Уточнение корней с заданной точностью методом половинного деления (метод дихотомии)

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Уральский государственный  экономический университет

Институт информационных технологий

Кафедра информатики  и эконометрики

 

 

 

 

 

ОТЧЕТ

по дисциплине «Методы математических вычислений»

18-ый вариант

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                               Исполнитель: Федорец Ирина Александровна

                                                       Группа ЭМА-11

                                                       Проверила: Миронова Людмила Ивановна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург 2012

УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ МЕТОДОМ  ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ (МЕТОД ДИХОТОМИИ)

Пошаговый алгоритм метода половинного деления

 

ШАГ 1.

Вводим концы интервала, содержащего корень уравнения и  требуемую точность вычислений, а − левый конец интервала, содержащего корень, b − правый конец интервала, содержащего корень, ε − точность вычислений.

ШАГ 2.

Вычисляем координату середины отрезка, а именно  с = (а + b) / 2.

ШАГ 3.

Определяем интервал, на котором функция меняет знак. Для этого вычисляем значения функции в точках, например, «а» и «с» и смотрим знак их произведения. Если знак произведения отрицательный, значит, на этом отрезке функция сменила знак, тогда в качестве правого конца отрезка берем значение «с», в противном случае значение «с» берем в качестве левого конца отрезка. Другими словами можно сказать так: если F(a) · F(с) < 0 , то b = с, в противном случае, а = с.

ШАГ 4 . Если   > ε, то переходим к шагу 2, в противном случае переходим на шаг5

ШАГ 5. Вычисляем  х = (а + b) / 2 и Δх = (а − b) / 2.

ШАГ 6. Печатаем х и Δх.

ШАГ 7. Конец  задачи.

Число шагов  при использовании этого метода N ≅ ln ((b - a) / ε) / ln 2, довольно значительно, поэтому сходимость медленная, но при любой длине отрезка сходимость гарантирована. Однако простота реализации метода уменьшает число вспомогательных операций и частично компенсирует увеличение общего времени счета из-за медленной сходимости.

 

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР НА МЕТОД ДИХОТОМИИ 

Для уравнения  х − 10 sin (x) = 0 на интервале [ 0; 3 ] уточнить значение корня методом половинного деления с точностью ε = 0,01.

Ответ : корень х = 2, 85.

Пример  по варианту

Задано уравнение:  

Это уравнение не является алгебраическим. Такие уравнения решаются только численными методами.  Отделим корни этого уравнения графическим методом.

Построим графики функций: =      и        

 

 

Код программы  для примера:

 

 

 

 

 

 

 

 

УТОЧНЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

МЕТОДОМ ХОРД

 

Пошаговый алгоритм метода хорд

 

ШАГ 1. Вводим концы  интервала, содержащего корень уравнения  и требуемую точность вычислений, а − левый конец интервала, b − правый конец интервала, ε  − точность.

ШАГ 2. Вычисляем значение функции f(x) в левом конце интервала, содержащего  корень, т.е. F1 = f(a).

ШАГ 3. Вычисляем  значение функции f(x) в правом конце  интервала, содержащего корень, т.е. F2 = f(b).

ШАГ 4. Вычисляем  значение второй производной (взятой предварительно вручную) в середине отрезка, содержащего корень, т.е. F3 = f ′′ ((b − a) / 2).

ШАГ 5. Организовываем счетчик числа приближений Ν =0.

ШАГ 6. Выясняем, какой конец хорды неподвижен. Для этого проверяем знак произведения F1 • F3. Для удобства реализации этого момента в программе введем признак «р», который будет принимать некоторые фиксированные значения, например, 1 или 2, в зависимости от того, какой конец хорды неподвижен. Если знак F1 · F3 положителен, то неподвижен конец хорды «а» и следует положить х0 = b и р = 2, в противном случае, т.е. когда знак произведения отрицателен, неподвижен конец хорды b и следует положить

х0 = а и р = 1.

ШАГ 7. Вычисляем  значение функции f(x) в найденной  точке х0, т.е. F4=f(х0).

ШАГ 8. Определяем, по какой формуле производить дальнейшие расчеты. Если р = 1 , то вычисляем F5 по формуле 4. Если р = 2, вычисляем F5 по формуле 3.

ШАГ 9. Выводим  на печать текущее значение Ν, х0, F4, F5.

ШАГ 10. Увеличиваем  номер приближения на 1, т.е. N = N+1.

ШАГ 11. Вычисляем следующее приближение к корню х1 = х0 − F5.

ШАГ 12. Если абсолютная величина разности между х0 и х1 стала  меньше ε, т.е. если    < ε, то выводим на печать текущее значение приближения x0 и полученное значение х1, которое и будет искомым значением корня, после чего уходим на ШАГ 13. В противном случае, когда    > ε , в качестве х0 берем х1 , т.е. х0 = х1, и переходим на шаг 7.

ШАГ 13. Конец  задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР ДЛЯ МЕТОДА ХОРД

Найти корень ξ  уравнения f (x) = x3 − 0,2 x2 − 0,2x − 1,2 =0, находящийся в промежутке [ 1; 1, 5 ] с точностью 0, 002.

 

Пример по варианту:

Найдем корни  первой производной 

;                ;         ;

                                   ;                     

Cоставим для некоторых значений из области определения функции f ( x ) таблицу ее знаков.

Х	− ∞	− 3	0	3	+∞
Sign f (x)	+	−	+	−	+

 

 

Из этой таблицы видно, что функция четыре раза меняет знак, значит можно утверждать, что она имеет, по крайней мере, 4 корня:

x (− ∞; −3]; x [−3; 0]; x [0;3];  x [3; + ∞];

Сузим интервалы, содержащие корни. При x = -5 и x = 5 функция имеет положительные знаки. Следовательно x [− 5; −3]; x [3; 5];

Код программы: