовой ставки)= = 0,13

t(продолжительность периода начисления процентов в днях)=25+31+31+30+31+30+31+31+28+31+30+21= 350 дней

n = = 0.958

Подставив полученные результаты в формулу расчёта  накоплений получим:

S = 2249 руб. 08 коп.

б) приблизительное число дней  решение:

Продолжительность периода начисления определяется приблизительно, считая, что в месяце 30 дней.

Количество  дней для начисления процентов будет равно: 25(количество дней хранения вклада в июне) + 300 (количество дней с июля по апрель) + 21(количество дней хранения вклада в мае) - 1 (день приема и выдачи вклада считаются за один день) = 345 дней.

Ответ: а) результат инвестиций: 2249 руб. 08 коп.

            б) приблизительное число дней 345.

 

2.  Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий сложные проценты по ставке  - 10 % годовых, чтобы через 10 лет на счету было 1 000 000 руб.? Проценты начисляются ежеквартально

Накопление капитала по схеме сложных  процентов образует возрастающую числовую последовательность, которую можно  рассчитать по формуле:

 кн

Где: S – сумма накопленного капитала; P – величина исходного капитала; – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов, kкн – коэффициент наращения;  n - срок начисления процентов (лет);

Согласно  условиям задачи начисление процентов  происходит ежеквартально, в связи  с этим формула принимает следующий  вид:

S^n*4

Решение :

(относительная величина годовой  ставки)= = 0,1

n = 10 (лет)

S = 1000000 руб.

;

 

= 100000/(1+0,25)⁴⁰=1000000/2,685=372439 руб. 50 коп.

Ответ: сумма  необходимая для вложения 342439 руб. 50 коп.

 

 

 

3. Требуется найти современное значение долга, полная стоимость которого через 4 года составит 170 000 руб. Проценты начисляются по следующим ставкам: а) 24 % в конце каждого квартала; б) 33 % в конце каждого года.

Для дисконтирования при сложной  процентной ставке используется формулы:

 

1. ; при начислении процентов один раз в году и формула 2)       ; при начислении процентов m раз в году.

Где: – заданная сумма

        Т – время, за которое нужно  заплатить сумму

        – начальная сумма

        i – годовая процентная ставка

Решение:

а) сумма  современного значения долга при  ежеквартальном начислении и процентной ставкой 24% рассчитывается по формуле  №2:

     = 170000/(1+24/100*4)^4*4 =

= 170000/1,06¹⁶ = 170000/2,54 = 66929,13

б) сумма современного значения долга при ежегодном начислении начислении и процентной ставкой 33% рассчитывается по формуле №1:           = 170000/(1+33/100)^1*4 = 170000/(1+0,33)⁴ =

= 170000/3,129 = 54330,45

Ответ: а) 66929 руб. 13коп.

   б) 54330 руб. 45 коп.

 

 

 

4. При выдаче кредита на несколько лет на условиях начисления сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 26 % годовых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, если инфляция прогнозируется в среднем 15 % в год.

Номинальной сложная процентная ставка, учитывающая инфляцию, рассчитывается по формуле:

rc = m ((1+) ^nm√I-1)*100%

Решение: Согласно формуле rc = m ((1+) ^nm√I-1)*100%

Где I – индекс инфляции; i – реальная процентная ставка = 26%; n=1 – количество начислений (за m – период времени)

Индекс  инфляции I – рассчитывается по формуле: I = (1+δ)ⁿ

Где δ – уровень инфляции согласно условиям задачи равен 15%

Решение: I = (1+δ)ⁿ = (1+0,15)¹ = 1,15

rc = m ((1+) ^nm√I-1)*100% = 1*(( 1 + ) ¹√1,15-1)*100% =

= (1,26 * √0,15)*100% = (1,26*0,387)*100% = 48,762%

Ответ: необходимо установить процентную ставку 48,762%

 

5. В пенсионный фонд в конце каждого квартала будут вноситься 1 500 руб., на которые также ежеквартально будут начисляться сложные проценты по номинальной годовой ставке, равной 25%. Определить сумму, накопленную в фонде за 10 лет.

 

При расчете финансовых рент часто  возникает необходимость определения  суммы всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты (постнумерандо):

 

где: R - член ренты, т. е. величина каждого платежа = 1500 руб; p —число платежей в году = 4; m — число начислений процентов в году = 4; T — срок ренты в годах (время от начала ренты до конца последнего периода выплат) – 10 лет. В формуле подразумевается целое число периодов выплат T; j – процентная ставка = 25%

Решение:  
= 1500*((1+0,25/4)^4*10 -1)/((1+0,25/4)^4/4-1) =

= 1500*(10,302/0,0625) = 1500*164,832 = 247248

Ответ : сумма накопленная за 10лет равна: 247248 руб.

 

6.  Определить какой должна быть номинальная ставка при ежемесячном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 38 % годовых

Номинальная процентная ставка рассчитывается по формуле:

j = m((1+iэ)^1/m – 1)

где: m – разовое наращение в год = 12; iэ – эффективная процентная ставка = 38% ; j – номинальная процентная ставка

Решение: 

j = m((1+iэ)^1/m – 1)= 12*((1+0.38)^1/12 – 1)= 12*(1.38^0.083 – 1) = 12*(1.027-1) =

= 12*0.027= 0.324

Ответ: Номинальная ставка при ежемесячном  начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 38% годовых, должна составлять 32,4%.

 

 

7.  Рента с ежегодными выплатами 15 000 руб. в год в течение 6 лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 22% годовых, причем проценты начисляются поквартально заменяется одной р- срочной рентой с ежемесячными выплатами 5 500 руб. в месяц с процентной ставкой 23% годовых. Определить срок заменяющей ренты.

 

Решение:

Для определения срока заменяющей ренты необходимо рассчитать современную стоимость заменяющей ренты по формуле:

 

 

Где:

R — величина равномерного поступления;

i — процентная ставка.

S — приведенная (текущая) стоимость;

n – срок ренты, годы;

m – количество начислении процентов в году;0

S₀ = 15000*(1+0.22/4)^-6*4/((1+0.22/4)⁴-1) = 15000*(1 – 0.2767)/(1.24 – 1) =

= 15000*0.7233/0.24 = 15000*3.01375 = 45206,25

Срок заменяющей ренты определим  по формуле:

 

 

Где:

p – количество выплат в году

R — величина равномерного поступления

i — процентная ставка.

S — приведенная (текущая) стоимость

n =  - ln{1-(45206.25/5500)*((1+0.23)^1/12 – 1)]}/ln(1+0.23) =

= -ln{1-(8.219*0.001739)}/0.207 = 0.8456/0.207 = 4.09

Ответ: срок заменяющей ренты составит 4,09 лет

 

 

 

 

8. Покупатель приобрел телевизор стоимостью 25 000 руб. При этом он сразу уплатил 35% стоимости, а на оставшуюся сумму получил кредит на 5 месяцев под 22% годовых по простой ставке. Кредит погашается ежемесячными платежами. Требуется составить план погашения равными суммами по основному долгу и выплатой процентов, начисляемых на его оставшуюся часть.

Решение:

Покупатель должен продавцу:

25000 руб. – 100%

8750 руб. – 35%

8750 руб. -  сумма которую покупатель заплатил при покупке

25000-8750 = 16250 сумма на которую покупатель оформил кредит

Конечную сумму выплаты рассчитаем по формуле:

S = P(1+rt)

Где:

P – сумма на начало выплат,

r – процентная ставка = 22% годовых

t – срок выплат в годах

t = 5мес/12мес = 0,42

S = 16250(1+0.22*0.42) = 16250*1.0924 = 17751.5

Так как кредит выплачивается равными частями получим:

17751,5 руб /5мес. = 3550,3 руб/мес.

Ответ : ежемесячный платёж равен 3550,3 руб.