Вектори в просторі Rn

Лекція № 7

Вектори в просторі Rⁿ

· Упорядкована сукупність n чисел називається вектором і позначається

 =(а₁, а₂, а₃, …, а_n) або

 

a_i , де і = - це координати вектора .

Слайд №2

· Вектор називається нульовим, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Число n називається розмірністю вектора. 
· Два вектора називаються рівними, якщо вони мають рівні відповідні координати. 
· Rⁿ — n вимірний простір — це множина всіх n вимірних векторів, які задовольняють певним властивостям дій з векторами . 
Слайд №3

· Властивості дій з векторами простору  Rⁿ.

1)

2)

3)

4)

Слайд №4

5)               6) + =

7) ;     =       8)         
9) = - скалярний добуток      векторів.

10) .

 

Слайд №5

·Скалярний добуток двох векторів є числом, що дорівнює сумі добутків координат цих векторів:

  = = + + …+  

·Скалярний добуток векторів існує тільки для векторів однакової розмірності.

Слайд №6

·Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:   =    

 

 

Слайд №7

· Два вектори називають ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю  

 

 

_– одиничні вектори орти.

Слайд №8

• Нульовий вектор є ортогональним до будь-якого вектора.

 

· Якщо n векторів попарно ортогональні, то вони утворюють ортогональну систему.

Слайд №9

Приклад. Перевірити, чи є ортогональними вектори

Розв’язання. Знайдемо всі можливі скалярні добутки векторів ,  , , взятих попарно:

Вектори утворюють  ортогональну систему, оскільки всі  скалярні добутки дорівнюють нулю.

Слайд №10

· Норма вектора — це число, яке характеризує довжину даного вектора та має властивості:

 

 

Евклідова норма

2)

3)

4)

Кожному вектору у відповідність  ставимо його довжину.

Якщо  , то вектор називається одиничним або нормованим.

Слайд №11

· Як пронормувати вектор  ?

1) Знайти  його норму  , а потім кожну координату вектора розділити на його норму. Отриманий вектор є одиничним або нормованим.

Приклад. Пронормуємо

Розв’язання.

·  Якщо всі вектори системи є ортогональні та одиничні, то така система називається ортонормованою.

Слайд №12

• Вектори називаються лінійно незалежними, якщо лінійна комбінація векторів приймає нульове значення тільки у випадку, коли всі , дорівнюють нулю одночасно.

 

• Якщо існує хоча б одне , при якому лінійна комбінація векторів приймає нульове значення, то вектори називаються лінійно залежними.

 

• Слайд №13

 

• Якщо хоча б один з векторів системи нульовий, то така система лінійно залежна.

 

•  В просторі  лінійна залежність векторів означає їх колінеарність.
• В просторі лінійна залежність векторів означає їх компланарність. Вектори компланарні, якщо вони належать одній площині або паралельні до однієї площини.

• Слайд №13

Розглянемо систему n векторів розмірності m

 

 

• Для того, щоб  система векторів була лінійно незалежною необхідно і достатньо, щоб однорідна система рівнянь (1) мала єдиний нульовий розв’язок:

    (1)

• Слайд №14
• Якщо необхідною та достатньою умовою лінійної незалежності векторів є умова, щоб визначник основної матриці системи, елементами якого є координати векторів , не дорівнював нулю.
• Слайд №15

 

• Система m лінійно незалежних векторів простору називається базисом простору .

 

• Ортонормована система m векторів є базисом простору .

 

 

 

 

 

• Вектори утворюють базис трьохвимірного простору (ортонормовану систему).

  Слайд №16

• Базис для m вимірного простору: m векторів , кожен з яких має розмірність m:

Слайд №17

• Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , серед яких принаймні одне для яких виконується рівність

.

•   Теорема. Для того, щоб вектори були лінійно залежними необхідно і достатньо, щоб один з них був лінійною комбінацією решти.

• Слайд №18
• Приклад. Довести, що вектори утворюють базис та знайти координати вектора у цьому базисі.

 

• Розв’язання. Обчислимо визначник, складений із координат даних векторів.
• .

вектори утворюють базис.

Слайд №19

Обчислимо координати вектора  в базисі векторів . Запишемо вектор в базисі векторів у вигляді

 

 

 

 

Застосуємо  для розв’язання системи лінійних рівнянь метод Крамера: система  має єдиний розв’язок.

Слайд №20

Вектор  має координати (2; 1; –1) в базисі векторів .

Слайд №21

Додаткове завдання. Дану систему лінійних алгебраїчних рівнянь

 

 

 

пропонується  розв’язати самостійно, як матричне рівняння методом оберненої матриці.

 

Слайд №22

Власні числа та власні вектори  матриці

 

Розглянемо  матрицю  — квадратну матрицю розмірності n з дійсними елементами та  ненульовий вектор - матрицю-стовпець розмірності .

 

• Ненульовий вектор — називається власним вектором матриці А, якщо існує таке число , що виконується рівність .

 

• Число називається власним числом матриці .

 

• Зауваження. . (див. розмірності ; )

 

Слайд №23

 

За означенням власного вектора  :

, тому

_{Запишемо матричне рівняння}

_{як  систему лінійних однорідних рівнянь}

Слайд №24

• Зауваження. - є розв’язком однорідної системи рівнянь. Оскільки – ненульовий вектор, то головний визначник системи дорівнює нулю:

 або  .

 

• Рівняння  називають характеристичним рівнянням для знаходження власних чисел матриці :

 

 

 

 

 

• - корені характеристичного рівняння є власними числами матриці  .

Слайд №25

• Для кожного власного числа матриці знаходиться власний вектор , що відповідає власному числу .

 

•  Власним вектором матриці  , що відповідає власному числу є вектор , координати якого є розв’язком системи лінійних однорідних рівнянь :

 

 

Слайд №26

Приклад. Знайти власні вектори і власні числа матриці

Розв’язання. ; ;

 

 

 

Слайд №27

Для знаходження  власних чисел матриці  запишемо характеристичне рівняння

 

 

, - власні числа матриці .

Слайд №28

1. Знайдемо власний вектор, який відповідає власному числу .

Підставляємо  до системи .

 

              

- власний вектор, який відповідає  власному числу  . Якщо , то .

Слайд №29

2. Знайдемо власний вектор, який відповідає власному числу .

Підставляємо  до системи .

 

 

 

 — власний вектор матриці А, який відповідає власному числу . Якщо , то .

Слайд №30

Квадратичні форми

 

Квадратичною  формою називається сума вигляду

Слайд №31

• Квадратичною формою від n невідомих називається сума, кожен член якої є або квадратом однієї з невідомих або добутком двох різних невідомих, помножених на деякий коефіцієнт.

 

•  Для цих коефіцієнтів застосуємо такі позначення:

коефіцієнт при позначимо як , коефіцієнт при добутку для , як , ( , а член ).

 

• З коефіцієнтів можна скласти квадратну матрицю порядку . Ця матриця є симетричною та називається матрицею квадратичної форми.

Слайд №30

Приклад. Скласти матрицю квадратичної форми

а)

б)

 

Розв’язання.

а)

 

б)

 

Слайд №32

• Квадратична форма може бути:

 

• додатньо визначена, якщо ;
• невід’ємно визначена, якщо ;
• від’ємно визначена, якщо ;
• недодатньо визначена, якщо .

 

Квадратична форма називається невизначеною, якщо змінює знак.

Слайд №33

Критерій Сільвестра (теорема про  визначеність квадратичної форми)

 

Для того, щоб квадратична форма була додатньо визначена необхідно і достатньо, щоб всі головні мінори матриці А були додатніми. Для того, щоб квадратична форма була від’ємно визначена необхідно і достатньо чергування знаків головних мінорів. При цьому перший мінор повинен бути від’ємним.

Зауваження: головні мінори матриці — це діагональні мінори, які знаходяться у верхньому лівому куту.