Уравнения с параметрами

 

     а²+4а+3 > 0; корни уравнения а²+4а+3 =

0: а₁ = –3, а₂ = –1; нанесем

полученные точки на координатную прямую (Рис. 8).

    

 

    

Рис. 8

 

Получаем а < –3, а > –1.

     Y(4) = а²–8а+15

    

 

    

 

     а²–8а+15 > 0; корни уравнения а²–8а+15 =

0: а₁ = 3, а₂ = 5; нанесем полученные

точки на координатную прямую (Рис. 9).

    

Рис. 9

 

    

 

Получаем а < 3, а > 5.

4). Объединим полученные результаты:

    

(Рис.10)

 

    

 

    

Рис. 10

 

                 Получаем –1 < а < 3.                

     Ответ: при а =2 оба корня уравнения (1) заключены строго между –2 и 4.

Пример 5. Найти коэффициент а, если корни уравнения связаны соотношением

2х₁+х₂ = 3:

             

по теореме Виета: ;

составим и решим систему:

получаем х₁ = 1, х₂ = 1, тогда

а = 1.

     Ответ: а = 1.

    

2. 3. Системы уравнений

 

Системы линейных уравнений типа:

1)     имеют единственное  решение, если 

2)     не имеют решений,  если 

3)     имеют бесконечное  множество решений, если 

Пример 1. Найти все значения а, при которых система имеет бесчисленное

множество решений:

    

Система (1) имеет бесчисленное множество решений, когда

(1)

 

                   

1)     , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ –3;

    

2)     , ОДЗ: а ¹ –3, а ¹ ;

    

     , разделим обе части уравнения на 4:

    

3)     , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ ;

    

     Ответ: при а = 1 система (1) имеет бесчисленное множество решений.

Пример 2. При каких m и n система а) имеет единственное решение;

б) не имеет решений:

    

(1)

 

а). Система (1) имеет единственное решение, когда

                     

так как 5 ¹ 0 и 3 ¹ 0, то 5m ¹ 30, отсюда m ¹ 6.

б). Система (1) не имеет решений, когда

                     

1)     отсюда m = 6.

2)     отсюда n ≠ 8.

3)     отсюда n ≠ при m = 6 n ≠ 8, при n ≠ 8 m = 6.

     Ответ: а) при m ¹ 6 система (1) имеет

единственное решение; б) при n ≠ 8 и m = 6

система (1) не имеет решений.

Пример 3. Решить относительно х:

    

(1)

 

1)     а < 0, тогда получаем систему

    

если   то система (2) несовместима, а если  , то – а < х <  2) а = 0, тогда получаем систему 3) а  0, тогда получаем систему если  , то х > – а, а если – а < – 1 а > 1, то х >

(2)

 

     Ответ: в системе (1) при а ≤ – 1 х

Æ; при

– а < х <

при     а = 0

; при  х >

– а; при а > 1 х >

    

3. Графический  метод решения задач

 

Рассмотренный мною стандартный способ решения задач с параметрами  в отдельных

случаях приводят к сложным и  утомительным преобразованиям. Процесс  решения

может быть иногда упрощен, если применять  графический метод.

Пример 1. При каких значениях  параметра а уравнение имеет единственное решение:

    

(1)

 

Пусть Тогда,

возведя обе части этого уравнения  квадрат, получаем х = t²

– а, тогда уравнение (1) эквивалентно системе

          .         

График функции  при

условии пересекает

семейство прямых y = a в одной точке при

и при а > 1 (Рис. 11).

     Ответ: при ;  а > 1 уравнение (1) имеет

единственное решение.

    

	Рис. 11

 

Пример 2. Найти все значения параметра а, при котором уравнение имеет

ровно три различных корня:

    

(1)

 

Построим график функции 

для и отразим его

зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси  абсцисс 

y = a, пересекает график ровно в трех точках при а = 5

(Рис. 12).

     Ответ: уравнение (1) имеет ровно три различных

корня при а = 5.

    

	Рис. 12

 

    

4. Заключение

 

Итак, я рассмотрела часто встречающиеся  типы уравнений и способы их решений  и

сделала вывод, что наиболее эффективным  является графический метод решения

задач с параметрами.

Работа над данным рефератом  помогла мне в учебе не только в школе, но и в

Городском Компьютерном Центре при  УГТУ УПИ.

Да, я могу сказать, что я научилась  решать уравнения с параметрами, но я не

хочу останавливаться на достигнутом  и поэтому в следующем году я собираюсь

работать над рефератом на тему: «Решение неравенств с параметрами». Также в

данной работе я не рассмотрела  примеры тригонометрических, логарифмических,

показательных уравнений, поэтому  в моём реферате нельзя ставить точку.

    

Список  литературы

 

1.     Амелькин В. В.  и Рабцевич В. Л. Задачи с  параметрами. – М.: Асар, 1996.

2.     Важенин Ю. М. Самоучитель  решения задач с параметрами.  – Екатеринбург:

УрГУ, 1996.

3.     Окунев А. А. Графическое  решение уравнений с параметрами.  – М.: Школа

– Пресс, 1986.

4.     Райхмист Р. Б.  Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа-

Пресс, 1997.

5.     Ястребинецкий Г.  А. Задачи с параметрами. –  М.: Просвещение, 1986.