Задача роста ледяной корки на поверхности водоема

 

 

 

4.Автомодельное решение.

Автомодельное решение — такое решение некоторой системы или уравнения двух независимых переменных, в которое независимые переменные   и   входят не произвольным образом, а лишь в комбинации

• — автомодельная переменная
• — любая функция исходной системы или уравнения.

Автомодельные решения - это способы решения задач нестационарной гидро- или аэродинамики с учетом тепловых и массовых процессов. Впервые необходимость в таких решениях возникла при решении проблемы расчета МГД-течений (МГД - магнитогидродинамический - один из способов прямого преобразования тепловой энергии в электричество наряду с термоэлектрическим и термоэмиссионным). Заслуга в разработке таких решений принадлежит российскому физику Алексею Алексеевичу Бармину.

Конец 50-х - начало 60-х годов XX в. было временем интенсивного развития в нашей стране и мировой науке нового направления в механике - магнитной гидродинамики. Система уравнений магнитной гидродинамики с математической точки зрения намного более сложная, чем уравнения классической гидродинамики. Поэтому даже решение простейших задач в этой области связано с большими трудностями часто принципиального характера. Решение задач в общем случае сдерживалось тем, что условия на МГД-разрывах представлялись в виде сложной системы алгебраических отношений не разрешенных относительно параметров за разрывом.

А. А. Бармину удалось упростить соотношения на МГД-разрывах с помощью оригинального и очень удачного выбора переменной на ударных адиабатах МГД-ударных и детонационных волн, что позволило в явном виде выразить все параметры за разрывом как функции этой новой переменной.

 

4.1 Аналитическое решение

Аналитические решения уравнений математической физики можно получить различными способами. Например:

• Используя функцию Грина;
• Используя метод разделения переменных Фурье;
• С помощью теории Потенциала;
• Используя формулу Кирхгофа.

Эти методы разработаны для различных типов уравнений и в некоторых простых случаях позволяют получить решение в виде некоторой формулы или сходящегося ряда, например для уравнения колебаний струны:

аналитическое решение с помощью метода Фурье имеет вид:

4.2 Фо́рмула Кирхго́фа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

5.Постановка задачи и основные уравнения

На рис. 1 изображена схема образования льда. В области находится воздух, в области находится вода, между воздухом и водой ( ) образуется лед.

Рис. 1. Геометрия задачи образования льда

 

В каждой фазе распределение температуры описывается уравнением теплопроводности.

Уравнение теплопроводности для каждой из фаз:

  

(1)

где – плотность, – теплопроводность, – теплоемкость и – температура.

Предполагается, что к границе раздела фаз переноситься тепло только за счет теплопроводности.

 

 

Начальные условия:

  

 

На границе выполняются условия равенства температур и тепловых потоков:

=cost,  .    (2)

На границе образования льда также выполняется условие равенства температур и условие теплового баланса:

,  ,   (3)

где – удельная теплота замерзания воды.

В начальный момент времени температуры воздуха и воды однородны и равны следующим значениям:

  , ,

а толщина льда равна нулю .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Аналитические решения

В рамках выше принятых уравнений, а также системы начальных и граничных условий задача имеет автомодельное решение. Введем автомодельную переменную ( – коэффициент температуропроводности льда). Решение уравнений будем искать в виде , а закон роста толщины льда будет определяться по формуле . Температуру поверхности льда в данной постановке можно считать постоянной .

1. Уравнение теплопроводности:

В автомодельных переменных уравнение теплопроводности (1) примет вид:

, .  (4)

2.Условия баланса тепла:

1)

Граничные условия (2) и (3) запишутся в виде

,  -условие баланса тепла

                            на границе  , (5)

2)

 

, - условие баланса тепла на границе   ,

                                         (6)

Задача сводится к решению уравнений

а начальные условия в виде

Граничные условия:

                            

                                

 

Уравнение теплопроводности

 

 

 

 

Решение будем искать в виде:

 

Для области воздух – лёд:

Для области лёд-вода:

Учитывая начальные и граничные условия, можно найти значения:

1)

                        

2)

                        

3)

          

 

 

4)

        

Подставляя в условия баланса тепла получаем

1)На границе 

2)На границе

Введем безразмерные температуры , , воздуха, воды и границы раздела воздуха и льда. Тогда решения уравнения (4) для каждой области можно записать как

  ,

  ,

   .

Подставляя эти решения в условия (5) и (6), получаем систему из двух уравнений относительно неизвестных и :

,  (7)

где .

Тем самым задача свелась к определению двух неизвестных параметров и из системы уравнений (7).

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В работе изучен процесс роста ледяной корки на поверхности водоема для случая, когда воздух над поверхностью неподвижен. Построено автомодельное решение в плоско одномерном приближении с учетом влияния теплового сопротивления воздуха на рост толщины ледяной корки.

Получено автомодельное решение, описывающее процесс образования льда на поверхности водоема в штиль. Это решение наряду с классическим решением Стефана позволяет определить два предельных режима образования льда.

Задача уравнения в частных производных с использованием автомодельного решения получило аналитическое решение. Получено так же трансцендентное решение для определения координаты границ ℥ по которой можем определить рост ледяной корки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Бобков В.А. Производство и применение льда. М.: Пищевая промышленность, 1977. 232 с.
2. Пономарев К.К. «Составление дифференциальных уравнений»,

1937. 9 с.

3. Беховых Л.А, Макарыч С.В. «Основы гидрофизики», 2008.118 с.
4. С.А.Агафонов, А.Д.Герман, Т.В.Муратов «Дифференциальные уравнения», 2000. 308 -314 с.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 2004. 798 с.
6. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.
7. Данилюк И.И. О задаче Стефана // Успехи мат. наук. 1985. №5. С. 132–185.
8. Маэно Н. Наука о льде. М.: Мир, 1988. 231 с.
9. Паундер Э. Физика льда. М.: Мир, 1967. 190 с.