Теория вероятности

Р(А·В)=Р(А)-Р(А·В).

Подставим получившееся равенство  в (*).

       Р(А+В)=Р(А)-Р(А·В)+Р(В)-Р(А·В)+Р(А·В), т.е.

       Р(А+В)=Р(А)-Р(А·В)+Р(В)

Теорема доказана.  }

       Пример 4. Найти вероятность того, что при подбрасывании игральной кости выпадает четное или кратное 3 число очков.

    Обозначим

       А –  выпадение четного числа очков

       В –  число очков, кратных 3

     Всего исходов  6. Наступлению событию А благоприятствует  три исхода (выпадение 2, 4 либо 6). Наступлению событию В благоприятствует  два исхода (выпадение 3 или 6).

       Т.к.  события А и В – являются  совместными, то 

                          Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)

       Вычислим  Р(А),  Р(В),  Р(А·В)

Р(А) = =

Р(B) = =

Р(А·В ) = = , поэтому

Р(А+В ) = + - = = }

  Теорема 3.   Вероятность суммы полной системы событий равна 1.

    Пусть А₁, А₂, …А_n – полная группа событий, тогда событие А₁+ А₂+…+ А_n - является достоверным событием.

        По  свойству вероятности имеем

              Р(А₁+ А₂+…+ А_n)=1, поскольку

              А₁, А₂, …А_n полная группа событий, то

              Р(А₁+ А₂+…+ А_n)= Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n), поэтому

              Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1  }

 

2. Теорема умножения вероятностей

Определение: 

Событие А называется независимым  от события В, если вероятность события  А не изменится от того, произошло  событие В или нет. В противном  случае, событие А называется зависимым  от события В.

Определение: 

Вероятность события А, вычисленная  в предположении, что событие  В произошло, называют условной вероятностью события А и обозначают Р(А\В), либо Р_В(А).

       Пример 5. Бросают две игральные кости. Сумма выпавших очков равна 6. Вычислить вероятность того, что одна из цифр этих очков равна 2.

   Будем обозначать через  (а, в) возможные исходы из  числа всех исходов, а –  количество очков, выпавших на  первой игральной кости, в –  количество очков, выпавших на  второй игральной кости.

     Тогда возможные  исходы:

       (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)

А – сумма цифр, равная 6

В – выпала цифра 2

Р_А(В)=     (2 благоприятствующих исхода из возможных 5 исходов)}

Теорема 4 (Теорема умножения вероятности).

       Вероятность совместного появления  двух событий (А·В) равна произведению  одного из этих событий на  условную вероятность другого  события.

              Р(А·В)=Р(А)·Р_А(В)=Р(В)·Р_В(А).

        Пусть n – общее число исходов, k – число исходов, благоприятствующих наступлению событий А, и из этих k-событий, m – благоприятствует наступлению события В, тогда наступлению А·В благоприятствует m - исходов, следовательно (по классическому определению вероятности)

Р(А·В) = = =Р_А(В)·Р(А) }

      Следствие: Если события А и В независимые, то вероятность совместного наступления этих событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

                Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

       Пример 6. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

         Обозначим  А – первый, вынутый шар, белый.

                             В – второй, вынутый шар, белый.

                             С – оба шара – белые,  тогда

                             С=А·В.

       По теореме  умножения вероятностей для случая  зависимых событий имеем:

                 Р(С)=Р(А·В)=Р(А)·Р(В\А)=Р(А)·Р_А(В)

     Вычислим Р(А), Р_А(В)    

 Р(А) = = = (вероятность появления первого белого шара);

РА(В) = = (вероятность появления второго белого шара в предположении, что первый белый шар уже вынут).

        Следовательно,   Р(А·В) = = }

 

3. Формула полной  вероятности

       Пусть  событие А может произойти  совместно с одним и только  одним событием Н₁, Н₂, …Н_n , которые образуют полную группу событий. События Н_i – принято называть гипотезами.

Теорема 5. Вероятность события А равна сумме попарных произведений вероятностей всех гипотез на соответствующие условные вероятности события А.

Р(А)= - формула полной вероятности, где

 Так как Н₁;Н₂;…;Н_n – несовместные, то Н₁А;Н₂А;…;Н_nА – несовместные, очевидно   А=Н₁А+Н₂А+…+Н_nА

       По теореме  о сложении несовместных событий,  имеем

                                                          (теорема 5)

       Р(А)=Р(Н₁А)+Р(Н₂А)+…+Р(Н_nА)=

                                     =Р(Н₁)Р_Н1(А)+Р(Н₂)Р_Н2(А)+…+Р(Н_n)Р_Hn(А)    }

A

=

Р_n = n’

C

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Теория вероятности изучает  случайные события.

Вероятность – это количественная мера возможности появления события.      

Основные формулы:

 

ОSP (A) ≤ 1

P (A) =

C=A+В

С=А·В

С =

P(A+B)=P(A) +P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

P(A·B)=P(A)·P(B)

P(A·B)=P(A)·P(B/A)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы. 

1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. – М.: Владос, 2002           2. Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. – Ростов н/Д: Феникс, 2002. с 280                   3. Грес П.В. Математика для гуманитариев. – М.: ЮРАЙТ, 2000             4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1998                                 5. Кремер Н.Ш. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: «Юнити», 1999