Контрольная работа по дисциплине "Финансовая математика"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫ УНИВЕРСИТЕТ 

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БАРНАУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

 

 

Факультет финансово-кредитный

Кафедра математики и информатики

Специальность «Финансы и  кредиты»

КОНТРОЛЬНА РАБОТА

Вариант № 10

По дисциплине «Финансовая математика»

 

 

 

 

 

 

Студент________________   

(подпись)

 

Группа 4ФКп-3             Номер личного дела

 

Преподаватель Поддубная Марина Львовна

 

 

 

Барнаул 2012

Задание 1.

В таблице приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Таблица 1

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y (t)	43	54	64	41	45	58	71	43	49	62	74	45	54	66	79	48

 

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁= 0,3; α₂= 0,6; α₃= 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительности ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования;

- случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней  ряда остатков поd-критерию (критические  значения  d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁ = 0,32;

- нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный  прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике  фактические, расчеты и прогнозные  данные.

Решение:

1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса имеет следующий вид: Y_p(t+k)=(a(t) + k*b(t)) * F( t+k-L),

коэффициенты модели a(t), b(t)  и F(t) рассчитываются по формулам:

a(t)= α(a)*Y(t) / F(t-L) + (1- α(a))*(a(t-1)+b(t-1));

b(t)= α(b)* (a(t)-a(t-1))+(1-α(b))*b(t-1);

F(t)= α(F) * Y(t)/a(t) + (1- α(F))*F(t-L).

Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо знать  начальные оценки а(0),b(0) коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности F(-3),  F(-2), F(-1), F(0) за весь предыдущий год.

Построим вспомогательную  линейную модель (t)=a+b*t. Коэффициенты этой модели получим, построив регрессию (Анализ данных/Регрессия). Уравнение вспомогательной модели имеет вид:

=48,57+0,85t

Примем  а(0)=48,57 и b(0)=0,85. Для оценки коэффициентов сезонности F(-3),  F(-2), F(-1), F(0) найдем с помощью вспомогательной модели расчетные значения (t) для t=1÷8 и сопоставим их с фактическими:

Таблица 2

t	Y
1	43	49,417
2	54	50,262
3	64	51,107
4	41	51,952
5	45	52,798
6	58	53,643
7	71	54,488
8	43	55,333

 

 

 

 

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса. Согласно условию задачи α(a)=0,3; α(b)=0,3; α(F)=0,6 и L=4. Рассчитаем коэффициенты модели а, b и F по приведенным выше формулам и построим модель. Результаты расчетов приведены в таблице 3:

Таблица 3

Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.

2. Оценим точность модели, для этого дополним таблицу столбцами E(t)=Y(t)-Y_p(t) и Е_отн(t)=|E(t)/Y(t)|*100.

Таблица 4

Вычислим среднюю величину относительных погрешностей (функция  СРЗНАЧ). Она составит 1,61%, значит, условие  точности выполнено, т.к. средняя величина относительных погрешностей не превышает 5%.

3. Проверим адекватность  построенной модели:

а) проверка случайности  остаточной компоненты по критерию пиков:

Построим график остатков Е(t) и выделим поворотные точки (рис. 1).

Рис. 1 График остатков

Количество поворотных точек  равно р=8. Вычислим при n=16:

 

Условие случайности уровней  ряда остатков выполнено, т.к. количество поворотных точек р= 8> = 6.

б) проверка независимости  уровней ряда остатков:

• по d- критерию Критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,10 и d₂=1,37):

 

=47,57 (функция СУММКВРАЗН);=20,09 (функция СУММКВ);Так как d>2, найдем :

Так как d₂<=1,63<2,  следовательно, критерий Дарбина-Уотсона выполняется, уровни ряда остатков независимы.

• _{по первому коэффициенту автокорреляции r(1):}

 

=-4,09 (функция СУММКВПРОИЗВ)

Критический уровень r_кр = 0,32, сравнение показывает, что <r_кр = 0,32, следовательно, уровни ряда остатков независимы.

в) проверка нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию:

E_max – E_min = 2,69 – (-1,43) = 4,12,

 

 

Уровни ряда остатков подчиняются  нормальному распределению т.к. полученное значение R/S=3,57попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).

Таким образом, все условия  адекватности и точности выполнены, следовательно, можно сделать вывод  о целесообразности применения данной модели для прогнозирования.

4. Произведем точечный  прогноз на 4 шага вперед:

Определим прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) для:  t = 17÷ 20.

 

 

 

 

5. Отразим на графике  фактические, расчетные и прогнозные  данные.

Рис. 2 Сопоставление расчетных и фактических данных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням.

Таблица 5

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	858	785	804
2	849	781	849
3	870	801	806
4	805	755	760
5	785	742	763
6	795	755	795
7	812	781	800
8	854	791	853
9	875	819	820
10	820	745	756

 

Рассчитать:

• Экспоненциальную скользящую среднюю;
• Момент;
• Скорость изменения цен;
• Индекс относительной силы;
• %R, %K и %D.

Расчеты проводить для  всех дней, для которых эти расчеты  можно выполнить на основании  имеющихся данных.

Решение:

Для определения начального значения   используем формулу простой скользящей средней:

Дальнейшие расчеты выполним по формуле:  , где k = 2 /(n+ 1)=1/3 (n=5).

Момент вычислим по формуле:

 

Скорость изменения цен  вычислим по формуле:

 

_{Таблица 6}

_{Построим  биржевую диаграмму исходных данных и графики экспоненциальной скользящей средней момента, скорости изменения цен и проведем анализ:}

Рис. 3 Биржевая диаграмма  H(t), L(t), C(t)

 

_{Рис. 4 График экспоненциальной скользящей ЕМА(t)}

5-ый день наблюдается  нисходящий тренд, рекомендуется  продажа финансового инструмента.

6-ой день график экспоненциальной  скользящей средней практически  пересекается с ценовым, что  является сигналом разворота  тренда, рекомендуется остановить  финансовые операции и подготовиться  к покупке.

7-8-ый дни наблюдается  восходящий тренд, рекомендуется  покупка финансового инструмента

9-ый день график экспоненциальной  скользящей средней пересекается  с ценовым графиком, что является  сигналом разворота тренда, рекомендуется  готовиться к продаже финансового  инструмента.

10-ый день наблюдается  нисходящий тренд, рекомендуется  продажа финансового инструмента.

Рис. 5 График момента МОМ (t)

6-7-ой дни график момента  находится ниже нулевого уровня, рекомендуется продажа финансового  инструмента.

8-9-ый дни график момента  находиться выше нулевого уровня, рекомендуется покупка финансового  инструмента.

10-ый день график момента  находится ниже нулевого уровня, рекомендуется продажа финансового  инструмента.

Рис. 6 График скорости изменения цен ROC (t)

6-7-ой дни график скорости  изменения цен находится ниже  уровня 100%, рекомендуется продажа  финансового инструмента.

8-9-ый дни график скорости  изменения цен находится выше  уровня 100%, рекомендуется покупка  финансового инструмента.

10-ый день график скорости  изменения цен находится ниже  уровня 100%, рекомендуется продажа  финансового инструмента.

Индекс относительной  силы рассчитаем по формуле:

 

Предварительно рассчитаем изменение цен закрытия, выберем  положительные значения, характеризующие  повышение цен, и отрицательные, показывающие понижение цен. Для  всех t≥6 рассчитаем суммы приростов и суммы убыли цен закрытия за 5 дней до дня t. Результаты расчетов приведены в таблице:

Таблица 7

Построим график индекса относительной силы и проведем анализ:

Рис. 7 График индекса относительной силы RSI (t)

6-10-ый дни график находиться  в нейтральной зоне, можно проводить  финансовые операции (в данном  случае, покупки).

%Rрассчитаем по формуле:  

 

%Крассчитаем по формуле:

 

%Dрассчитаем по формуле:

 

_{Результаты  расчетов представлены в таблице:}

_{Таблица 8}

Построим график стохастических линий %R, %K, %D и проведем анализ:

Рис. 8 Стохастические линии %R, %K, %D