Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

§4. Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

 

Екінші ретті тұрақты  коэффициентті сызықтық дифференциалдық  теңдеулер деп мына түрде берілген теңдеулерді айтамыз

.   (21)

Mұндағы p,q сандары нақты сандар.

Егер  болса, онда бұл теңдеу біртекті теңдеу деп аталады.

.   (22)

Берiлген теңдеудiң дербес шешiмiн y=e^kx түрiнде iздеп, (22) теңдеуге функцияны және оның туындыларын апарып қойсақ, мына өрнектi табамыз:

немесе

  .  (23)

(23) теңдеу (22) теңдеудің характеристикалық теңдеуі деп аталады.

Мынадай тұжырымдар дұрыс  болады:

1. Егер характеристикалық теңдеудің   әртүрлі нақты түбірлері болса , онда (22) теңдеудің жалпы шешімі мынадай болады:

.

2. Егер характеристикалық теңдеудің екі еселі нақты түбірлері болса , онда (22) теңдеудің жалпы шешімі мынадай болады:

.

3. Егер характеристикалық теңдеудің комплекстік түбірлері болса, онда (22) теңдеудің жалпы шешімі мынадай болады:

.

Мысалдар.

1. y^//-5y^/+6y=0, характеристикалық теңдеу к²-5к+6=0. k₁=2, k₂=3. теңдеудiң жалпы шешiмi.
2. y^//+2y^/+y=0.

k²+2k+1=0 характеристикалық теңдеу, k₁=k₂=-1. y=e^-x(c₁+c₂x) – жалпы шешiм.

3. y^//+4y^/+13=0.

k²+4k+13=0 характеристикалық теңдеу, түбiрлерi k₁=-2+3i,

k₂=-2-3i сондықтан y=e^-2x(c₁cos3x+c₂sin3x)- жалпы шешiм.

Егер (21) теңдеуде болса, онда теңдеу біртекті емес деп аталады.

Біртекті емес теңдеудің  жалпы шешімі екі шешімнің қосындысынан тұрады:

.

Мұнда біртекті (23) теңдеудің жалпы шешімі. Оны табу жолын алдыда қарастырып кеттік. біртекті емес (21) теңдеудің кез келген бір дербес шешімі.

Жалпы жағыдайда біртекті емес теңдеудің дербес шешімі функциясының түріне байланысты әр түрлі әдістерді қолданып табылады. Төменде екі жағыдайды қарастырайық:

1. .

Бұл жағыдайда іздеп  отырған дербес шешімнің түрі -ның мәніне байланысты болады:

1. Егер болса, онда

түрде ізделеді. Мұнда  n- дәрежелі n белгісіз коэффициенттері бар көпмүшелік.

2. Егер немесе болса, онда

.

3. Егер болса, онда

.

Мұндағы көпмүшелігіндегі белгісіз коэффициенттер анықталмаған коэффициенттер әдісін қолданып табылады.

2. .

Мұнда екі жағыдай  болуы мүмкін.

1. характеристикалық теңдеудің шешімі болмайды, яғни , онда дербес шешім

.

2. , яғни характеристикалық теңдеудің шешімі болады, онда

.

Мысалдар.

к²+2k=0, k₁=0, k₂=-2 сәйкесінше бiртектi теңдеудiң жалпы шешiмi: .

Берiлген теңдеудiң дербес шешiмi -тi iздейiк. =x(А+Вx)=Аx+Вx²; сондықтан =А+2Вx,  =2В  теңдеуге қойсақ 2В+2А+4Вx=24x; Осыдан   В=6; А=-6, яғни =-6x+6x² , iзделiндi жалпы шешiм.

2. .

Мұнда a=2, b=3, P_n(x)=1, Q_m(x)=0 - 0 дәрежелi көпмүшелiктер, яғни тұрақты сандар.

k²-4k-13=0 теңдеуiнiң түбiрлерi k_1,2=2+3i, ал a+bi=2+3i сандары характеристикалық теңдеудiң түбiрлерi болғандықтан дербес шешiм түрiнде iздеймiз. туындыларын тауып, берiлген теңдеуге қойып, А=0, В= табамыз. Сондықтан .