Контрольная работа по "Финансовой математике"

Финансовый университет  при Правительстве Российской Федерации

( Заочный финансово-экономический  институт)

Кафедра «Экономико-математических методов и аналитических информационных систем» 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по финансовой математике

Вариант 1

 

 

 

 

 

 

 

                                                   Студент

                                                                     Специальность:    финансы и  кредит

                                  Группа:      

                                                              № зачетной книжки:

                                                                  Преподаватель 

 

Москва 2012

 

 

 

 

 

Содержание

 

Задание 1………………………………………………………………….…3

Задание 2…………………………………………………………………...11

Список литературы……………………………………………………..…21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №1

 

Поквартальные данные о  кредитах от коммерческого банка  на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

    Таблица 1

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Кредит от коммерческого банка  на жилищное строительство	28	36	43	28	31	40	49	30	34	44	52	33	39	48	58	36

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

• независимости  уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r₁=0,32;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4)       Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5)     Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

 

 

 

Решение

 

1) Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Y_p(t+k)=[a(t) + k*b(t)] * F( t+k-L).

Коэффициенты модели a(t), b(t)  и F(t) рассчитываются по формулам:

a(t)= α₁ *Y(t) / F(t-L) + (1- α₁ )*[a(t-1)+b(t-1)];

b(t)= α₃ * [a(t)-a(t-1)]+(1- α₃)*b(t-1);

F(t)= α₂ * Y(t) / a(t) + (1- α₂)*F(t-L).

Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид: Y_p(t)=a(0) + b(0)*t.

Промежуточные расчеты  для вычисления коэффициентов

  Таблица 2

a(0)= Y_ср – b(0)*t_ср = 35,625 - 0,869*4,5=31,71

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Y_p(t) = 31,71 + 0,87t

Из этого уравнения  находим расчетные значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл.3)

 

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

                                                                                                                             Таблица 3

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	28	36	43	28	31	40	49	30
Yp(t)	32,58	33,45	34,32	35,19	36,06	36,93	37,80	38,67

 

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

;

;

;

.

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной  модели Хольта-Уинтерса.

Рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

Полагая, что t=0, k=1, находим Y_p(1):

Y_p(0+1) =Y_p(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4) = [31,71+1*0,87]*0,86 = 28,00

Полагая что t=1, находим:

a(1) = α₁*Y(1)/F(-3)+(1-α₁)*[a(0)+b(0)] = 0,3*28/0,86+

+(1-0,3)*[31,71+0,87] = 32,58

b(1)= α₃*[a(1)-a(0)]+(1-α₃)*b(0) = 0,3*[32,58-31,71]+(1-0,3)*0,87 = 0,87

F(1)= α_2*Y(1)/a(1)+(1-α₂)*F(-3) =0,6*28/32,58+(1-0,6)*0,86 = 0,86

Аналогично рассчитаем для данных( Таблица 4):

                                                                                                                         

  Таблица 4

2. Проверка точности модели

Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%.

Суммарное значение  относительных  погрешностей (см. табл. 4) составляет 21,25, что дает среднюю величину 21,25/16 =1,33%.

Следовательно,  условие  точности выполнено.

3) Проверка условия адекватности

Проверка случайности  уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек (табл. 5).

 

 

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

                                                                                                                  Таблица 5         

Общее число поворотных точек в данном случае равно p = 10

Рассчитаем значение q:

Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p = 10, q = 6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

Проверка независимости  уровней ряда остатков.

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

В нашем случае имеет  место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4:

Так как d₂ < 1,53 < 2, то уровни ряда остатков независимы.

б) по первому коэффициенту автокорреляции

.

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения   r(1) < r_табл , то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче |r(1)| = 0,255 < r_табл = 0,32 – уровни независимы.

в) Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS –критерию. Рассчитаем значение RS:

RS = (E_max – E_min)/S

E_max = 2,12;

E_min = – 0,97;

E_max – E_min = 2,12 – (–0,97) = 3,09;

;

.

Так как 3,00 < 4,02 < 4,21, полученное значение RS  попало в заданный интервал. Значит уровни ряда остатков  подчиняются нормальному распределению.

Таким образом,  условия адекватности и точности  выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_p(t) на 4 квартала вперед.

4) Построение точечного прогноза

Для t = 17 имеем:

Y_p(17) =Y_p(16+1)=[a(16)+b(16)]*F(16+1-4) = (46,45+0,97)*0,88 = 41,73.

Аналогично находим  Y_p(18), Y_p(19), Y_p(20):

Y_p(18) =Y_p(16+2)=(46,45+2*0,97)*1,08 = 52,24

Y_p(19) = (46,45+3*0,97)*1,27 = 62,69

Y_p(20) = (46,45+4*0,97)*0,78 = 39,17

5) Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных

 

Ряд остатков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание № 2

 

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения  цен;

- индекс относительной  силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для  всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

                                                                                                              Таблица 6

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	998	970	982
2	970	922	922
3	950	884	902
4	880	823	846
5	920	842	856
6	889	840	881
7	930	865	870
8	890	847	852
9	866	800	802
10	815	680	699

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

1) Расчет экспоненциальной скользящей средней.

При расчете экспоненциальной скользящей средней (EMA) учитываются все цены предшествующего периода, однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

где k = 2/(n+1);  C_t – цена закрытия t-го дня;  EMA_t  – значение EMA текущего дня t; EMA_t-1  – значение EMA предыдущего дня t;

Начальное значение EMA рассчитывается как средняя арифметическая цен за определенное количество (n = 5)   предшествующих дней по формуле:

MA_t = (C_t-n+1 + C_t-n+2 +…+C_t)/n,

где C_t  – цена закрытия  t-го дня;

MA_t  – значение скользящего среднего текущего дня t.

И так далее для 7, 8, 9, 10 дней. Расчеты  приведены в таблице 7.

Расчет EMA

                                                                                                                               Таблица 7

Рис. 2. Экспоненциальная скользящая средняя

 

Вывод: с 5-го по 10-ый день ЕМА(t) выше чем С(t). Следовательно, покупки не рекомендуются. В 10-ый день графики не пересекаются, это значит что сигнала разворота к продажам нет.

2) Расчет момента.

Момент – это разница между  конечной ценой текущего дня C_t  и цены n дней тому назад C_t-n .

Рассчитаем момент по формуле  , где t>n+1 => расчет выполняем с шестого уровня, т.е.

и т.д.

Результаты вычислений занесем в соответствующий столбец  расчетной таблицы 8.

 

 

 

 

Расчет MOM

 

                                                             Таблица 8

 

Рис. 3. Момент. Результат расчета

Вывод: С 5-го по 10-ый день  график момента целиком находится в области ниже нулевого уровня; покупка не рекомендуется. Сигнала разворота нет. Отрицательные значения МОМ свидетельствуют об относительном снижении цен.

3) Расчет скорости  изменения цен.

Скорость изменения  цен (ROC) – это отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

,