Теория вероятностей и математическая статистика

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

X	Интервал	Номер в интервале
20	20 - 21	1
20	20 - 21	2
20	20 - 21	3
20	20 - 21	4
20.5	20 - 21	5
20.5	20 - 21	6
21	20 - 21	7
21.5	21 - 22	1
21.5	21 - 22	2
22	21 - 22	3
22	21 - 22	4
22.5	22 - 23	1
22.5	22 - 23	2
23	22 - 23	3
23	22 - 23	4
23	22 - 23	5
23	22 - 23	6
23	22 - 23	7
23	22 - 23	8
23	22 - 23	9
23.5	23 - 24	1
24	23 - 24	2
24	23 - 24	3
24	23 - 24	4
24.5	24 - 25	1
25	24 - 25	2
25	24 - 25	3
25.5	25 - 26	1
26	25 - 26	2
26	25 - 26	3

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Группы	№ совокупности	Частота fi
20 - 21	1,2,3,4,5,6,7	7
21 - 22	8,9,10,11	4
22 - 23	12,13,14,15,16,17,18,19,20	9
23 - 24	21,22,23,24	4
24 - 25	25,26,27	3
25 - 26	28,29,30	3

 

Сгруппируем данные и получим следующую таблицу:

Интервал	Середина интервала	Частота	Накопленная частота	Относительная частота	Относительная накопленная частота
[20; 21]	20.5	7	7	0.233	0.233
(21; 22]	21.5	4	11	0.133	0.367
(22; 23]	22.5	9	20	0.300	0.667
(23; 24]	23.5	4	24	0.133	0.800
(24; 25]	24.5	3	27	0.100	0.900
(25; 26]	25.5	3	30	0.100	1.000
Итого		30		1.000

 

2) Мода.

Выбираем в качестве начала интервала 16, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество

 

где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.5

 

Медиана. Медианным является интервал 22 - 23, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера

 

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 22.44.

 

3) Полигон распределения

Рис. 4. Полигон распределения

 

Гистограмма распределения

Рис. 6. Гистограмма распределения

Рис. 7. Кумулята распределения

4) Эмпирическая функция  распределения

Интервал	Относительная накопленная частота
[20; 21]	0.233
(21; 22]	0.367
(22; 23]	0.667
(23; 24]	0.800
(24; 25]	0.900
(25; 26]	1.000
Итого

 

Рис. 8. Эмпирическая функция распределения

 

 

5)  построим вспомогательную таблицу:

Группы	xi	fi	xi * fi	(x - )2*f
20 - 21	20.5	7	143.5	28.94
21 - 22	21.5	4	86	4.27
22 - 23	22.5	9	202.5	0.01
23 - 24	23.5	4	94	3.74
24 - 25	24.5	3	73.5	11.6
25 - 26	25.5	3	76.5	26.4
Итого		30	676	74.97

Несмещенная оценка средней

 

6) Смещенная оценка дисперсии

 

Несмещенная оценка дисперсии

 

Среднее квадратическое отклонение (смещенная оценка).

 

Среднее квадратическое отклонение (несмещенная оценка).

 

Определение оптимальных параметров экономической системы путем математического моделирования

 

 

Известные данные по средним издержкам в зависимости от объема производства даны в следующей таблице:

Q	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
AVC(Q)	107.91	60.18	48.73	29.45	33.55	35.09	62.36	77.08	135.18	155.45

Нанесем точки на плоскость:

Рис. 9. Значения средних  издержек от количества

 

Таким образом, можно сделать предположение, о том, что зависимость между объемом выпуска и средними издержками квадратическая и имеет вид:

,                                                         (1)

где - объем выпуска фирмы в условных единицах продукции ;

- неизвестные коэффициенты, причем из теории экономических  издержек производства известно, что  .

С помощью модели множественной линейной регрессии по статистическим данным найдем оценки неизвестных коэффициентов , входящих в формулу (1). Введем обозначения: за у обозначим средние издержки AVC, за x1 обозначим объем производства, за x2 обозначим  Q2

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

∑yi = na + b∑x1i + c∑x2i

∑x1iyi = a∑x1i + b∑x1i2 + c∑x1ix2i

∑x2iyi = a∑x2i + b∑x1ix2i + c∑x2i2

 

	Y	X1	X2	X12	X22	X1Y	X2Y	X1X2	Y2
	107.91	5	25	25	625	539.55	2697.75	125	11644.57
	60.18	10	100	100	10000	601.8	6018	1000	3621.63
	48.73	15	225	225	50625	730.95	10964.25	3375	2374.61
	29.45	20	400	400	160000	589	11780	8000	867.3
	33.55	25	625	625	390625	838.75	20968.75	15625	1125.6
	35.09	30	900	900	810000	1052.7	31581	27000	1231.31
	62.36	35	1225	1225	1500625	2182.6	76391	42875	3888.77
	77.08	40	1600	1600	2560000	3083.2	123328	64000	5941.33
	135.18	45	2025	2025	4100625	6083.1	273739.5	91125	18273.63
	155.45	50	2500	2500	6250000	7772.5	388625	125000	24164.7
Сумма	744.98	275	9625	9625	15833125	23474.15	946093.25	378125	73133.46
Средняя	74.5	27.5	962.5	962.5	1583312.5	2347.42	94609.33	37812.5	7313.35

 

Для наших данных система уравнений имеет вид:

744.98 = 10 a + 275b + 9625c

23474.15 = 275a + 9625b + 378125c

946093.25 = 9625a + 378125b + 15833125c

 

 Решая систему методом Крамера:

 

a= 142.59

b = -9.34

c = 0.2

Рис. 6. Зависимость средних  издержек от количества

 

Таким образом, получаем зависимость между объемом производства и средними затратами

AVC =142.59 -9.34 Q + 0.2 Q2

Общие издержки фирмы при производстве продукции определяются равенством:

Выручка фирмы от продажи произведенной продукции на совершенном конкурентном рынке:

=200Q

Найдем оптимальное значение объема выпуска , при котором достигается максимальное значение прибыли .

Построим график прибыли в зависимости от объема производства:

Рис. 7. Зависимость прибыли от количества

 

Найдем объем производства, при котором будет достигаться максимум прибыли. Найдем производную по Q

Первое решение не подходит, так как оно отрицательное