Анализ инфляции РК

   Методами  описательной статистики называются методы описания выборок  с помощью различных показателей и графиков. Достоинство методов описательной статистики в том, что ее простые и довольно информативные статистические показатели избавляют от необходимости просмотра большого количества значений выборки [2].

   Показатели, описывающие выборку можно разбить на несколько групп:

1. Показатели положения
2. Показатели разброса
3. Показатели асимметрии
4. Показатели, описывающие закон распределения.

2. Показатели  положения

 

   Показатели  положения – описывают положение данных (или середины совокупности) на числовой оси:

• Минимальный и максимальный элементы выборки
• Выборочный верхний и нижний квартили
• Среднее арифметическое выборки
• Выборочная медиана
• Выборочная мода

 

   Вариационным  рядом называется ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами и частостями) [1].

   Частоты – числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала. Обозначаются .

   Частости – отношение частот к общему числу наблюдений, то есть .

   При изучении вариационных рядов наряду с понятием частоты используется понятие накопленной частоты (обозначается ). Накопленная частота показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением признака, меньшим . Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений назовем накопленной частостью .

   Минимум и максимум выборки - это соответственно наименьшее ( ) и наибольшее ( ) значение изучаемой переменной. Разность между максимумом и минимумом называется размахом выборки ( ). Все данные выборки расположены в промежутке между минимумом и максимумом. Эти показатели как бы очерчивают границы выборки. 

   Квартиль – величина, отсекающая  (25%) членов ряда. Различают нижний и верхний квартили.

   Нижний  и верхний квартили (термин был впервые использован Галтоном, 1882; также их называют квантилями 25 и 75) равны 25-й и 75-й процентилям распределения (соответственно).

   25-я  процентиль переменной - это такое  значение, ниже которого попадают 25% значений переменной. Аналогично, 75-я процентиль - это такое значение, ниже которого попадают 75% значений переменной.  

   Среднее арифметическое выборки это, наверное, один из наиболее употребительных статистических показателей. Среднее арифметическое характеризует положение центра выборки на числовой прямой и является мерой математического ожидания переменной.

   Среднее арифметическое ряда – сумма произведений всех вариантов на соответствующие  частоты, деленная на сумму частот:

    ,                                                    (2.1)

где - варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда; - соответствующие им частоты; - число неповторяющихся вариантов или число интервалов: формула Стерджеса

;                                                (2.2)

.

Очевидно, что ,   где - частости вариантов или интервалов.

   Величина  интервала (интервальная разность, ширина интервала):

    ,                                             (2.3)

где - разность между наибольшим и наименьшим значениями признака.

   Медианой вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений. Если объем выборки – четное число, то медианой является среднее арифметическое двух центральных членов, а если нечетное, то медиана равна серединному варианту. Другими словами медиана разбивает выборку на две равные части. Достоинство медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда, если любой из них, меньший медианы, остается меньше ее, а любой, больший медианы, продолжает быть большее ее. Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими и малыми. 

   Модой вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота. Сложность состоит в том, что редкая выборка имеет единственную моду. Если в выборке несколько мод, то говорят, что она мультимодальна или многомодальна (имеет два или более «пика»). Особенность моды как меры центральной тенденции заключается в том, что она не изменяется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.

3. Показатели  разброса

 

   Показатели  разброса – описывают степень разброса данных относительно своего центра (насколько кучно основная масса данных группируется около середины совокупности)

• Выборочная дисперсия
• Выборочное среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)
• Размах
• Коэффициент эксцесса

 

   Дисперсией вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической.

   Пусть - выборка из распределения вероятности. Тогда  выборочная дисперсия – это случайная величина

,                                        (2.4)

где символ обозначает выборочное среднее. 

   Среднее квадратическое отклонение определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической, то есть корень из дисперсии и может быть найдена так:

1. Для первичного ряда:

,                                           (2.5)

2. Для вариационного ряда:

.                                        (2.6)

   Среднее квадратичное отклонение определяет, на сколько в среднем отклоняются  конкретные варианты от их среднего значения, и к тому же является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, и поэтому хорошо интерпретируется. 

   Размах (интерквартильный размах) – разность между третьим и первым квартилями, то есть . Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних. 

   Средняя арифметическая и дисперсия вариационного  ряда являются частными случаями более  общего понятия – моментов вариационного  ряда.

   Начальный момент -го  порядка вариационного ряда определяется по формуле:

    .                                               (2.7)

   Очевидно, что  , то есть средняя арифметическая является начальным моментом первого порядка вариационного ряда.

   Центральный момент -го порядка вариационного ряда определяется по формуле:

    .                                        (2.8)

   С помощью моментов распределения  можно описать не только среднюю тенденцию, рассеяние, но и другие особенности вариации признака. 

   Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) вариационного ряда называется число:

    .                                 (2.9)

   Эксцесс является показателем «крутости» вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением. Эксцесс нормально распределенной случайной величины равен нулю.

   Если  ( ), то полигон вариационного ряда имеет более крутую (пологую) вершину по сравнению с нормальной кривой.

4. Показатели  асимметрии

 

      Показатели  асимметрии – описывают симметричность распределения данных около своего центра

• Коэффициент асимметрии
• Положение выборочной медианы относительно выборочного среднего и относительно выборочных квартилей
• Гистограмма
• Кумулята

 

   Коэффициентом асимметрии вариационного ряда называется число:

    .                                (2.10)

   Если  , то распределение имеет симметричную форму, то есть варианты, равноудаленные от , имеют одинаковую частоту. При ( ) говорят о положительной (правосторонней) или отрицательной (левосторонней) асимметрии. 

   Гистограмма служит только для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака , , и высотами равными частотам (частостям) интервалов. Если же соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения. 

   Кумулятивная  кривая (кумулята) – кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет ломаную, соединяющую точки , . Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте (частости), равной 0. Другие точки этой ломаной соответствуют концам интервалов.

5. Показатели  закона распределения

 

   Показатели, описывающие закон распределения, дают представление о законе распределения  данных

• Гистограмма
• Выборочная функция распределения
• Таблица частот

   Выборочной (эмпирической) функцией распределения называется относительная частота (частость) того, что признак (случайная величина ) примет значение, меньшее заданного , то есть

     .                                (2.11)  

   Из  перечисленных выше характеристик  на практике по традиции чаще всего  используют выборочные среднее, медиану  и дисперсию (или стандартное  отклонение). Однако для получения  более точных и достоверных выводов  необходимо использовать и другие показатели.

   Особое  внимание следует обратить на наличие  в выборке выбросов – грубых, сильно отличающихся от основной массы, наблюдений. Большинство традиционных статистических методов весьма чувствительны  к отклонениям от условий применимости метода. Поэтому выбросы могут не только исказить значение выборочных показателей, но и привести к ошибочным выводам. Подозрение о присутствии таких наблюдений должно возникнуть, если выборочная медиана сильно отличается от выборочного среднего, хотя в целом совокупность симметрична, или, если положение медианы сильно несимметрично относительно минимального и максимального элементов выборки. Проще всего обнаружить выбросы с помощью перехода от выборки к вариационному ряду или гистограмме с большим числом интервалов группировки.