Теория вероятностей и математическая статистика

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РФ

Уральский государственный  экономический университет

Центр дистанционного образования

Кафедра экономика труда

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика

Вариант №6

 

 

 

 

 

Исполнитель: студентка

Специальность: Экономика  труда

Группа ЭТРу-12 Юг

Курс 2

Ф.И.О.

                  Проверил:

                           Коржавина Н.В.

 

 

 

 

 

Екатеринбург

2013

 

Содержание

Контрольная работа №1 Случайные величины………………..3

Контрольная работа №2 Случайные события………………….6

Список используемых источников……………………………..10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа №1. Случайные величины

 

Задание 1

• Из 30 экзаменационных билетов студент выучил 23. На экзамене он берет билет первым. Какова вероятность, что ему попадется билет, который он знает? Какова будет эта вероятность, если студент пришел на экзамен последним и тянет последний оставшийся билет?
• Решение.

Общее число  исходов равно количеству билетов: n=30

Число исходов, благоприятствующих событию, равно числу выученных билетов: m=23

Вероятность благополучного исхода экзамена: P(A) = m /n

 

Ответ. Вероятность, что студенту попадется билет, который  он знает, равна 0,77 или 77%. Очередность  вытягивания на вероятность не повлияет.

 

Задание 2

• В первой из двух студенческих групп учатся а юношей и в девушек, во второй с юношей и d девушек. Из каждой группы наугад вызывается по одному студенту. Какова вероятность, что это будут юноши?
• Решение.
• Найдем вероятность, что в первой и во второй группе вызовут мальчика:

  и   соответственно.

По теореме  умножения вероятностей, вероятность  того, что оба студента – юноши  равна  

 

Задание 3

• В организацию внедрились три секретных агента, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение года секретный агент будет разоблачен, для первого агента равна 0,9, для 2-го равна 0,8, для 3-го агента равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение года будет выявлен хотя бы один секретный агент.

Решение.

Вероятность разоблачения агента:

А₁ = 0,9

А₂ = 0,8

А₃ = 0,85

Так как разоблачение агентов А= А₁ А₂ А₃ и А₁ А₂ А₃ независимы в совокупности, то Р (А)= Р (А₁ *А₂ *А₃ ) = 0,9*0,8*0,85= 0,612

Вероятность разоблачения всех агентов 0,612

Вероятность того, что ни один агент не будет разоблачен Р(А¨)= Р(А₁¨* А₂¨* А₃¨)= (1-0,9)*(1-0,8)*(1-0,85)=0,1*0,2*0,15=0,003

Вероятность того, что выявят хотя бы одного агента Р(А¹) = 1-Р (А¨)= 1- 0,003=0,997

 Ответ: вероятность того, что выявят хотя бы одного агента равна 0,997 или 99,7%

 

Задание 4

Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 12 новорожденных будет 10 девочек.

Решение

Для решения  задачи воспользуемся локальной формулой Лапласа.

Вероятность рождения мальчика равна  q = 0,515; к =  необходимое количество девочек; n= количество новорожденных.

Вероятность рождения 10 девочек  равна  Р(А) = , где

p = 1 – q = 1-0,515 =0,485

 

функция Гаусса  φ(x)  =   , φ(2,42) = 0,0213

Р(А) = =

Ответ: вероятность  рождения 10 девочек из 12 новорожденных  равна 0,0123 или 1,23%

 

Задание 5

• Поручик Ржевский знакомится только с блондинками. Но в среднем только 20% блондинок натуральные, остальные – крашеные. Из 25 знакомых блондинок поручик случайным образом выбирает трех, с которыми идет вечером в театр. Найти вероятность того, что две из них окажутся натуральными, а одна – крашеной.
• Решение
• Для решения задачи используем формулу Бернулли.
• Вероятность познакомиться с одной натуральной блондинкой  р= 0,2
• Вероятность познакомиться с одной крашеной блондинкой   q = 1 – р = 0,8
• Вероятность события  А  из  n = 25 блондинок взять k = 2 натуральных по формуле Бернулли Р_n^k =  C_n^kp^kq^n–k  равна Р(А) = Р₂₅³=  C₂₅³·0,2³·0,8²²  =  300*0,008*0,007=0,0168.
• C₂₅³=

Ответ. Вероятность  из трех выбранных блондинок из 25 девушек, что 2 натуральные блондинки  – 0,0168 или 1,68%

 

Контрольная работа 2. Случайные события

 

Задание 1

Изделия некоторого завода содержит 5% брака. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бракованных изделий среди пяти взятых на удачу. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Решение

Принимая за случайную величину число бракованных изделий, видим, что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Для составления  закона распределения этой случайной  величины необходимо определить соответствующие  вероятности.

Вероятность брака p=0,05

Примем, что q_i=1- p_i

• Не отказал ни один прибор.

p(0)= q₁* q₂* q₃* q₄* q₅= (1-0,05)⁵ =0,95⁵=0,7738

• Отказал один из приборов.

p(1)= p ₁ q₂ q₃ q₄ q₅ + q ₁ p ₂q₃ q₄  q₅ + q ₁ q₂ p ₃ q₄  q₅ + q ₁ q₂ q₃ p ₄  q₅ + q ₁ q₂ q₃ q₄  p ₅  = (0,05 * 0,95 * 0,95 * 0,95* 0,95)* 5 =  0,2036

• Отказали два прибора.

p(2)=  (0,05 *0,05 * 0,95* 0,95 *0,95) * 5= 0,0107

• Отказали три прибора.

p(3)=  (0,05 *0,05 * 0,05* 0,95 *0,95) * 5= 0,00056

• Отказали четыре прибора.

p(4)=  (0,05 *0,05 * 0,05* 0,05 *0,95) * 5 = 0,0000297

• Отказали все приборы.

p(5)=  0,05⁵ = 0,0000003125

 

 

Получаем  закон распределения:

Х	0	1	2	3	4	5
Х2	0	1	4	9	16	25
p	0,7738	0,2036	0,0107	0,00056	0,0000297	0,000000313

 

Математическое  ожидание:

М (Х) =  0,2036 + 2* 0,0107 + 3* 0,00056+4*0,0000297+5*0,000000313 =

0,2036 + 0,0214+ 0,00168 + 0,0001188 + 0,000001565 = 0,226800365=0,23

М (Х²) = 0,2036 + 4* 0,0107 + 9* 0,00056+16*0,0000297+25*0,000000313=

0,2036 + 0,0428+0,00504+0,0004752+0,000007825= 0,251923025 = 0,25

Дисперсия:

D (Х) = М (Х²)-[ М (Х)]² =|0,25 – 0,0529| = 0,279

Среднеквадратическое  отклонение случайной величины:

= 0,5282

 

 

Задание 2

Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (α, β). Построить графики функций F(X) и f(X).

 

 

Решение

Плотность распределения  вероятностей f(x), получаем дифференцируя функцию F(x) имеет

 

Определим вероятность  того, что случайная величина х  попадает в интервал.

По определению F(x) имеет F(x>0)=F(3) =  *3 -1 =0,3

 

P (-0,5 X 2) = F(2 ) - F(-0,5 ) = =0,4

 

Математическое  ожидание случайной величины х:

 

Дисперсия

 

 

= ¹/₁₈•3⁴ - (¹/₁₈•0⁴) - (2)² = ¹/₂

 

 

 

f(х)=  

 

F(х)=  

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Список используемых источников

 

Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / В. Е. Гмурман. М. : Высшая школа, 1975.